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第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能
2-1 试画图示各杆的轴力图。
题2-1图
解：各杆的轴力图如图2-1所示。
图2-1
2-2试画图示各杆的轴力图，并指出轴力的最大值。图a与b所示分布载荷均沿杆轴均匀分布，集度为q。
题2-2图
(a)解：由图2-2a(1)可知，
轴力图如图2-2a(2)所示，
图2-2a
(b)解：由图2-2b(2)可知，
轴力图如图2-2b(2)所示，
图2-2b
2-3 图示轴向受拉等截面杆，横截面面积A=500mm2，载荷F=50kN。试求图示斜截面m-m上的正应力与切应力，以及杆内的最大正应力与最大切应力。
题2-3图
解：该拉杆横截面上的正应力为
斜截面m-m的方位角故有
杆内的最大正应力与最大切应力分别为
2-5 某材料的应力-应变曲线如图所示，图中还同时画出了低应变区的详图。试确定材料的弹性模量E、比例极限、屈服极限、强度极限与伸长率，并判断该材料属于何种类型（塑性或脆性材料）。
题2-5
解：由题图可以近似确定所求各量。
,
,
该材料属于塑性材料。
2-7 一圆截面杆，材料的应力-应变曲线如题2-6图所示。若杆径d =10mm，杆长 l =200mm，杆端承受轴向拉力F = 20kN作用，试计算拉力作用时与卸去后杆的轴向变形。
题2-6图
解：
查上述曲线，知此时的轴向应变为
轴向变形为
拉力卸去后，有
，
故残留轴向变形为
2-9 图示含圆孔板件，承受轴向载荷F作用。已知载荷F =32kN，板宽b =100mm，板厚15mm，孔径d =20mm。试求板件横截面上的最大拉应力（考虑应力集中）。
题2-9图
解：根据
查应力集中因数曲线,得
根据
，
得
2-10 图示板件，承受轴向载荷F作用。已知载荷F=36kN，板宽b1=90mm，b2=60mm，板厚=10mm，孔径d =10mm，圆角半径R =12mm。试求板件横截面上的最大拉应力（考虑应力集中）。
题2-10图
解：1.在圆孔处
根据
查圆孔应力集中因数曲线，得
故有
2．在圆角处
根据
查圆角应力集中因数曲线，得
故有
3. 结论
（在圆孔边缘处）
2-14图示桁架，承受铅垂载荷F作用。设各杆的横截面面积均为A，许用应力均为[s]，试确定载荷F的许用值[F]。
题2-14图
解：先后以节点C与B为研究对象，求得各杆的轴力分别为
根据强度条件，要求
由此得
2-15 图示桁架，承受载荷F作用，已知杆的许用应力为[]。若在节点B和C的位置保持不变的条件下，试确定使结构重量最轻的值（即确定节点A的最佳位置）。
题2-15图
解：1.求各杆轴力
设杆和的轴力分别为和，由节点B的平衡条件求得
2.求重量最轻的a值
由强度条件得
结构的总体积为
由
得
由此得使结构体积最小或重量最轻的值为
2-16 图示桁架，承受载荷F作用，已知杆的许用应力为[]。若节点A和C间的指定距离为 l，为使结构重量最轻，试确定的最佳值。
题2-16图
解：1.求各杆轴力
由于结构及受载左右对称，故有
2.求的最佳值
由强度条件可得
结构总体积为
由
得
由此得的最佳值为
2-17图示杆件，承受轴向载荷F作用。已知许用应力[s]＝120MPa，许用切应力[t]＝90MPa，许用挤压应力[sbs]＝240MPa，试从强度方面考虑，建立杆径d、墩头直径D及其高度h间的合理比值。
题2-17图
解：根据杆件拉伸、挤压与剪切强度，得载荷F的许用值分别为
(a)
(b)
(c)
理想的情况下，
在上述条件下，由式（a）与（c）以及式（a）与（b），分别得
于是得
由此得
2-18 图示摇臂，承受载荷F1与F2作用。已知载荷F1=50kN，F2=35.4kN，许用切应力[]=100MPa，许用挤压应力=240MPa。试确定轴销B的直径d。
