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比和比例讲义
比和比例知识点

比
比例
意义
两个数相除,又叫做两个数的比.
如，90÷60=90:60(90比60)
表示两个比相等的式子叫做比例。
如，90 ： 60 = 3 : 2
各部分名称
比值

后项
比号
前项
90 ： 60 = 1.5

（共有2个项）
内项
外项
90 ： 60 = 3 : 2

（共有4个项）
基本
性质
比的前项和后项都乘上或除以相同的数（0除外），比值不变。
如，90:60=（90×560×5）=1.5
90:60=（90÷15）:（60÷15）=1.5

在比例中，两个外项的积等于两个内项的积。
如，90 ： 60 = 3 : 2
两个外项的积
两个内项的积
90 × 2 = 60 × 3
化简比的依据
如，90:60=（90÷15）:（60÷15）=6:4

解比例的依据
如，5：x=1.6：3.2
1.6x=5×3.2
1.6x=16
x=10

化简比的方 法
整数比
比的前项和后项同时除以它们最大公因数（也可以一步一步的除）
如，18:6=（18÷6）：（6÷6）=3:1 或18:6=（18÷2）：（6÷2）=9:3=（9÷3）：（3÷3）=3:1
小数比
先把比的前项和后项同时乘以10、100……，变成整数比；再把整数比化成最简比
如， 0.25:1.5=（0.25×100）：（1.5×100）=25:150=1:6
分数比
先把比的前项和后项同时乘以它们分母的最小公倍数，变成整数比；再把整数比化成最简比
如，：=（×24）：（×24）=20:9
混合比
先把混合比变成小数比或分数比（如果比中的分数不能化成有限小数的，一般化为分数比），再变成整数比，最后把整数比化成最简比
如，：0.2=：=25:2或：0.2=2.5:0.2=25:2
如，：0.3中的不能化成有限小数 ，所以把：0.3先化为分数比。：0.3=：=25:9

判断两个比成不成比例的方法
方法一。看这两个比的比值是否相等
方法一。看两个外项的积是否会等于两个内项的积。

意义
方法
结果
求比值
比的前项除以比的后项所得的商叫做比值。
前项除以后项
结果是一个数（整数、小数、分数），不能写成比的一般形式。
如，60:50=1.2不能写成60:50=6:5
化简比
把两个数的比化成最简单的整数比
前项和后项都乘或除以相同的数（0除外）
结果是一个比，不能写成整数和小数。
18:6=3:1不能写成18:12=3

1、两个数相除，又叫做这两个数的比，“：”是比号，比号前面的数叫做比的前项，
比号后面的数叫做比的后项，前项除以后项所得的商叫做比值。比的后项不能为0。
2、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或者除以相同的数（0除外），
分数的大小不变。乘积是1的两个数互为倒数。1的倒数是1，0没有倒数。
3、商不变的规律：在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍（0除外），商不变。
4、比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或者除以相同的数（0除外），它们的比值不变。
5、小数的性质：在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。
6、公因数只有1的两个数叫做互质数。最简整数比：比的前项和后项是互质数。
7、比的化简：用商不变的性质、分数的基本性质或比的基本性质来化简。
8、比例：①表示两个比相等的式子叫做比例。如：（3：4=9：12）。
比例有四个项，分别是两个内项和两个外项。在3：4=9：12中，其中3与12叫做比例的外项，4与9叫做比例的内项。比例的四个数均不能为0。
9、比例的基本性质：在一个比例中，两个外项的积等于两个内项的积。
10、比、比例、比例尺、百分数的后面不能带单位。

