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1、第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能 2-1 试画图示各杆的轴力图。 题2-1图 解：各杆的轴力图如图2-1所示。 图2-1 2-2试画图示各杆的轴力图，并指出轴力的最大值。图a与b所示分布载荷均沿杆轴均匀分布，集度为q。 题2-2图 (a)解：由图2-2a(1)可知， 轴力图如图2-2a(2)所示， 图2-2a (b)解：由图2-2b(2)可知， 轴力图如图2-2b(2)所示， 图2-2b 2-3 图示轴向受拉等截面杆，横截面面积A=500mm2，载荷F=50kN。试求图示斜截面m-m上的正
2、应力与切应力，以及杆内的最大正应力与最大切应力。 题2-3图 解：该拉杆横截面上的正应力为 斜截面m-m的方位角故有 杆内的最大正应力与最大切应力分别为 2-5 某材料的应力-应变曲线如图所示，图中还同时画出了低应变区的详图。试确定材料的弹性模量E、比例极限、屈服极限、强度极限与伸长率，并判断该材料属于何种类型（塑性或脆性材料）。 题2-5 解：由题图可以近似确定所求各量。 , , 该材料属于塑性材料。 2-7 一圆截面杆，材料的应力-应变曲线如题2-6图所示。若杆径d =10mm，杆长 l =2
3、00mm，杆端承受轴向拉力F = 20kN作用，试计算拉力作用时与卸去后杆的轴向变形。 题2-6图 解： 查上述曲线，知此时的轴向应变为 轴向变形为 拉力卸去后，有 ， 故残留轴向变形为 2-9 图示含圆孔板件，承受轴向载荷F作用。已知载荷F =32kN，板宽b =100mm，板厚15mm，孔径d =20mm。试求板件横截面上的最大拉应力（考虑应力集中）。 题2-9图 解：根据 查应力集中因数曲线,得 根据 ， 得 2-10 图示板件，承受轴向载荷F作用。已知载荷F=36kN，板宽b1=90mm，b2=
4、60mm，板厚=10mm，孔径d =10mm，圆角半径R =12mm。试求板件横截面上的最大拉应力（考虑应力集中）。 题2-10图 解：1.在圆孔处 根据 查圆孔应力集中因数曲线，得 故有 2．在圆角处 根据 查圆角应力集中因数曲线，得 故有 3. 结论 （在圆孔边缘处） 2-14图示桁架，承受铅垂载荷F作用。设各杆的横截面面积均为A，许用应力均为[s]，试确定载荷F的许用值[F]。 题2-14图 解：先后以节点C与B为研究对象，求得各杆的轴力分别为 根据强度条件，要求 由此得 2-
5、15 图示桁架，承受载荷F作用，已知杆的许用应力为[]。若在节点B和C的位置保持不变的条件下，试确定使结构重量最轻的值（即确定节点A的最佳位置）。 题2-15图 解：1.求各杆轴力 设杆和的轴力分别为和，由节点B的平衡条件求得 2.求重量最轻的a值 由强度条件得 结构的总体积为 由 得 由此得使结构体积最小或重量最轻的值为 2-16 图示桁架，承受载荷F作用，已知杆的许用应力为[]。若节点A和C间的指定距离为 l，为使结构重量最轻，试确定的最佳值。 题2-16图 解：1.求各杆轴力 由于结构及受载左右对称，故有
6、 2.求的最佳值 由强度条件可得 结构总体积为 由 得 由此得的最佳值为 2-17图示杆件，承受轴向载荷F作用。已知许用应力[s]＝120MPa，许用切应力[t]＝90MPa，许用挤压应力[sbs]＝240MPa，试从强度方面考虑，建立杆径d、墩头直径D及其高度h间的合理比值。 题2-17图 解：根据杆件拉伸、挤压与剪切强度，得载荷F的许用值分别为 (a) (b) (c) 理想的情况下， 在上述条件下，由式（a）与（c）以及式（a）与（b），分别得 于是得 由此得 2-18 图示摇
7、臂，承受载荷F1与F2作用。已知载荷F1=50kN，F2=35.4kN，许用切应力[]=100MPa，许用挤压应力=240MPa。试确定轴销B的直径d。 题2-18图 解：1. 求轴销处的支反力 由平衡方程与，分别得 由此得轴销处的总支反力为 2.确定轴销的直径 由轴销的剪切强度条件（这里是双面剪） 得 由轴销的挤压强度条件 得 结论：取轴销直径。 2-19图示木榫接头，承受轴向载荷F = 50 kN作用，试求接头的剪切与挤压应力。 题2-19图 解：剪应力与挤压应力分别为 2-20图示铆接接头