题2-18图
解：1. 求轴销处的支反力
由平衡方程与，分别得
由此得轴销处的总支反力为
2.确定轴销的直径
由轴销的剪切强度条件（这里是双面剪）
得
由轴销的挤压强度条件
得
结论：取轴销直径。
2-19图示木榫接头，承受轴向载荷F = 50 kN作用，试求接头的剪切与挤压应力。
题2-19图
解：剪应力与挤压应力分别为
2-20图示铆接接头，铆钉与板件的材料相同，许用应力[s] =160MPa，许用切应力[t] = 120 MPa，许用挤压应力[sbs ] = 340 MPa，载荷F = 230 kN。试校核接头的强度。
题2-20图
解：最大拉应力为
最大挤压与剪切应力则分别为
2-21 图示两根矩形截面木杆，用两块钢板连接在一起，承受轴向载荷F = 45kN作用。已知木杆的截面宽度b =250mm，沿木纹方向的许用拉应力[]=6MPa，许用挤压应力=10MPa，许用切应力[]=1MPa。试确定钢板的尺寸与l以及木杆的高度h。
题2-21图
解：由拉伸强度条件
得
（a）
由挤压强度条件
得
（b）
由剪切强度条件
得
取代入式（a），得
结论：取
，，。
2-22 图示接头，承受轴向载荷F作用。已知铆钉直径d=20mm，许用应力[]=160MPa，许用切应力[]=120MPa，许用挤压应力=340MPa。板件与铆钉的材料相同。试计算接头的许用载荷。
题2-22图
解：1.考虑板件的拉伸强度
由图2-22所示之轴力图可知，
图2-22
2.考虑铆钉的剪切强度
3．考虑铆钉的挤压强度
结论：比较以上四个F值，得
2-23 图a所示钢带AB，用三个直径与材料均相同的铆钉与接头相连接，钢带承受轴向载荷F作用。已知载荷F=6kN，带宽b=40mm，带厚d=2mm，铆钉直径d=8mm，孔的边距a=20mm，钢带材料的许用切应力[t]=100MPa，许用挤压应力[sbs]=300MPa，许用拉应力 [s]=160MPa。试校核钢带的强度。
题2-23图
解：1．钢带受力分析
分析表明，当各铆钉的材料与直径均相同，且外力作用线在铆钉群剪切面上的投影，
通过该面的形心时，通常即认为各铆钉剪切面的剪力相同。
铆钉孔所受挤压力Fb等于铆钉剪切面上的剪力，因此，各铆钉孔边所受的挤压力Fb相同，钢带的受力如图b所示，挤压力则为
孔表面的最大挤压应力为
在挤压力作用下，钢带左段虚线所示纵截面受剪（图b），切应力为
钢带的轴力图如图c所示。由图b与c可以看出，截面1-1削弱最严重，而截面2-2的轴力最大，因此，应对此二截面进行拉伸强度校核。
截面1-1与2-2的正应力分别为
第三章 轴向拉压变形
3-2 一外径D=60mm、内径d=20mm的空心圆截面杆，杆长l = 400mm，两端承受轴向拉力F = 200kN作用。若弹性模量E = 80GPa，泊松比=0.30。试计算该杆外径的改变量DD及体积改变量DV。
解：1. 计算DD
由于
故有
2.计算DV
变形后该杆的体积为
故有
3-4 图示螺栓，拧紧时产生=0.10mm的轴向变形。已知：d1 = 8.0mm，d2 = 6.8mm，d3 = 7.0mm；l1=6.0mm，l2=29mm，l3=8mm；E = 210GPa，[]=500MPa。试求预紧力F，并校核螺栓的强度。
题3-4图
解：1.求预紧力
各段轴力数值上均等于，因此，
由此得
2.校核螺栓的强度
此值虽然超过，但超过的百分数仅为2.6％，在5％以内，故仍符合强度要求。
3-5 图示桁架，在节点A处承受载荷F作用。从试验中测得杆1与杆2的纵向正应变分别为= 4.0×10-4与= 2.0×10-4。已知杆1与杆2的横截面面积A1= A2=200mm2，弹性模量E1= E2=200GPa。试确定载荷F及其方位角之值。
题3-5图
解：1.求各杆轴力
2.确定及之值
由节点的平衡方程和得