典型例题：
-判断两个量是否成正比例、反比例或不成比例
一、 写（写出数量关系式）
1、根据数量间的关系或公式，写出数量关系式。
如，①宽一定，长方形的面积和长是否成正比例。根据“长方形的面积=长×宽”得到“”，因为长方形的面积和长是相关联的量，宽一定，也就是它们的比值一定，所以“宽一定，长方形的面积和长是成正比例”。
②圆锥的体积一定，底面积和高是否成反比例。根据“底面积×高×=圆锥的体积”得到“底面积×高=圆锥的体积×3”，因为底面积和高是相关联的量，圆锥的体积一定，“圆锥的体积×3"的结果也一定，就是底面积和高的积一定（底面积×高=圆锥的体积×3（一定）），所以圆锥的体积一定，底面积和高是成反比例。
2、注意：写出的数量关系式，其中的一边（左边）只能有这两个相关联的量，不能有多余的量和数字。
如，“（长＋宽）×2=长方形的周长”的左边就多了×2，应变为“（长＋宽）=”
又如，梯形的上底和下底不变，面积和高。可以这样写关系式：
（a＋b）×h÷2=s→（a＋b）×h÷2÷h=s÷h→（a＋b）÷2 =s÷h→
s÷h=（a＋b）÷2，因为上底和下底不变，（a＋b）÷2的结果也是一定的，所以梯形的上底和下底不变，面积和高成正比例。
3、还有些数量之间是无法写关系式的。
如，“小明的身高和跳高的高度成正比例”是无法写出关系式的。
二、 看（1、看是否相关联2、看是否能变化3、看是否商（积）一定）
1、 看是否相关联：也就是一个量变化了，另一个量是否也会随着变化。
如，长方形的面积一定，长和宽就是相关联的量，因为长变化了，宽也会随着变化。
又如，圆的周长一定，π和直径就不是相关联的量。因为不管直径怎么变，π总是等于3.14……，不会随直径而改变。
2、 看是否能变化：也就是这两个量都是能变化的，不是固定的。
如，上例的π就不是能变化的量。
如，“边长×边长=正方形的面积（一定）”，因为正方形的面积（一定），所以边长也只能是固定的，不是变量。所以，正方形的面积（一定），边长和边长不成比例。
3、 看是否商（积）一定：也就是这两个量相除（或相乘）的结果是否固定不变的。
如，圆的周长和直径成正比例。因为圆的周长和直径的比值等于π，π是固定的数，即圆的周长和直径的比值一定的。
三、列（列出几组数据）
列出几组数据，然后看这两个量是否相关联，比值或积是否一定。（如果上面两种方法能够准确判断，可不必用这种方法。不好写关系式、无法写关系式、不好判断的最好用这种方法。）
如，“长方形的周长一定，长和宽成是否正比例。”先任意列数字，如周长为18，
宽是1，长就是8，宽是2，长就是7……
长方形的周长
18
18
18
18
长
8
7
6
5
宽
1
2
3
4
然后看长和宽是否相关联，比值是否一定。
最后得出结论：长和宽是相关联的量，但它们的比值不一定：8÷1=8，7÷2=3.5，6÷3=2，……，所以“长方形的周长一定，长和宽不成是正比例。”