8、铆钉与板件的材料相同，许用应力[s] =160MPa，许用切应力[t] = 120 MPa，许用挤压应力[sbs ] = 340 MPa，载荷F = 230 kN。试校核接头的强度。 题2-20图 解：最大拉应力为 最大挤压与剪切应力则分别为 2-21 图示两根矩形截面木杆，用两块钢板连接在一起，承受轴向载荷F = 45kN作用。已知木杆的截面宽度b =250mm，沿木纹方向的许用拉应力[]=6MPa，许用挤压应力=10MPa，许用切应力[]=1MPa。试确定钢板的尺寸与l以及木杆的高度h。 题2-21图 解：由拉伸强度条件 得 （a）
9、 由挤压强度条件 得 （b） 由剪切强度条件 得 取代入式（a），得 结论：取 ，，。 2-22 图示接头，承受轴向载荷F作用。已知铆钉直径d=20mm，许用应力[]=160MPa，许用切应力[]=120MPa，许用挤压应力=340MPa。板件与铆钉的材料相同。试计算接头的许用载荷。 题2-22图 解：1.考虑板件的拉伸强度 由图2-22所示之轴力图可知， 图2-22 2.考虑铆钉的剪切强度 3．考虑铆钉的挤压强度 结论：比较以上四个F值，得 2-2
10、3 图a所示钢带AB，用三个直径与材料均相同的铆钉与接头相连接，钢带承受轴向载荷F作用。已知载荷F=6kN，带宽b=40mm，带厚d=2mm，铆钉直径d=8mm，孔的边距a=20mm，钢带材料的许用切应力[t]=100MPa，许用挤压应力[sbs]=300MPa，许用拉应力 [s]=160MPa。试校核钢带的强度。 题2-23图 解：1．钢带受力分析 分析表明，当各铆钉的材料与直径均相同，且外力作用线在铆钉群剪切面上的投影， 通过该面的形心时，通常即认为各铆钉剪切面的剪力相同。 铆钉孔所受挤压力Fb等于铆钉剪切面上的剪力，因此，各铆钉孔边所受的挤压力Fb相同，钢带的受力如
11、图b所示，挤压力则为 孔表面的最大挤压应力为 在挤压力作用下，钢带左段虚线所示纵截面受剪（图b），切应力为 钢带的轴力图如图c所示。由图b与c可以看出，截面1-1削弱最严重，而截面2-2的轴力最大，因此，应对此二截面进行拉伸强度校核。 截面1-1与2-2的正应力分别为 第三章 轴向拉压变形 3-2 一外径D=60mm、内径d=20mm的空心圆截面杆，杆长l = 400mm，两端承受轴向拉力F = 200kN作用。若弹性模量E = 80GPa，泊松比=0.30。试计算该杆外径的改变量DD及体积改变量DV。 解：1. 计算DD 由于
12、 故有 2.计算DV 变形后该杆的体积为 故有 3-4 图示螺栓，拧紧时产生=0.10mm的轴向变形。已知：d1 = 8.0mm，d2 = 6.8mm，d3 = 7.0mm；l1=6.0mm，l2=29mm，l3=8mm；E = 210GPa，[]=500MPa。试求预紧力F，并校核螺栓的强度。 题3-4图 解：1.求预紧力 各段轴力数值上均等于，因此， 由此得 2.校核螺栓的强度 此值虽然超过，但超过的百分数仅为2.6％，在5％以内，故仍符合强度要求。 3-5 图示桁架，在节点A处承受载荷F作用。从试验中测得杆1与杆2的纵向
13、正应变分别为= 4.0×10-4与= 2.0×10-4。已知杆1与杆2的横截面面积A1= A2=200mm2，弹性模量E1= E2=200GPa。试确定载荷F及其方位角之值。 题3-5图 解：1.求各杆轴力 2.确定及之值 由节点的平衡方程和得 化简后，成为 (a) 及 (b) 联立求解方程(a)与(b)，得 由此得 3-6图示变宽度平板，承受轴向载荷F作用。已知板的厚度为d，长度为l，左、右端的宽度分别为b1与b2，弹性模量为E。试计算板的轴向变形。 题3-6图 解：对于常轴力变截面的拉压平板，其轴向变形的一
14、般公式为 (a) 由图可知，若自左向右取坐标，则该截面的宽度为 代入式(a)，于是得 3-7 图示杆件，长为l，横截面面积为A，材料密度为，弹性模量为E，试求自重下杆端截面B的位移。 题3-7图 解：自截面B向上取坐标，处的轴力为 该处微段dy的轴向变形为 于是得截面B的位移为 3-8 图示为打入土中的混凝土地桩，顶端承受载荷F，并由作用于地桩的摩擦力所支持。设沿地桩单位长度的摩擦力为f，且f = ky2，式中，k为常数。已知地桩的横截面面积为A，弹性模量为E，埋入土中的长度为l。试求地桩的缩短量。 题3-8图 解：1.