化简后，成为
(a)
及
(b)
联立求解方程(a)与(b)，得
由此得
3-6图示变宽度平板，承受轴向载荷F作用。已知板的厚度为d，长度为l，左、右端的宽度分别为b1与b2，弹性模量为E。试计算板的轴向变形。
题3-6图
解：对于常轴力变截面的拉压平板，其轴向变形的一般公式为
(a)
由图可知，若自左向右取坐标，则该截面的宽度为
代入式(a)，于是得
3-7 图示杆件，长为l，横截面面积为A，材料密度为，弹性模量为E，试求自重下杆端截面B的位移。
题3-7图
解：自截面B向上取坐标，处的轴力为
该处微段dy的轴向变形为
于是得截面B的位移为
3-8 图示为打入土中的混凝土地桩，顶端承受载荷F，并由作用于地桩的摩擦力所支持。设沿地桩单位长度的摩擦力为f，且f = ky2，式中，k为常数。已知地桩的横截面面积为A，弹性模量为E，埋入土中的长度为l。试求地桩的缩短量。
题3-8图
解：1. 轴力分析
摩擦力的合力为
根据地桩的轴向平衡，
由此得
（a）
截面处的轴力为
2. 地桩缩短量计算
截面y处微段dy的缩短量为
积分得
将式(a)代入上式，于是得
3-9 图示刚性横梁AB，由钢丝绳并经无摩擦滑轮所支持。设钢丝绳的轴向刚度（即产生单位轴向变形所需之力）为k，试求当载荷F作用时端点B的铅垂位移。
题3-9图
解：载荷作用后，刚性梁倾斜如图(见图3-9)。设钢丝绳中的轴力为，其总伸长为。
图3-9
以刚性梁为研究对象，由平衡方程得
由此得
由图3-9可以看出，
可见，
(b)
根据的定义，有
于是得
3-10 图示各桁架，各杆各截面的拉压刚度均为EA，试计算节点A的水平与铅垂位移。
题3-10图
（a）解：
利用截面法，求得各杆的轴力分别为
于是得各杆的变形分别为
如图3－10(1)所示，根据变形Dl1与Dl4确定节点B的新位置B’,然后，过该点作长为l+Dl2的垂线，并过其下端点作水平直线，与过A点的铅垂线相交于A’,此即结构变形后节点A的新位置。
于是可以看出，节点A的水平与铅垂位移分别为
图3-10
（b）解：显然，杆1与杆2的轴力分别为
于是由图3－10(2)可以看出，节点A的水平与铅垂位移分别为
3-11 图示桁架ABC，在节点B承受集中载荷F作用。杆1与杆2的弹性模量均为E，横截面面积分别为A1=320mm2与A2 =2 580mm2。试问在节点B和C的位置保持不变的条件下，为使节点B的铅垂位移最小，应取何值（即确定节点A的最佳位置）。
题3-11图
解：1.求各杆轴力
由图3-11a得
图3-11
2.求变形和位移
由图3-11b得
及
3.求的最佳值
由，得
由此得
将的已知数据代入并化简，得
解此三次方程，舍去增根，得
由此得的最佳值为
3-12 图示桁架，承受载荷F作用。设各杆的长度为l，横截面面积均为A，材料的应力应变关系为sn=Be，其中n与B为由试验测定的已知常数。试求节点C的铅垂位移。
题3-12图
解：两杆的轴力均为
轴向变形则均为
于是得节点C的铅垂位移为
3-13 图示结构，梁BD为刚体，杆1、杆2与杆3的横截面面积与材料均相同。在梁的中点C承受集中载荷F作用。已知载荷F = 20kN，各杆的横截面面积均为A=100mm2，弹性模量E = 200GPa，梁长l = 1 000mm。试计算该点的水平与铅垂位移。
题3-13图
解：1.求各杆轴力
由，得
由，得
2．求各杆变形
3．求中点的位移
由图3-13易知，
图3-13
3-14 图a所示桁架，承受载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试求节点B与C间的相对位移DB/C。
题3-14图
解：1. 内力与变形分析
利用截面法，求得各杆的轴力分别为
于是得各杆得变形分别为
2. 位移分析
