题目讨论平面静电场中复变函数方法省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢您,题目：讨论平面静电场中复变函数方法,汇报人：李利萍,PB04005036,指导老师：翁惠民,第1页,一、引言,（1）在电磁学中，我们对电场问题总是在一个三维空间进行讨论，而电场中很多对称性让我们想到在一个剖切面进行考虑问题,(2)复变函数有时在平面处理问题一个很好工具。本文正是把电场中问题变换成复变函数模型，进而进行分析。,第2页,二、把静电场中一些问题化为复变函数模型,第3页,对于普通平面静电场，我们选取一个有代表性平面作为,z,平面，设,D,是电场中一大单连通区域，假如,D,内每一点电场强,度,散度：,(1),以,C,表示一光滑曲线，,是,D,所围有界区域，且,，,由格林公式：,上式表示沿闭曲线,C,电通量，确定单值函数：,(2),称为电场力函数，等值线,=a（,常数）叫电力线。,第4页,电场旋度：,(3),类似有：,上式表示沿闭曲线,C,所作功，确定单值函数：,(4),称为电场势函数，其等值线,=b（,常数）叫,电势线。,第5页,由(1)(3)得,(5),满足,C-R,方程，故 是,D,内全纯函数,同理，复势 是,D,内全纯函数,且知,与,E,满足以下关系:,(6),第6页,应该指出:在多连同区域内,复势可能是一个多值函数,对于,此区域内任意一条光滑曲线,C,有,(7),其中,Q,分别是平面静电场沿,C,所做功,与,电通量.,第7页,三、简单初等函数表示平面静电场几个例子,第8页,（一）考虑一足够长,(,能够看成无限长,),均匀带电直线所产生电场,以,表电荷线密度,任取垂直于一个平面为平面,且原点在平面上,现来求此平面静电场电场强度和复势,.,第9页,分析以下,:,库伦定理知，点电荷,q,在相距其,r,处产生电场,:,则本题中,其中,是点电荷线密度，,dh,是直线上长度微元，是真空介电常数,所以，,|dE|,在,z,平面投影为,第10页,推出,因为,E,方向与,z,相同，其单位向量为 所以电场强度,E,初等复变函数表示为,:,-(8),第11页,而依据(6)复势为：,(9),为了方便,上式中取常数,c=0.,这不影响电场强度,E,所以,为力函数,.,（常数）表示电力线,(,虚线,).,为势函数,.,表示等势线（实线）,.,（如右图所表示）,第12页,以,C,表示一原点为中心一个圆周,则由,(7),式得,令 ，则,即,易知,:,所以,该点电荷,C,环量为,0,沿,C,电通量为,这与电场,环路定理,和,高斯定理,相吻合,.,第13页,(,二,),在,Z,平面点,.,处罚别有电量为,点电荷,.,求这些点电荷所形成电场电场强度和复势,.,分析以下,:,由上计算知,依据电路叠加原理,上述电荷所组成电场,电场强度为,:,复势为：,第14页,尤其地,当,，,（即电偶极子）,，,且在点 电荷电量为 ，则由这两异性点电荷所形成复势为：,而力函数 ，当,(,为常数,),，电力线是经过 圆周,又势函数 ，当,（,b,为常数），等势线是以 为对称 圆周,.,（见下列图）,第15页,第16页,四,.,用复变方法处理静电场详细问题,-,平行板电容器所形成电场,.,第17页,考虑在平行板电容器内部,而不是两端附近静电场,那么能够近似把电场看成是均匀,.,在两端附近是不均匀,.,但我们考虑一端附近静电场,能够忽略另一端影响,那么能够把平行板电容器表示成两个半平面形状,下列图就是垂直与一平行板剖面图,.,以表示平行板间距离,2h,又设它们电势分别为,第18页,所以,要求出此平面静电场复势,只有解以下边值问题,.,即上图中所表示区域内解析函数,使它满足边界条件：,且使,实际上,这只要找出区域,D,到,W,平面上宽为,2b,带形区域,G,共形映射（见下列图）,第19页,?,施瓦兹-科利斯多费尔定理,第20页,这么我们就找到了从映射,G,到,D,单叶解析函数：,将上式分成实部和虚部得：,分别在上式中取 常数，与 常数，便得电力线和等势线参数方程,第21页,由上式及,(6),还求电场强度：,在此平行板电容器内部,即,z,靠近,A,点，又,w,靠近 ，故电场,强度 也就是靠近匀强电场,.,当,z,在平行板电容器一端附近,即靠近,B,或,E,，此时,E,趋于 。上式,E,值反应了电容器所形成电场强度大小情况,.,第22页,五.总结,本文先把平面静电场一些问题化为复变函数问题,然后用共形映射与边值问题方法处理这些问题.,经过着篇论文我学到了很多知识，对电场问题有了更多地了解，也更深刻地了解到变函数这个工具强大力量,第23页,参考资料:,张玉民,戚伯云,电磁学.科学出版社中国科学技术大学出版社,郑建华,复变函数.清华大学出版社.1,闻国椿,殷慰萍,复变函数应用.首都师范大学出版社.1999.7,第24页,谢 谢,第25页,