15、轴力分析 摩擦力的合力为 根据地桩的轴向平衡， 由此得 （a） 截面处的轴力为 2. 地桩缩短量计算 截面y处微段dy的缩短量为 积分得 将式(a)代入上式，于是得 3-9 图示刚性横梁AB，由钢丝绳并经无摩擦滑轮所支持。设钢丝绳的轴向刚度（即产生单位轴向变形所需之力）为k，试求当载荷F作用时端点B的铅垂位移。 题3-9图 解：载荷作用后，刚性梁倾斜如图(见图3-9)。设钢丝绳中的轴力为，其总伸长为。 图3-9 以刚性梁为研究对象，由平衡方程得 由此得 由图3-9可以看出， 可见，
16、 (b) 根据的定义，有 于是得 3-10 图示各桁架，各杆各截面的拉压刚度均为EA，试计算节点A的水平与铅垂位移。 题3-10图 （a）解： 利用截面法，求得各杆的轴力分别为 于是得各杆的变形分别为 如图3－10(1)所示，根据变形Dl1与Dl4确定节点B的新位置B’,然后，过该点作长为l+Dl2的垂线，并过其下端点作水平直线，与过A点的铅垂线相交于A’,此即结构变形后节点A的新位置。 于是可以看出，节点A的水平与铅垂位移分别为 图3-10 （b）解：显然，杆1与杆2的轴力分别为 于是由图3－1
17、0(2)可以看出，节点A的水平与铅垂位移分别为 3-11 图示桁架ABC，在节点B承受集中载荷F作用。杆1与杆2的弹性模量均为E，横截面面积分别为A1=320mm2与A2 =2 580mm2。试问在节点B和C的位置保持不变的条件下，为使节点B的铅垂位移最小，应取何值（即确定节点A的最佳位置）。 题3-11图 解：1.求各杆轴力 由图3-11a得 图3-11 2.求变形和位移 由图3-11b得 及 3.求的最佳值 由，得 由此得 将的已知数据代入并化简，得 解此三次方程，舍去增根，得 由此得的最佳值为
18、 3-12 图示桁架，承受载荷F作用。设各杆的长度为l，横截面面积均为A，材料的应力应变关系为sn=Be，其中n与B为由试验测定的已知常数。试求节点C的铅垂位移。 题3-12图 解：两杆的轴力均为 轴向变形则均为 于是得节点C的铅垂位移为 3-13 图示结构，梁BD为刚体，杆1、杆2与杆3的横截面面积与材料均相同。在梁的中点C承受集中载荷F作用。已知载荷F = 20kN，各杆的横截面面积均为A=100mm2，弹性模量E = 200GPa，梁长l = 1 000mm。试计算该点的水平与铅垂位移。 题3-13图 解：1.求各杆轴力 由，得
19、 由，得 2．求各杆变形 3．求中点的位移 由图3-13易知， 图3-13 3-14 图a所示桁架，承受载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试求节点B与C间的相对位移DB/C。 题3-14图 解：1. 内力与变形分析 利用截面法，求得各杆的轴力分别为 于是得各杆得变形分别为 2. 位移分析 如图b所示，过d与g分别作杆2与杆3的平行线，并分别与节点C的铅垂线相交于e与h，然后，在de与gh延长线取线段Dl3与Dl2，并在其端点m与n分别作垂线，得交点C’，即为节点C的新位置。 可以看出， 3-1
20、5 如图所示桁架，设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试用能量法求载荷作用点沿载荷作用方向的位移。 题3-15图 (a)解：各杆编号示如图3-15a，各杆轴力依次为 该桁架的应变能为 图3-15 依据能量守恒定律， 最后得 (b)解：各杆编号示如图b 列表计算如下： 1 2 0 0 3 4 5 于是， 依据能量守恒定律， 可得 3-16 图示桁架，承受载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试用能量法求节点