如图b所示，过d与g分别作杆2与杆3的平行线，并分别与节点C的铅垂线相交于e与h，然后，在de与gh延长线取线段Dl3与Dl2，并在其端点m与n分别作垂线，得交点C’，即为节点C的新位置。
可以看出，
3-15 如图所示桁架，设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试用能量法求载荷作用点沿载荷作用方向的位移。
题3-15图
(a)解：各杆编号示如图3-15a，各杆轴力依次为
该桁架的应变能为
图3-15
依据能量守恒定律，
最后得
(b)解：各杆编号示如图b
列表计算如下：
1
2
0
0
3
4
5
于是，
依据能量守恒定律，
可得
3-16 图示桁架，承受载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试用能量法求节点B与C间的相对位移DB/C。
题3-16图
解：依据题意，列表计算如下：
1
2
3
4
5
由表中结果可得
依据
得
3-17 图示变宽度平板，承受轴向载荷F作用。已知板的厚度为d，长度为l，左、右端的宽度分别为b1与b2，弹性模量为E，试用能量法计算板的轴向变形。
题3-17图
解：对于变截面拉压板件，应变能的表达式为
(a)
由图可知，若自左向右取坐标，则该截面的宽度为
将上式代入式（a）,并考虑到,于是得
设板的轴向变形为Dl，则根据能量守恒定律可知，
或
由此得
3-19 图示各杆，承受集中载荷F或均布载荷q作用。各杆各截面的的拉压刚度均为EA，试求支反力与最大轴力。
题3-19图
(a)解：杆的受力如图3-19a(1)所示，平衡方程为
一个平衡方程，两个未知支反力，故为一度静不定。
图3-19a
AC，CD与DB段的轴力分别为
由于杆的总长不变，故补充方程为
得
由此得
杆的轴力图如3-19a(2)所示，最大轴力为
(b)解：杆的受力如图3-19b(1)所示，平衡方程为
一个平衡方程，两个未知支反力，故为一度静不定。
图3-19b
AC与CB段的轴力分别为
由于杆的总长不变，故补充方程为
得
由此得
杆的轴力图如3-19b(2)所示，最大轴力为
3-20图示结构，杆1与杆2的横截面面积相同，弹性模量均为E，梁BC为刚体，载荷F=20kN，许用拉应力[st]=160MPa, 许用压应力[sc]=110MPa，试确定各杆的横截面面积。
题3-20图
解：容易看出，在载荷F作用下，杆2伸长，杆1缩短，且轴向变形相同，故FN2为拉力，
FN1为压力，且大小相同，即
以刚性梁BC为研究对象，铰支点为矩心，由平衡方程
由上述二方程，解得
根据强度条件，
取
3-21 图示桁架，承受铅垂载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度相同，试求各杆轴力。
题3-21图
(a)解：此为一度静不定桁架。
设以压为正，其余各段轴力以拉力为正。先取杆为研究对象，由，得
(a)
后取节点为研究对象，由和依次得到
(b)
及
(c)
在节点处有变形协调关系（节点铅垂向下）
(d)
物理关系为
(e)
将式(e)代入式(d)，化简后得
联解方程和，得
（拉）， （压）， （拉）
(b)解：此为一度静不定问题。
考虑小轮的平衡，由，得
由此得
在作用下，小轮沿刚性墙面向下有一微小位移，在小变形条件下，，故有
的水平分量由刚性墙面提供的约束反力来平衡。
3-22 图示桁架，杆1、杆2与杆3分别用铸铁、铜和钢制成，许用应力分别为[]=40MPa，[]=60MPa，[]=120MPa，弹性模量分别为E1=160GPa，E2=100GPa，E3=200GPa。若载荷F=160kN，A1= A2= 2A3，试确定各杆的横截面面积。
题3-22图
解：此为一度静不定结构。节点处的受力图和变形图分别示如图3-22a和b。
图3-22
由图a可得平衡方程
(a)
(b)
由图b得变形协调方程为
(c)
根据胡克定律，有
