第四讲平移、旋转、轴对称.doc

第四讲 图形的平移、旋转与轴对称
一、知识梳理

1、图形的平移
（1）、平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个_______移动一定的_______，这样的图形运动称为平移。
平移不改变图形的______和______,只改变图形的______.
（2）平移的基本性质：
1）、平移前后的图形______。
2）、经过平移，对应线段_________，对应点的连线段_________,对应角________.
(3)平移的条件
1）、原图形， 2）平移的_______， 3)平移的_______.
2、图形的旋转
（1）、旋转的定义：在平面内，将一个图形绕某个______沿某个______转动一个______，这样的图形运动称为旋转。
旋转不改变图形的_______和_______.
(2)、旋转的基本性质
1）、旋转前后的图形； 2）、经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了______________，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角度是____________，对应点到旋转中心的距离_______.
（2)旋转的条件
1）、原图形； 2）旋转中心； 3）旋转方向 4）旋转角度
3、轴对称
（1）定义：如果一个图形沿着某一条直线对折后它能和另一个图形重合，我们称这两个图形关于这条直线成轴对称。这条直线叫对称轴
如果一个图形沿着某一条直线对折后，它的一部分能和另一部分重合，我们称这个图形为轴对称图形。
（2）、轴对称的基本性质
1）、对称轴两旁的图形是全等形； 2）对称轴垂直平分连结两个对称点的线段；
3）对应线段相等、对应角相等。
（3）、轴对称的条件
1）原图形 2）对称轴。
二、精典题例
例1、下列运动现象中，属于平移的有（ ）
①随电梯上升的乘客；②笔直铁路上行驶的火车；③传送带上瓶装饮料的运动；④打气简内活塞的运动；⑤钟摆的摆动；⑥温度计中，液柱的上升或下降。⑦水库中水位的上升与下降
A、3个 B、4个 C、5个 D、6个
例2、如图，有一条小船（1）若把小船平移，使点A平移到点B，请你在图中画出平移后的小船；（2）若该小船先从点A航行到达岸边L的点P处补给后，再航行到点B，但要求航程最短，试在图中画出点P的位置。

例3、如图，一个长为4，宽为3的长方形ABCD沿顺时针方向
绕点C倒下后，原来的四个顶点A、B、C、D所经过的路程之
和为

例4、如图，直角三角形ABC，正方形BEDF，AD=4，DC=9。
则图中阴影部分的面积是_________.

例5．将两块全等的含30°角的三角尺如图①摆放在一起，它们的较短直角边长为6．
（1）将△DCE沿直线l向右平移到图②的位置，使E点落在AB上，则平移的距离CC′＝ ；
（2）将△DCE绕点C按顺时针方向旋转到图③的位置，使点E落在AB上，则△DCE旋转的度数＝ ；
（3）将△DCE沿直线AC翻折到图④的位置，与AB相交于点F，
求证：BF＝EF．
①　
②
③　
④　

例6、（2008年义乌市）如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：
①猜想,如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；
②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．
B
A
C
E
F
G
D
图3
B
A
C
D
E
F
G
图1

B
A
C
E
F
G
D
O
图2

例7、如图4，正方形ABCD、正方形EFGH是边长为1的正方形，正方形EFGH的边HE、HG与正方形ABCD的边AB、BC交于点M、N，顶点在对角线BD上移动，设点M、N到BD的距离分别是HM、HN，四边形MBNH的面积是S；
（1）当顶点H和正方形ABCD的中心O重合时（图4），S= ，HM+HN= ，
（2）若顶点H为OB的中点（图5），则S= HM+HN= （只要求写出结果，不用证明）。
N
A
B
C
D
E
F
G
H
M
图5
N
A
B
C
D
E
F
G
H
M
图4
N
A
B
C
D
E
F
G
H
M
图6
（3）探索：当BH=n时，S= ，HM+HN= 。

三、达标练习
1.如图1的图案中，可以看出由图案自身的部分经过平移而得到的是（ ）

2、（2010珠海）４．现有如图1所示的四张牌，若只将其中一张牌旋转180后得到图2，则旋转的牌是（ ）B

图1 图2

A. B C D

3、如图所示23，将正方形图案绕中心旋转180°，所得到的图案是（ ）

4

E
A
D

B
C
4、（2010年天津市）如图，已知正方形的边长为3，
为边上一点， ．以点为中心，把△顺时
针旋转，得△，连接，则的长等于

A
B
C
D

5，如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转
30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C.1－ D.1－

6、如图①等边三角形的边长为4，则图中阴影部分的面积是__如图2正方形边长为4，则图中阴影部分的面积是______.如图3长方形的长是8宽是6，则图中阴影部分的面积是______.如图4大圆的直径AB长为4，CD⊥AB，则图中阴影部分的面积是______.