21、B与C间的相对位移DB/C。 题3-16图 解：依据题意，列表计算如下： 1 2 3 4 5 由表中结果可得 依据 得 3-17 图示变宽度平板，承受轴向载荷F作用。已知板的厚度为d，长度为l，左、右端的宽度分别为b1与b2，弹性模量为E，试用能量法计算板的轴向变形。 题3-17图 解：对于变截面拉压板件，应变能的表达式为 (a) 由图可知，若自左向右取坐标，则该截面的宽度为 将上式代入式（a）,并考虑到,于是得
22、设板的轴向变形为Dl，则根据能量守恒定律可知， 或 由此得 3-19 图示各杆，承受集中载荷F或均布载荷q作用。各杆各截面的的拉压刚度均为EA，试求支反力与最大轴力。 题3-19图 (a)解：杆的受力如图3-19a(1)所示，平衡方程为 一个平衡方程，两个未知支反力，故为一度静不定。 图3-19a AC，CD与DB段的轴力分别为 由于杆的总长不变，故补充方程为 得 由此得 杆的轴力图如3-19a(2)所示，最大轴力为 (b)解：杆的受力如图3-19b(1)所示，平衡方程为 一个平衡
23、方程，两个未知支反力，故为一度静不定。 图3-19b AC与CB段的轴力分别为 由于杆的总长不变，故补充方程为 得 由此得 杆的轴力图如3-19b(2)所示，最大轴力为 3-20图示结构，杆1与杆2的横截面面积相同，弹性模量均为E，梁BC为刚体，载荷F=20kN，许用拉应力[st]=160MPa, 许用压应力[sc]=110MPa，试确定各杆的横截面面积。 题3-20图 解：容易看出，在载荷F作用下，杆2伸长，杆1缩短，且轴向变形相同，故FN2为拉力， FN1为压力，且大小相同，即 以刚性梁BC为研究对象，铰支点为矩心，由平衡
24、方程 由上述二方程，解得 根据强度条件， 取 3-21 图示桁架，承受铅垂载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度相同，试求各杆轴力。 题3-21图 (a)解：此为一度静不定桁架。 设以压为正，其余各段轴力以拉力为正。先取杆为研究对象，由，得 (a) 后取节点为研究对象，由和依次得到 (b) 及 (c) 在节点处有变形协调关系（节点铅垂向下） (d) 物理关系为 (e) 将式(e)代入式(d)，化简后得 联解方程和，得 （拉）， （压）， （拉） (b)解：此为一度静不定问题。 考虑小轮的平衡，由，得
25、 由此得 在作用下，小轮沿刚性墙面向下有一微小位移，在小变形条件下，，故有 的水平分量由刚性墙面提供的约束反力来平衡。 3-22 图示桁架，杆1、杆2与杆3分别用铸铁、铜和钢制成，许用应力分别为[]=40MPa，[]=60MPa，[]=120MPa，弹性模量分别为E1=160GPa，E2=100GPa，E3=200GPa。若载荷F=160kN，A1= A2= 2A3，试确定各杆的横截面面积。 题3-22图 解：此为一度静不定结构。节点处的受力图和变形图分别示如图3-22a和b。 图3-22 由图a可得平衡方程 (a) (b) 由图b
26、得变形协调方程为 (c) 根据胡克定律，有 将式(d)代入式(c)，化简后得补充方程为 联解方程(a)，(b)和(c’)，并代入数据，得 (压)， （拉）， （拉） 根据强度要求，计算各杆横截面面积如下： 根据题意要求，最后取 3-23图a所示支架，由刚体ABC并经由铰链A、杆1与杆2固定在墙上，刚体在C点处承受铅垂载荷F作用。杆1与杆2的长度、横截面面积与弹性模量均相同，分别为l=100 mm，A=100 mm2，E=200 GPa。设由千分表测得C点的铅垂位移dy=0.075 mm，试确定载荷F与各杆轴力。 题3-23