将式(d)代入式(c)，化简后得补充方程为
联解方程(a)，(b)和(c’)，并代入数据，得
(压)， （拉）， （拉）
根据强度要求，计算各杆横截面面积如下：
根据题意要求，最后取
3-23图a所示支架，由刚体ABC并经由铰链A、杆1与杆2固定在墙上，刚体在C点处承受铅垂载荷F作用。杆1与杆2的长度、横截面面积与弹性模量均相同，分别为l=100 mm，A=100 mm2，E=200 GPa。设由千分表测得C点的铅垂位移dy=0.075 mm，试确定载荷F与各杆轴力。
题3-23图
解：1. 求解静不定
在载荷F作用下，刚体ABC将绕节点A沿顺时针方向作微小转动，刚体的位移、杆件的变形与受力如图b所示。显然，本问题具有一度静不定。
由平衡方程，得
(a)
由变形图中可以看出，变形协调条件为
(b)
根据胡克定律，
(c)
将上述关系式代入式（b），得补充方程为
联立求解平衡方程（a）与上述补充方程，得
(d)
2. 由位移dy确定载荷F与各杆轴力
变形后，C点位移至C’(CC’^AC)（图b），且直线AC与AB具有相同的角位移q，因此，C点的总位移为
又由于
由此得
将式（c）与（d）的第一式代入上式，于是得
并从而得
3-24图示钢杆，横截面面积A=2500mm2 ，弹性模量E=210GPa，轴向载荷F=200kN。试在下列两种情况下确定杆端的支反力。
(a) 间隙d=0.6 mm；
(b) 间隙d=0.3 mm。
题3-24图
解：当杆右端不存在约束时，在载荷F作用下，杆右端截面的轴向位移为
当间隙d=0.6 mm时，由于，仅在杆C端存在支反力，其值则为
当间隙d=0.3 mm时，由于，杆两端将存在支反力，杆的受力如图3-24所示。
图3-24
杆的平衡方程为
补充方程为
由此得
而C端的支反力则为
3-25 图示两端固定的等截面杆AB，杆长为l。在非均匀加热的条件下，距A端x处的温度增量为，式中的为杆件B端的温度增量。材料的弹性模量与线膨胀系数分别为E与。试求杆件横截面上的应力。
题3-25图
解：1.求温度增高引起的杆件伸长
此为一度静不定问题。假如将B端约束解除掉，则在处的杆微段就会因温升而有一个微伸长
全杆伸长为
2．求约束反力
设固定端的约束反力为，杆件因作用而引起的缩短量为
由变形协调条件
可得
3．求杆件横截面上的应力
3-26 图示桁架，杆BC的实际长度比设计尺寸稍短，误差为D。如使杆端B与节点G强制地连接在一起，试计算各杆的轴力。设各杆各截面的拉压刚度均为EA。
题3-26图
解：此为一度静不定问题。自左向右、自上向下将各杆编号1~5。由强制装配容易判断，杆1~3受拉，杆4和5受压。装配后节点和的受力图分别示如图3-26a和b。
图3-26
根据平衡条件，由图a可得
(a)
由图b可得
(b)
变形协调关系为(参看原题图)
(c)
依据胡克定律，有
(d)
将式(d)代入式(c)，得补充方程
(e)
联立求解补充方程(e)、平衡方程(a)与(b)，最后得
即
（拉）
（压）
3-27图a所示钢螺栓，其外套一长度为l的套管。已知螺栓与套管的横截面面积分别为Ab与At，弹性模量分别为Eb与Et，螺栓的螺距为p。现将螺母旋紧1/5圈，试求螺栓与套管所受之力。螺帽与螺母的变形忽略不计。
题3-27图
解：首先设想套管未套上，而将螺母由距螺帽l处旋转1/5圈，即旋进d=p/5的距离。然后，再将套管套上。由于螺帽与螺母间的距离小于套管的长度，故套合后的螺栓将受拉，而套管则受压。
设螺栓所受拉力为FNb，伸长为Dlb，套管所受压力为FNt，缩短为Dlt，则由图b与c可知，平衡方程为
(a)
而变形协调方程则为
利用胡克定律，得补充方程为
(b)
最后，联立求解平衡方程（a）与补充方程（b），得螺栓与套管所受之力即预紧力为
式中，
