1、作业答案：集合论部分
P90:习题六
5、确定下列命题是否为真。
（2）
（4）
（6）
解答：（2）假（4）真（6）真
8、求下列集合的幂集。
（5）
（6）
解答：
（5）集合的元素彼此互不相同，所以，所以该题的结论应该为
（6）
9、设，，,,求下列集合。
（1）
（2）
解答：
（1）
（2）
31、设A,B,C为任意集合，证明
证明：
34、设A,B为集合，证明：如果，则。
证明：（反证法）
设，则，
所以；
所以
但是。
与矛盾。
37、设A,B,C为任意集合，证明：。
证明：
对任意，
2、由于，所以且所以
因此，。
P121:习题七
5、设A,B为任意集合，证明
若，则。
证明：
所以有
9、设，列出下列关系R
（2）
（3）
解答：
（2）
（3）
11、是上的二元关系，对于定义集合
显然。如果且令
求。
解答：
13、设，。求，，,,,,,,.
解答：
16、设，为上的关系，其中
，。求，，，。
解答：
20、给定，上的关系
（1）画出的关系图。
（2）说明的性质。
解答：
（1）
3、
（2）R具有反自反性，反对称性，传递性
21、设，图7.11给出12种A上的关系，对于每种关系写出相应的关系矩阵，并说明它所具有的性质。
解答：
（a）,具有自反性。
（b）,具有反对称性和传递性。
（c）,具有自反性，对称性和传递性。
23、设R的关系图如图7.12所示，试给出，和的关系图。
25、设，R是A上的等价关系，且R是A上所构成的等价类为。
（1）求。
（2）求
（3）求传递闭包。
解答：
（1）
（2）由于等价关系满足对称性，所以
所以
（3）由于等价关系满足传递性，所以传递闭包为其自身，即
26、对于给定的A和R
4、判断R是否为A上的等价关系。
（1）A为实数集，。
（2），。
（3），为奇数。
（5），
解答：
（1）不是，不满足自反性、对称性、传递性。
（2）不是，由于集合较小，
①自反性：
②对称性，
但是传递性不满足，，但是。
（3）不是，满足对称性、传递性，但是不满足自反性
取，但是不为奇数，所以。
（5）满足
①自反性：
②对称性：
③传递性：
下面证明
若，则，所以
若，则，所以
所以，同理可证，
所以
所以。因此满足传递性。
27、设A上的等价关系
画出R的关系图，并求出A中各元素的
5、等价类。
解答：关系图为
等价类；
30、设，在上定义二元关系R，
。
（1） 证明R为上的等价关系。
（2） 确定由R引起的对的划分。
解答：
（1）证明：
①自反性：，由于，所以；
②对称性：
有，所以
因此
③传递性：
有，，所以
因此。
（2）等价类有
37、对于下列集合与整除关系画出哈斯图。
（1）
（2）
解答：
（1）
（2）
38、针对图7.14中的每个哈斯图，写出集合以及偏序关系的表达式。
解答：
（a）集合为，
偏序关系为
（b）集合为，
偏
6、序关系为
（c）集合为，
偏序关系
40、分别画出下列偏序集的哈斯图，并找出A的极大元、极小元、最大元和最小元。
（1），
（2）
解答：
（1） 哈斯图为
极小元为,极大元为，无最大元、最小元
（2） 哈斯图为
极小元为，极大元为，无最大元、最小元
41、，R为整除关系，，在偏序集中求B的上界、下界、最小上界和最大下界。
解：下界即为公约数，2，3，4的公约数只有1，所以下界为1，最大下界也为1；
下界即为公倍数，2，3，4的公倍数只有12，所以上界为1，最大上界也为12；
P141:习题八
4、判断下列函数中哪些是满射？哪些是
7、单射？哪些是双射？
（2）
（4）,
（6）
解答：（2）单射；（3）满射；（4）既不为单射也不为满射。
5、设，，判断下列命题的真假。
（1）是从X到Y的二元关系，但不是X到Y的函数。
（3）是从X到Y的满射，但不是单射。
解答：（1）真；（3）假
15、设，为A上的等价关系，且，求自然映射。
解答：
19、设是从N到N的函数，且
（1） 求
（2） 说明是否为单射、满射、双射？
解答：
（1）
（2）为满射，但是不为单射。
20、设，
（1）说明是否为单射和满射，说明理由。
（2）的反函数是否存在，如果存在，求出的反函数；
（3）求。
解答：
（1）时，，所以为单射；
而对，不存在，使得，所以不为满射。
（2）不存在反函数，因为不是双射函数；
（3）
22、对于以下集合A和B，构造从A到B的双射函数。
（1）
（2）
（3）
（4）
解答：
（1）
（2）
（3）
（4）
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