27、图 解：1. 求解静不定 在载荷F作用下，刚体ABC将绕节点A沿顺时针方向作微小转动，刚体的位移、杆件的变形与受力如图b所示。显然，本问题具有一度静不定。 由平衡方程，得 (a) 由变形图中可以看出，变形协调条件为 (b) 根据胡克定律， (c) 将上述关系式代入式（b），得补充方程为 联立求解平衡方程（a）与上述补充方程，得 (d) 2. 由位移dy确定载荷F与各杆轴力 变形后，C点位移至C’(CC’^AC)（图b），且直线AC与AB具有相同的角位移q，因此，C点的总位移为 又由于 由此得 将式（c）与（d）的第
28、一式代入上式，于是得 并从而得 3-24图示钢杆，横截面面积A=2500mm2 ，弹性模量E=210GPa，轴向载荷F=200kN。试在下列两种情况下确定杆端的支反力。 (a) 间隙d=0.6 mm； (b) 间隙d=0.3 mm。 题3-24图 解：当杆右端不存在约束时，在载荷F作用下，杆右端截面的轴向位移为 当间隙d=0.6 mm时，由于，仅在杆C端存在支反力，其值则为 当间隙d=0.3 mm时，由于，杆两端将存在支反力，杆的受力如图3-24所示。 图3-24 杆的平衡方程为 补充方程为 由此得
29、 而C端的支反力则为 3-25 图示两端固定的等截面杆AB，杆长为l。在非均匀加热的条件下，距A端x处的温度增量为，式中的为杆件B端的温度增量。材料的弹性模量与线膨胀系数分别为E与。试求杆件横截面上的应力。 题3-25图 解：1.求温度增高引起的杆件伸长 此为一度静不定问题。假如将B端约束解除掉，则在处的杆微段就会因温升而有一个微伸长 全杆伸长为 2．求约束反力 设固定端的约束反力为，杆件因作用而引起的缩短量为 由变形协调条件 可得 3．求杆件横截面上的应力 3-26 图示桁架，杆BC的实际长度比设计尺寸稍短，误差为
30、D。如使杆端B与节点G强制地连接在一起，试计算各杆的轴力。设各杆各截面的拉压刚度均为EA。 题3-26图 解：此为一度静不定问题。自左向右、自上向下将各杆编号1~5。由强制装配容易判断，杆1~3受拉，杆4和5受压。装配后节点和的受力图分别示如图3-26a和b。 图3-26 根据平衡条件，由图a可得 (a) 由图b可得 (b) 变形协调关系为(参看原题图) (c) 依据胡克定律，有 (d) 将式(d)代入式(c)，得补充方程 (e) 联立求解补充方程(e)、平衡方程(a)与(b)，最后得 即 （拉） （压
31、 3-27图a所示钢螺栓，其外套一长度为l的套管。已知螺栓与套管的横截面面积分别为Ab与At，弹性模量分别为Eb与Et，螺栓的螺距为p。现将螺母旋紧1/5圈，试求螺栓与套管所受之力。螺帽与螺母的变形忽略不计。 题3-27图 解：首先设想套管未套上，而将螺母由距螺帽l处旋转1/5圈，即旋进d=p/5的距离。然后，再将套管套上。由于螺帽与螺母间的距离小于套管的长度，故套合后的螺栓将受拉，而套管则受压。 设螺栓所受拉力为FNb，伸长为Dlb，套管所受压力为FNt，缩短为Dlt，则由图b与c可知，平衡方程为 (a) 而变形协调方程则为 利用胡克定律，得补充方程为
32、 (b) 最后，联立求解平衡方程（a）与补充方程（b），得螺栓与套管所受之力即预紧力为 式中， 3-28 图示组合杆，由直径为30mm的钢杆套以外径为50mm、内径为30mm的铜管组成，二者由两个直径为10mm的铆钉连接在一起。铆接后，温度升高40℃，试计算铆钉剪切面上的切应力。钢与铜的弹性模量分别为Es = 200GPa与Ec=100GPa，线膨胀系数分别为=12.5×10-6℃-1与=16×10-6℃-1。 题3-28图 解：设温度升高时钢杆和铜管自由伸长量分别为和，由于二者被铆钉连在一起，变形要一致，即变形协调条件为 或写成 这里，伸长量和