3-28 图示组合杆，由直径为30mm的钢杆套以外径为50mm、内径为30mm的铜管组成，二者由两个直径为10mm的铆钉连接在一起。铆接后，温度升高40℃，试计算铆钉剪切面上的切应力。钢与铜的弹性模量分别为Es = 200GPa与Ec=100GPa，线膨胀系数分别为=12.5×10-6℃-1与=16×10-6℃-1。
题3-28图
解：设温度升高时钢杆和铜管自由伸长量分别为和，由于二者被铆钉连在一起，变形要一致，即变形协调条件为
或写成
这里，伸长量和缩短量均设为正值。
引入物理关系，得
将静力平衡条件代入上式，得
注意到每个铆钉有两个剪切面，故其切应力为
由此得
3-29图示结构，杆1与杆2各截面的拉压刚度均为EA，梁BD为刚体，试在下列两种情况下，画变形图，建立补充方程。
(1) 若杆2的实际尺寸比设计尺寸稍短，误差为d；
(2) 若杆1的温度升高DT，材料的热膨胀系数为al。
题3-29图
(1)解：如图3-29(1)a所示，当杆2未与刚性杆BD连接时，下端点位于，即。
当杆2与刚性杆BD连接后，下端点铅垂位移至，同时，杆1的下端点则铅垂位移至。过作直线C’e垂直于杆1的轴线，显然，即代表杆1的弹性变形，同时，，即代表杆2的弹性变形。与上述变形相应，杆1受压，杆2受拉，刚性杆BD的受力如图3-29(1)b所示。
图3-29(1)
可以看出，
即变形协调条件为
而补充方程则为
或
(2)解：如图3-29(2)a所示，当杆1未与刚性杆BD连接时，由于其温度升高，下端点位于，即。当杆1与刚性杆BD连接后，下端点C铅垂位移至，而杆2的下端点D则铅垂位移至。过作直线C’e垂直于直线，显然，即代表杆1的弹性变形，同时，，代表杆2的弹性变形。与上述变形相应，杆1受压，杆2受拉，刚性杆BD的受力如图3-29(2)b所示。
图3-29(2)
可以看出，
故变形协调条件为
而补充方程则为
或
3-30 图示桁架，三杆的横截面面积、弹性模量与许用应力均相同，并分别为A，E与[]，试确定该桁架的许用载荷[F]。为了提高许用载荷之值，现将杆3的设计长度l变为。试问当D为何值时许用载荷最大，其值[F]max为何。
题3-30图
解:此为一度静不定问题。
节点处的受力及变形示如图3-30a和b。
图3-30
由图a得平衡方程为
(a)
由图b得变形协调条件为
(b)
依据胡克定律,有
(c)
将式(c)代入式(b)，化简后得补充方程为
(b’)
将方程(b’)与方程(a)联解，得
由此得
为了提高值，可将杆3做长D，由图b得变形协调条件为
式中，均为受载后的伸长，依题意，有了D后，应使三根杆同时达到，即
由此得
此时，各杆的强度均充分发挥出来，故有
第四章 扭 转
4-5 一受扭薄壁圆管，外径D = 42mm，内径d = 40mm，扭力偶矩M = 500N•m，切变模量G=75GPa。试计算圆管横截面与纵截面上的扭转切应力，并计算管表面纵线的倾斜角。
解：该薄壁圆管的平均半径和壁厚依次为
于是，该圆管横截面上的扭转切应力为
依据切应力互等定理，纵截面上的扭转切应力为
该圆管表面纵线的倾斜角为
4-7 试证明，在线弹性范围内，且当R0/d≥10时，薄壁圆管的扭转切应力公式的最大误差不超过4.53%。
解：薄壁圆管的扭转切应力公式为
设，按上述公式计算的扭转切应力为
(a)
按照一般空心圆轴考虑，轴的内、外直径分别为
极惯性矩为
由此得
(b)
比较式(a)与式(b)，得
当时，
可见，当时，按薄壁圆管的扭转切应力公式计算的最大误差不超过4.53％。
4-8 图a所示受扭圆截面轴，材料的曲线如图b所示，并可用表示，式中的C与m为由试验测定的已知常数。试建立扭转切应力公式，并画横截面上的切应力分布图。
题4-8图
解：所研究的轴是圆截面轴，平面假设仍然成立。据此，从几何方面可以得到
(a)
根据题设，轴横截面上距圆心为处的切应力为
(b)
由静力学可知，
(c)
取径向宽度为的环形微面积作为，即
(d)
将式(d)代入式(c)，得
由此得
(e)