练习：
一． 填空
1、0.6=3：（ ）=（ ）÷15=（ ）成=（ ）％
2、1： 0.75的比值是（ ），把它化为最简的整数比是（ ）
3、比例4：9=20：45写成分数形式是（ ），根据比例的基本性质写成乘法形式是（ ）
4、18的因数有（ ），选出其中四个数组成一个比例是（ ）
5、在比例尺1：2000000的地图上，图上1厘米表示实际距离（ ）千米。
6、在一个比例中，两个内项互为倒数，一个外项是 ，另一个外项是（ ）
7.甲数除以乙数的商是4，甲数与乙数的最简整数比是（ ）
8、我国<<国旗法>>规定，国旗的长和宽的比是3：2，学校的国旗宽是128厘米，长应该是( )厘米。
9、三角形底一定，它的高和面积成（ ）比例。
10、用0.2 、 6、 30、 1这四个数组成两个比例式是（ ）和（ ）
11、某厂男职工人数是女职工的，女职工与男职工的人数比是（ ）
12、两个正方体的棱长比是3：4，它们的体积比是（ ）
13、如果3a=2b，那么a：b=（ ）：（ ）
14、从A地到B地，甲用12分钟，乙用8分钟，甲乙的速度比是( )
15、小圆的半径是2厘米，大圆的半径是3厘米，小圆和大圆的周长比是（ ），面积比是（ ）
16、甲乙两数之比是3：4，它们的和是1.4，则甲数是（ ），乙数是（ ）
17、一个比8：15，如果后项增加60，要使比值不变，比的前项应该增加（ ）
18、在比例尺是的学校平面图上，量得教室的长8厘米，宽6厘米，教室实际面积是（ ）
19、男生人数比女生人数少20％，男生人数与女生人数的比是（ ）：（ ）
20、甲数的等于乙数的，甲数与乙数的比是（ ）
二、判断
1、圆柱的底面积一定，它的高与体积成正比例 。 （ ）
2、圆周率是圆的直径与周长的比值。 （ ）
3、把16：2化作最简的整数比是8。 （ ）
4、如果Y=5X，则x与y成正比例。　　　　　　　　　　　 （　 ）
5、一个非0的自然数与它的倒数成反比。 （ ）
三、选择题
１、能与１.６：１.２组成比例的是 （　　）
Ａ、１.２：１.６　　Ｂ、：０.３　　Ｃ、３：４
２、一克的盐放入49克的水中，盐和盐水的比是 （　　）
Ａ、1:49　　　Ｂ、1：48　　　　Ｃ、1：50
３、x ×＝y×时，x：y＝（　　）
Ａ、：　　　Ｂ、5：3　　　　Ｃ、3：5
４、一本书已看总页数的６０％，没看页数与总页数的比是 （　 ）
Ａ、2：3　　　　　Ｂ、3：5　　　　　Ｃ、2：5
５、花生的出油率一定，花生的质量和榨出的油的质量（　　　）
Ａ、成正比例　　　　Ｂ、成反比例　　　　Ｃ、不成比例
四、计算
１、化简比
１．5：３.５　　 　 　１：１.８　 　　９分：０.４小时
２、求出比值
３.７５：１　 　　 １.３５：２.４　　　　　２：３
３、解比例
＝ ７：ｘ＝４.８：９.６　 　ｘ：＝１２：

五、解决问题
1、房产博览会上，某楼盘的模型是按照1：500的比例尺制作的，该楼盘1号楼模型高7厘米，它的实际高度是多少？
2、兰州到乌鲁木齐的铁路长约1900千米，在比例尺是1：40000000的地图上，它的长是多少？
3、修一条长12千米的公路，开工3天修了1.5千米。照这样计算，修完这条路还要多少天？
4、专业户刘大伯家养鸡、鸭、鹅共1800只，这三种家禽的只数比是5：3：1。刘大伯家养鸡、鸭、鹅各多少只 ？
5、把一批书按4：5：6的比例分给甲、乙、丙三个班，已知甲班比丙班少分到24本，三个班各分到多少本书？
6、亮亮家造了新房，准备用边长是0.4米的正方形地砖装饰客厅地面，这样需要180块，装修老师建议改用边长0.6米的正方形地砖铺地。请你算一算需要多少块？
六、数学思考
一艘轮船以每小时40千米的速度从甲港开往乙港，行了全程的20 %后，又行驶了1小时，这时未行路程与已行路程的比是3：1。甲乙两港相距多少千米？

作业:
1．根据提供信息，求出这幅图的比例尺。

2、篮球场长20米，宽15米，请你用去的比例尺
画出这个篮球场的平面图
3、一个圆形花坛的直径是10米，
请你用1：250的比例尺画出这个圆，
并求出这个花坛的实际的长( )米，
面积( )平方米．
4、下图是用1:400的比例尺画出的图形．先作出平行四边形的高，并量出有关的数据，(取整厘米数)，再计算出这个平行四边形的实际面积．

5、一个学校操场是长200米．宽80米的长方形．
(1)按l：4 000的比例尺画操场平面图，长应该画_____厘米，宽应该画_____厘米．
(2)请在下面画出操场的平面图．
6、右图是用比例尺1：100画的沙坑平面图，图中的脚印是刘鹏跳远时留下的．请你画出他的图上距离，并量量其长度，然后算算他跳的实际距离(5分)．

7、某县人民政府门前的广场是一个长方形，长180米，宽100米。请你选择一个合适的比例尺，在下边的图纸内画出广场的平面图，并在图上注明长和宽。我设计的比例尺是( )。