33、缩短量均设为正值。 引入物理关系，得 将静力平衡条件代入上式，得 注意到每个铆钉有两个剪切面，故其切应力为 由此得 3-29图示结构，杆1与杆2各截面的拉压刚度均为EA，梁BD为刚体，试在下列两种情况下，画变形图，建立补充方程。 (1) 若杆2的实际尺寸比设计尺寸稍短，误差为d； (2) 若杆1的温度升高DT，材料的热膨胀系数为al。 题3-29图 (1)解：如图3-29(1)a所示，当杆2未与刚性杆BD连接时，下端点位于，即。 当杆2与刚性杆BD连接后，下端点铅垂位移至，同时，杆1的下端点则铅垂位移至。过作直线C’e垂直于杆1的轴线，显然，
34、即代表杆1的弹性变形，同时，，即代表杆2的弹性变形。与上述变形相应，杆1受压，杆2受拉，刚性杆BD的受力如图3-29(1)b所示。 图3-29(1) 可以看出， 即变形协调条件为 而补充方程则为 或 (2)解：如图3-29(2)a所示，当杆1未与刚性杆BD连接时，由于其温度升高，下端点位于，即。当杆1与刚性杆BD连接后，下端点C铅垂位移至，而杆2的下端点D则铅垂位移至。过作直线C’e垂直于直线，显然，即代表杆1的弹性变形，同时，，代表杆2的弹性变形。与上述变形相应，杆1受压，杆2受拉，刚性杆BD的受力如图3-29(2)b所示。 图3-29(2) 可以看
35、出， 故变形协调条件为 而补充方程则为 或 3-30 图示桁架，三杆的横截面面积、弹性模量与许用应力均相同，并分别为A，E与[]，试确定该桁架的许用载荷[F]。为了提高许用载荷之值，现将杆3的设计长度l变为。试问当D为何值时许用载荷最大，其值[F]max为何。 题3-30图 解:此为一度静不定问题。 节点处的受力及变形示如图3-30a和b。 图3-30 由图a得平衡方程为 (a) 由图b得变形协调条件为 (b) 依据胡克定律,有 (c) 将式(c)代入式(b)，化简后得补充方程为 (b’) 将方程(b’)与方程(
36、a)联解，得 由此得 为了提高值，可将杆3做长D，由图b得变形协调条件为 式中，均为受载后的伸长，依题意，有了D后，应使三根杆同时达到，即 由此得 此时，各杆的强度均充分发挥出来，故有 第四章 扭 转 4-5 一受扭薄壁圆管，外径D = 42mm，内径d = 40mm，扭力偶矩M = 500N•m，切变模量G=75GPa。试计算圆管横截面与纵截面上的扭转切应力，并计算管表面纵线的倾斜角。 解：该薄壁圆管的平均半径和壁厚依次为 于是，该圆管横截面上的扭转切应力为 依据切应力互等定理，纵截面上的扭转切应力为 该圆管
37、表面纵线的倾斜角为 4-7 试证明，在线弹性范围内，且当R0/d≥10时，薄壁圆管的扭转切应力公式的最大误差不超过4.53%。 解：薄壁圆管的扭转切应力公式为 设，按上述公式计算的扭转切应力为 (a) 按照一般空心圆轴考虑，轴的内、外直径分别为 极惯性矩为 由此得 (b) 比较式(a)与式(b)，得 当时， 可见，当时，按薄壁圆管的扭转切应力公式计算的最大误差不超过4.53％。 4-8 图a所示受扭圆截面轴，材料的曲线如图b所示，并可用表示，式中的C与m为由试验测定的已知常数。试建立扭转切应力公式，并画横截面上的切应力分布
38、图。 题4-8图 解：所研究的轴是圆截面轴，平面假设仍然成立。据此，从几何方面可以得到 (a) 根据题设，轴横截面上距圆心为处的切应力为 (b) 由静力学可知， (c) 取径向宽度为的环形微面积作为，即 (d) 将式(d)代入式(c)，得 由此得 (e) 将式(e)代入式(b)，并注意到T=M ，最后得扭转切应力公式为 横截面上的切应力的径向分布图示如图4-8。 图4-8 4-9 在图a所示受扭圆截面轴内，用横截面ABC和DEF与径向纵截面ADFC切出单元体ABCDEF（图b）。试绘各截面上的应力分布图，并说明该单元