将式(e)代入式(b)，并注意到T=M ，最后得扭转切应力公式为
横截面上的切应力的径向分布图示如图4-8。
图4-8
4-9 在图a所示受扭圆截面轴内，用横截面ABC和DEF与径向纵截面ADFC切出单元体ABCDEF（图b）。试绘各截面上的应力分布图，并说明该单元体是如何平衡的。
题4-9图
解：单元体ABCDEF各截面上的应力分布图如图4-9a所示。
图4-9
根据图a，不难算出截面上分布内力的合力为
同理，得截面上分布内力的合力为
方向示如图c。
设作用线到轴线的距离为，容易求出
根据图b，可算出单元体右端面上水平分布内力的合力为
同理，左端面上的合力为
方向亦示如图c。
设作用线到水平直径的距离为（见图b），由
得
同理，作用线到水平直径的距离也同此值。
根据图b，还可算出半个右端面上竖向分布内力的合力为
设作用线到竖向半径的距离为（见图b），由
得
同理，可算出另半个右端面以及左端面上的竖向分布内力的合力为
方向均示如图c。它们的作用线到所在面竖向半径的距离均为。
由图c可以看得很清楚，该单元体在四对力的作用下处于平衡状态，这四对力构成四个力偶，显然，这是一个空间力偶系的平衡问题。
既然是力偶系，力的平衡方程（共三个）自然满足，这是不言而喻的。
上述讨论中，所有的在数值上均等于。
4-11 如图所示，圆轴AB与套管CD用刚性突缘E焊接成一体，并在截面A承受扭力偶矩M作用。圆轴的直径d = 56mm，许用切应力[]=80MPa，套管的外径D = 80mm，壁厚= 6mm，许用切应力[]= 40MPa。试求扭力偶矩M的许用值。
题4-11图
解：由题图知，圆轴与套管的扭矩均等于M。
1.由圆轴求的许用值
由此得的许用值为
2．由套管求的许用值
此管不是薄壁圆管。
由此得的许用值为
可见，扭力偶矩M的许用值为
4-13 图示阶梯形轴，由AB与BC两段等截面圆轴组成，并承受集度为m的均匀分布的扭力偶矩作用。为使轴的重量最轻，试确定AB与BC段的长度l1与l2以及直径d1与d2。已知轴总长为l，许用切应力为[]。
题4-13图
解：1.轴的强度条件
在截面处的扭矩最大，其值为
由该截面的扭转强度条件
得
(a)
段上的最大扭矩在截面处，其值为
由该截面的扭转强度条件得
2．最轻重量设计
轴的总体积为
根据极值条件
得
由此得
(b)
从而得
(c)
(d)
该轴取式(a)~(d)所给尺寸，可使轴的体积最小，重量自然也最轻。
4-14 一圆柱形密圈螺旋弹簧，承受轴向压缩载荷F = 1kN作用。设弹簧的平均直径D = 40mm，弹簧丝的直径d = 7mm，许用切应力[]= 480MPa，试校核弹簧的强度。
解：由于
故需考虑曲率的影响，此时，
结论：，该弹簧满足强度要求。
4-20 图示圆锥形薄壁轴AB，两端承受扭力偶矩M作用。设壁厚为d，横截面A与B的平均直径分别为dA与dB，轴长为l，切变模量为G。试证明截面A和B间的扭转角为
题4-20图
证明：自左端向右取坐标，轴在处的平均半径为
式中，
截面的极惯性矩为
依据
得截面和间的扭转角为
4-21 图示两端固定的圆截面轴，承受扭力偶矩作用。试求支反力偶矩。设扭转刚度为已知常数。
题4-21图
(a)解：此为静不定轴，但有对称条件可以利用。
设A与B端的支反力偶矩分别为，它们的转向与扭力偶矩相反。由于左右对称，故知
由可得
即
(b)解：此为静不定轴，可解除右端约束，代之以支反力偶矩，示如图4-21b。
图4-21b
变形协调条件为
(a)
利用叠加法，得
(b)
将式(b)代入式(a)，可得
进而求得
（转向与相反）
(c)解：此为静不定轴，与(a)类似，利用左右对称条件，容易得到
的转向与相反。
(d)解：此为静不定轴，可解除右端约束，代之以支反力偶矩，从变形趋势不难判断，的转向与相反。
变形协调条件为
(c)
利用叠加法，得到（从左端向右取）
(d)
将式(d)代入式(c)，可得