8、把下面左边的图形放大为原来面积的4倍，形状不变，并画在右边的方格纸中。(4分)

9、如图，小芳家在学校( )方向上；
小星家在学校( )方向上。

10、竹子是世界上生长最快的植物，据观察，24小时可以生长72厘米。如果竹子照这样的速度生长，请你完成下面的表格。
时间(小时)
1
2
3

15
高度(厘米)
3
6
9
36

11、图示是光明小学长方形操场的平面图。请你量出图中长方形的长和宽，在图上标出来，并计算出操场的实际面积。(量度时取整厘米)

12、填空与操作。
1．下图是某城市一处平面示意图。
(1)图上l厘米表示实际距离( )千米。
(2)学校位于中心广场( )面大约( )千米处。
(3)中心广场西面1千米处有一条商业街
与人民路平行，在图中画线表示商业街。

13、以世纪广场为观察点，根据下面提供的信息，在平面图上标出各个场所的位置。(3分)
(1)市一小在世纪广场南偏东20。方向250米处；
(2)榆中在世纪广场东200米处；
(3)市二小在世纪广场北偏东3O。方向1000米处。

14、量一量下图中，小明家到中心广场的图上距离，再根据比例尺算出它们的实际距离。(测量图上距离时，精确到厘米。)

15、A、C两个村子，L是一条小河，现在要在小河边修一个供水站，向A、C两村供水，在河边( )点修供水站到A、C两村的供水管道会最短。如果这幅图的比例尺是1:20000，到A、C两村的供水管道和最短要( )米。

16、公园在学校正北200m，书店在学校正东，动物园在学校正西400m处。请你在图上标出比例尺，并画出动物园的位置。

17、某市区主要街道分布情况如下图：

动手测量出有关数，并标示出来。
（1文明路长l800米，这幅图的比例尺是多少?
（2）光明路在文明路的南边，距文明路600米，
平行于文明路，请你画在图上。
18、量量、算算、画画。
量出你正在做的这份数学试卷(完全展 开的试卷)的长和宽(取整厘米数)，并在括号中选择一个合适的比例尺，再把它画在方框内。(可选择的比例尺为①1：2 ②1：10③10：1 ④1：500)量得试卷长( )厘米，宽是( )厘米
比例尺：( )

19、埃及的金字塔是著名奇观，它给后人留下很多难解之谜，你能根据下面的信息算出金字塔的实际高度吗?

你能想办法知道比它低3米的第二大金字塔的影长是多少米吗?
20、下面是按比例尺画出的冬冬乘出租车从家到科技馆的路线图。已知出租车在4千米以内(含4千米)按起步价10元计 算，超过4千米，每增加l千米车费就增加2元．请你根据图，中提供的信息，算一算冬冬乘出租车从家到科技馆一共要付车费多少元?(测量图上距离时取整厘米数)

21、在平面内画两条互相垂直而且相交于原点的数轴，这样就建立了一个平面直角坐标系(如下图)，平面内的任意一个点的位置，都可以用一对数来表示．如A点所在位置是横看第3格，竖看第2格，就记作(3，2)，再如B是(8，7)；C是(15，11)．

（1）由上述规律，D、E、F应分别记作（ ）、（ ）、（ ）.
（2）G是（6，6），K是（2，8），H是（0，9），请在图中描出这三个点.

22、要求圆锥形物体的体积，测量方法如图．请根据图中的信息(直尺和三角板上的每相邻的两个刻度之间都表示1厘米)，求出圆锥形物体的体积．
23、下面是“雅士服装”生产基地的平面示意图．生产基地的地面是一个长120米、宽60米的长方形．

(1)在厂房的东面要建造一座“活动中心”楼房，楼房的地面是边长20米的正方形．请先算出该正方形边长的图上距离，然后在虚线框内画出该楼房的平面图形．
(2)在生产基地的四周砌上2米高的围墙，如果用涂料粉刷围墙的内外两面墙壁，需要粉刷的面积是多少平方米?(围墙的厚度及大门部分忽略不计)
(3)如果每升涂料粉刷墙壁2平方米，粉刷这个围墙共需涂料多少升?