39、体是如何平衡的。 题4-9图 解：单元体ABCDEF各截面上的应力分布图如图4-9a所示。 图4-9 根据图a，不难算出截面上分布内力的合力为 同理，得截面上分布内力的合力为 方向示如图c。 设作用线到轴线的距离为，容易求出 根据图b，可算出单元体右端面上水平分布内力的合力为 同理，左端面上的合力为 方向亦示如图c。 设作用线到水平直径的距离为（见图b），由 得 同理，作用线到水平直径的距离也同此值。 根据图b，还可算出半个右端面上竖向分布内力的合力为 设作用线到竖向半径的距离为（见图b），由 得
40、 同理，可算出另半个右端面以及左端面上的竖向分布内力的合力为 方向均示如图c。它们的作用线到所在面竖向半径的距离均为。 由图c可以看得很清楚，该单元体在四对力的作用下处于平衡状态，这四对力构成四个力偶，显然，这是一个空间力偶系的平衡问题。 既然是力偶系，力的平衡方程（共三个）自然满足，这是不言而喻的。 上述讨论中，所有的在数值上均等于。 4-11 如图所示，圆轴AB与套管CD用刚性突缘E焊接成一体，并在截面A承受扭力偶矩M作用。圆轴的直径d = 56mm，许用切应力[]=80MPa，套管的外径D = 80mm，壁厚= 6mm，许用切应力[]= 40M
41、Pa。试求扭力偶矩M的许用值。 题4-11图 解：由题图知，圆轴与套管的扭矩均等于M。 1.由圆轴求的许用值 由此得的许用值为 2．由套管求的许用值 此管不是薄壁圆管。 由此得的许用值为 可见，扭力偶矩M的许用值为 4-13 图示阶梯形轴，由AB与BC两段等截面圆轴组成，并承受集度为m的均匀分布的扭力偶矩作用。为使轴的重量最轻，试确定AB与BC段的长度l1与l2以及直径d1与d2。已知轴总长为l，许用切应力为[]。 题4-13图 解：1.轴的强度条件 在截面处的扭矩最大，其值为 由该截面的扭转强度条件
42、得 (a) 段上的最大扭矩在截面处，其值为 由该截面的扭转强度条件得 2．最轻重量设计 轴的总体积为 根据极值条件 得 由此得 (b) 从而得 (c) (d) 该轴取式(a)~(d)所给尺寸，可使轴的体积最小，重量自然也最轻。 4-14 一圆柱形密圈螺旋弹簧，承受轴向压缩载荷F = 1kN作用。设弹簧的平均直径D = 40mm，弹簧丝的直径d = 7mm，许用切应力[]= 480MPa，试校核弹簧的强度。 解：由于 故需考虑曲率的影响，此时， 结论：，该弹簧满足强度要求。 4-20 图示圆锥形薄壁
43、轴AB，两端承受扭力偶矩M作用。设壁厚为d，横截面A与B的平均直径分别为dA与dB，轴长为l，切变模量为G。试证明截面A和B间的扭转角为 题4-20图 证明：自左端向右取坐标，轴在处的平均半径为 式中， 截面的极惯性矩为 依据 得截面和间的扭转角为 4-21 图示两端固定的圆截面轴，承受扭力偶矩作用。试求支反力偶矩。设扭转刚度为已知常数。 题4-21图 (a)解：此为静不定轴，但有对称条件可以利用。 设A与B端的支反力偶矩分别为，它们的转向与扭力偶矩相反。由于左右对称，故知 由可得 即 (b)解：此为静不
44、定轴，可解除右端约束，代之以支反力偶矩，示如图4-21b。 图4-21b 变形协调条件为 (a) 利用叠加法，得 (b) 将式(b)代入式(a)，可得 进而求得 （转向与相反） (c)解：此为静不定轴，与(a)类似，利用左右对称条件，容易得到 的转向与相反。 (d)解：此为静不定轴，可解除右端约束，代之以支反力偶矩，从变形趋势不难判断，的转向与相反。 变形协调条件为 (c) 利用叠加法，得到（从左端向右取） (d) 将式(d)代入式(c)，可得 进而求得 的转向亦与相反。 4-22 图示轴，承受扭力偶矩M