进而求得
的转向亦与相反。
4-22 图示轴，承受扭力偶矩M1=400N•m与M2=600N•m作用。已知许用切应力[]=40MPa，单位长度的许用扭转角[]=0.25(°) / m，切变模量G = 80GPa。试确定轴径。
题4-22图
解：1.内力分析
此为静不定轴，设端支反力偶矩为，该轴的相当系统示如图4-22a。
图4-22
利用叠加法，得
将其代入变形协调条件，得
该轴的扭矩图示如图4-22b。
2.由扭转强度条件求d
由扭矩图易见，
将其代入扭转强度条件，
由此得
3.由扭转刚度条件求d
将最大扭矩值代入
得
结论：最后确定该轴的直径。
4-23 图示两端固定阶梯形圆轴AB，承受扭力偶矩M作用。已知许用切应力为[t]，为使轴的重量最轻，试确定轴径d1与d2。
题4-23图
解：1. 求解静不定
设A与B端的支反力偶矩分别为MA与MB，则轴的平衡方程为
(a)
AC与CB段的扭矩分别为
，
代入式（a），得
(b)
设AC与CB段的扭转角分别为jAC与jCB，则变形协调条件为
(c)
利用扭转角与扭矩间的物理关系，分别有
，
代入式（c），得补充方程为
(d)
最后，联立求解平衡方程（b）与补充方程（d），得
， (e)
2. 最轻重量设计
从强度方面考虑，要使轴的重量最轻，应使AC与CB段的最大扭转切应力的数值相等，且当扭力偶矩M作用时，最大扭转切应力均等于许用切应力，即要求
由此得
将式（e）代入上式，得
并从而得
，
根据圆轴扭转强度条件，于是得轴的直径为
4-24 图示二平行圆轴，通过刚性摇臂承受载荷F作用。已知载荷F=750N，轴1和轴2的直径分别为d1=12mm和d2=15mm，轴长均为l=500mm，摇臂长度a =300mm，切变模量G = 80GPa，试求轴端的扭转角。
题4-24图
解：这是一度静不定问题。
变形协调条件为
或 (a)
这里，D1和D2分别为刚性摇臂1和2在接触点处的竖向位移。
设二摇臂间的接触力为，则轴1和2承受的扭矩分别为
(b)
物理关系为
(c)
将式(c)代入式(a)，并注意到式(b),得
由此得
4-26 如图所示，圆轴AB与套管CD借刚性突缘E焊接成一体，并在突缘E承受扭力偶矩M作用。圆轴的直径d=38mm，许用切应力[]=80MPa，切变模量G1=80GPa；套管的外径D = 76mm，壁厚= 6mm，许用切应力[]= 40MPa，切变模量G2 = 40GPa。试求扭力偶矩M的许用值。
题4-26图
解：1. 解静不定
此为静不定问题。静力学关系和变形协调条件分别为
(a)
(b)
物理关系为
(c)
将式(c)代入式(b)，并注意到
得
(d)
将方程(a)与(d)联解，得
2．由圆轴的强度条件定的许用值
由此得扭力偶据的许用值为
3.由套管的强度条件定的许用值
由此得扭力偶据的许用值为
结论：扭力偶矩的许用值为
4-27 图示组合轴，由圆截面钢轴与铜圆管并借两端刚性平板连接成一体，并承受扭力偶矩M=100N·m作用。试校核其强度。设钢与铜的许用切应力分别为[ts]=80MPa与[tc]=20MPa，切变模量分别为Gs=80GPa与Gc=40GPa，试校核组合轴强度。
题4-27图
解：1. 求解静不定
如图b所示，在钢轴与刚性平板交接处（即横截面B），假想地将组合轴切开，并设钢轴与铜管的扭矩分别为Ts与Tc，则由平衡方程可知，
(a)
两个未知扭力矩，一个平衡方程，故为一度静不定问题。
在横截面B处，钢轴与铜管的角位移相同，即
(b)
设轴段AB的长度为l，则
将上述关系式代入式（b），并注意到Gs/Gc=2，得补充方程为
(c)
联立求解平衡方程（a）与补充方程（c），于是得
(d)
2．强度校核
将相关数据代入式（d），得
对于钢轴，
对于铜管，
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