7、（2010年安徽）在小正方形组成的15×15的网络中，四边形ABCD和四边形的位置如图所示。
⑴现把四边形ABCD绕D点按顺时针方向旋转900，画出相应的图形，
⑵若四边形ABCD平移后，与四边形成轴对称，写出满足要求的一种平移方法，并画出平移后的图形

8．如图16，两个正方形ABCD，OEFG的边长都是a，其中O是正方形ABCD的中心。
（1） 请你说出图①到图③是怎样形成？
（2） 图②、图③、图④中的阴影部分面积分别是多少？

9、如图所示，图形1经过______变换得到图形2：图形1经过_____变换得到图形3；图形1经过______变换得到图形4.（填平移，旋转，轴对称）

10、钟表的分钟匀速旋转一周需要60分钟，如图，那么：
（1） 它的旋转中心是_______；
（2） 分钟旋转一周，时针旋转_______度；
（3） 下午3点半时，时针和分针的夹角是_______度。

11、如图，在Rt△ABC 中，已知∠C=90°，BC=4,AC=4,现将
△ABC沿CB方向平移到⊿A′B′C′的位置，平移的距离是3
（1）求图中阴影部分的面积；
（2）若平移距离为x(0≤x≤4),图中阴影部分的面积为y,则
y与x有怎样的关系式

12、如图的操作过程（本题中四个矩形的水平方向的边长均为a，竖直方向的边长均为b）

在图1中将线段向右平移一个单位到,得到封闭图形（即阴影部分）
在图2中，将折线向右平移一个单位到，得到封闭图形（即阴影部分）
在图3中，请你类似的画一条有两个折点的折线，同样向右平移一个单位，重而得到一个封闭的图形，并用斜线画出阴影；
请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积；
=________;=_______;=_______;
联想与探索；
如图4，在一块矩形的草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少？并说明你的猜想是正确的。

30°

C
B

A
30°

四、能力提高题
13、（09年凉山）将绕点逆时针旋转到
使在同一直线上，若，
，则图中阴影部分面积
为 cm2．

14．如图，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE、GC．
（1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论．
（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和CG。你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．

A
B
G
D
E
（第25题）
F
C
A
B
G
D
E
F
C
（图1）
（图2）

15.（09·德城·24）
一位同学拿了两块45°的三角尺△MNK、△ACB做了一个探究活动：将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC＝BC＝a．
A
A
A
C
C
C
B
B
B
M
M
M
N
N
N
K
K
K
图3
图1
图2

（1）如图1，两个三角尺的重叠部分为△ACM，则重叠部分的面积为 ，周长为 ；
（2）将图1中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°，得到图2，此时重叠部分的面积为 ，周长为 ；
（3）如果将△MNK绕M旋转到不同于图1、图2的位置，如图3所示，猜想此时重叠部分的面积为多少？并试着加以验证．

图25
16．如图25五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，连结AD，求证：AD平边∠CDE.

17、(2010台州市)．如图1，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°．△EDF绕着边AB的中点D旋转， DE，DF分别交线段AC于点M，K．
（1）观察： ①如图2、图3，当∠CDF=0° 或60°时，AM+CK_______MK(填“>”，“<”或“=”)．
②如图4，当∠CDF=30° 时，AM+CK___MK(只填“>”或“<”)．
（2）猜想：如图1，当0°＜∠CDF＜60°时，AM+CK_______MK，证明你所得到的结论．
图1
图2
图3

图4
（3）如果，请直接写出∠CDF的度数和的值．

25、（本题满分12分）如图①，将两块全等的三角板拼在一起，其中△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC且AC = BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，EF⊥FP且EF = FP。
（1）在图①中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；
（2）将三角板△EFP沿直线l向左平移到图②的位置时，EP交AC于点Q，连接AP、BQ。猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，并证明你的猜想；
A
C
B
P
l
图③
E
F
Q
A
C
B
P
l
图②
E
F
Q
A (E)
C (F)
B
P
l
图①
（3）将三角板△EFP沿直线l向左平移到图③的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP、BQ。你认为（2）中猜想的BQ与AP所满足的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由。

11