45、1=400N•m与M2=600N•m作用。已知许用切应力[]=40MPa，单位长度的许用扭转角[]=0.25(°) / m，切变模量G = 80GPa。试确定轴径。 题4-22图 解：1.内力分析 此为静不定轴，设端支反力偶矩为，该轴的相当系统示如图4-22a。 图4-22 利用叠加法，得 将其代入变形协调条件，得 该轴的扭矩图示如图4-22b。 2.由扭转强度条件求d 由扭矩图易见， 将其代入扭转强度条件， 由此得 3.由扭转刚度条件求d 将最大扭矩值代入 得 结论：最后确定该轴的直径。 4-23 图示两
46、端固定阶梯形圆轴AB，承受扭力偶矩M作用。已知许用切应力为[t]，为使轴的重量最轻，试确定轴径d1与d2。 题4-23图 解：1. 求解静不定 设A与B端的支反力偶矩分别为MA与MB，则轴的平衡方程为 (a) AC与CB段的扭矩分别为 ， 代入式（a），得 (b) 设AC与CB段的扭转角分别为jAC与jCB，则变形协调条件为 (c) 利用扭转角与扭矩间的物理关系，分别有 ， 代入式（c），得补充方程为 (d) 最后，联立求解平衡方程（b）与补充方程（d），得 ， (e) 2. 最轻重量设计 从强度方面考
47、虑，要使轴的重量最轻，应使AC与CB段的最大扭转切应力的数值相等，且当扭力偶矩M作用时，最大扭转切应力均等于许用切应力，即要求 由此得 将式（e）代入上式，得 并从而得 ， 根据圆轴扭转强度条件，于是得轴的直径为 4-24 图示二平行圆轴，通过刚性摇臂承受载荷F作用。已知载荷F=750N，轴1和轴2的直径分别为d1=12mm和d2=15mm，轴长均为l=500mm，摇臂长度a =300mm，切变模量G = 80GPa，试求轴端的扭转角。 题4-24图 解：这是一度静不定问题。 变形协调条件为 或 (a) 这里，D1和
48、D2分别为刚性摇臂1和2在接触点处的竖向位移。 设二摇臂间的接触力为，则轴1和2承受的扭矩分别为 (b) 物理关系为 (c) 将式(c)代入式(a)，并注意到式(b),得 由此得 4-26 如图所示，圆轴AB与套管CD借刚性突缘E焊接成一体，并在突缘E承受扭力偶矩M作用。圆轴的直径d=38mm，许用切应力[]=80MPa，切变模量G1=80GPa；套管的外径D = 76mm，壁厚= 6mm，许用切应力[]= 40MPa，切变模量G2 = 40GPa。试求扭力偶矩M的许用值。 题4-26图 解：1. 解静不定 此为静不定问题。静力学关系和变形协调条件
49、分别为 (a) (b) 物理关系为 (c) 将式(c)代入式(b)，并注意到 得 (d) 将方程(a)与(d)联解，得 2．由圆轴的强度条件定的许用值 由此得扭力偶据的许用值为 3.由套管的强度条件定的许用值 由此得扭力偶据的许用值为 结论：扭力偶矩的许用值为 4-27 图示组合轴，由圆截面钢轴与铜圆管并借两端刚性平板连接成一体，并承受扭力偶矩M=100N·m作用。试校核其强度。设钢与铜的许用切应力分别为[ts]=80MPa与[tc]=20MPa，切变模量分别为Gs=80GPa与Gc=40GPa，试校
50、核组合轴强度。 题4-27图 解：1. 求解静不定 如图b所示，在钢轴与刚性平板交接处（即横截面B），假想地将组合轴切开，并设钢轴与铜管的扭矩分别为Ts与Tc，则由平衡方程可知， (a) 两个未知扭力矩，一个平衡方程，故为一度静不定问题。 在横截面B处，钢轴与铜管的角位移相同，即 (b) 设轴段AB的长度为l，则 将上述关系式代入式（b），并注意到Gs/Gc=2，得补充方程为 (c) 联立求解平衡方程（a）与补充方程（c），于是得 (d) 2．强度校核 将相关数据代入式（d），得 对于钢轴， 对于铜管，
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