扭转时横截面上的应力.doc

第三节 扭转时横截面上的应力
一、应力分布规律
　　为了建立扭转的强度条件，在求出了圆轴各截面上的扭矩值后，还需要进一步研究扭转应力的分布规律，因而需要研究扭转变形。下面通过一个具体的实例来看看扭转变形。

　　取一根橡胶圆棒，为观察其变形情况，试验前在圆棒的表面画出许多圆周线和纵向线，形成许多小矩形，见上图。在轴的两端施加转向相反的力偶矩mA、mB，在小变形的情况下，可以看到圆棒的变形有如下特点：
　　　 1．变形前画在表面上的圆周线的形状、大小都没有改变，两相邻圆周线之间的距离也没有改变；
　　　 2．表面上的纵向线在变形后仍为直线，都倾斜了同一角度g，原来的矩形变成平行四边形两端的横截面绕轴的中心线相对转动了一个角度j，叫做相对扭转角，见下图。观看动画，理解微元体的获得。

　　通过观察到的表面现象，可以推理得出以下结果：
　　　★　各横截面的大小、形状在变形前后都没有变化，仍是平面，只是相对地转过了一个角度，各横截面间的距离也不改变，从而可以说明轴向纤维没有拉、压变形，所以，在横截面上没有正应力产生；
　　　★　圆轴各横截面在变形后相互错动，矩形变为平行四边形，这正是前面讨论过的剪切变形，因此，在横截面上应有剪应力；
　　　★　变形后，横截面上的半径仍保持为直线，而剪切变形是沿着轴的圆周切线方向发生的。所以剪应力的方向也是沿着轴的圆周的切线方向与半径互相垂直。
由此知道扭转时横截面上只产生剪应力，其方向与半径垂直。
下面进一步讨论剪应力在横截面上的分布规律。
　　为了观察圆轴扭转时内部的变形情况，找到变形规律，取受扭转轴中的微段dx来分析(上图a)。假想O2DC截面象刚性平面一样地绕杆轴线转动dj，轴表面的小方格ABCD歪斜成平行四边形ABC'D'，轴表面A点的剪应变就是纵线歪斜的角g，而经过半径O2D上任意点H的纵向线EH在杆变形后倾斜了一个角度gr，它也就是横截面上任一点E处的剪应变。应该注意，上述剪应变都是在垂直于半径的平面内的。设H点到轴线的距离为r，由于构件的变形通常很小，即

所以 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (a)
由于截面O2DC象刚性平面一样地绕杆轴线转动，图上△O2HH'与△O2DD'相似，得
　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　(b)
将式(b)代入(a)式得　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　(1-40)
上式表明，圆轴扭转时，横截面上靠近中心的点剪应变较小；离中心远的点剪应变较大；轴表面点的剪应变最大。各点的剪应变gr与离中心的距离r成正比。
　根据剪切虎克定律知道剪应力与剪应变成正比，即t=G·g。在弹性范围内剪应变g越大，则剪应力t也越大；横截面上离中心为r的点上，其剪应力为tr；轴表面的剪应力为t。因此有　 tr = G·gr　，t=G·g
代入（1-40）式可得 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1-41)
上式即说明了圆轴扭转时横截面上剪应力分布的规律是：横截面上各点的剪应力与它们离中心的距离成正比。圆心处剪应力为零，轴表面的剪应力t最大。分布情况如下图所示。
　　 演示动画
在横截面上剪应力也与剪应变有相同的分布规律。即
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1-42)
二、横截面上剪应力计算公式与最大剪应力
要计算剪应力，只知道了横截面上剪应力分布规律还不够，还必须分析截面上的扭矩M与剪应力t之间的关系。在截面上任取一距中心为r的微面积dA，作用在微面积上的力的总和tr·dA，对中心O的力矩等于tr·dA·r。截面上这些力矩合成的结果应等于扭矩M，即

将式（1-42）代入得　　　　　　 　
令，称做截面的极惯性矩。则上式可以改写为　　　 　　
再令，称做抗扭截面模量。则得到
　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1-43)
将式(1-43)代入式(1-42)，可得出横截面上任一点的剪应力计算公式
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1-44)

三、极惯性矩Jr与抗扭截面模量Wr的计算

极惯性矩Jr与抗扭截面模量Wr是与截面尺寸和形状有关的几何量，可以按下述方法计算。
　(1) 对实心圆轴来说，如上图，可以取一圆环形的微面积dA，则dA=2p·r·dr，因此

　　(2) 对内径为d，外径为D的空心圆轴，它的极惯性矩Jr与抗扭截面模量Wr分别为  
　，
　令d/D=a，则

　　应当注意的是：圆形截面的极惯性矩是外圆与内圆的极惯性矩之差；而它的抗扭截面模量却不是外圆与内圆的抗扭截面模量之差。
　　下面是两道例题，供读者参照。
例1-22.设搅拌轴的转速为n＝50r/min，搅拌功率为N=2kW，搅拌轴的直径d=40mm，求轴内的最大应力。
解析：
轴的外力偶矩为 N·m
抗扭截面模量为 N·m
杆在扭转时的最大剪应力为
　　　　　　　 MPa　
例1-23.有一实心圆轴，直径为d=81mm；另一空心轴的内径为d=62mm，外径为D=102mm，这两根轴的截面积相同，等于51.5cm2。试比较这两根轴的抗扭截面模量。
解析：
实心轴 N·m
空心轴 N·m
　　由此可见，在材料相同、截面积相等的情况下，空心轴比实心轴的抗扭能力强，能够承受较大的外力矩。在相同的外力矩情况下，选用空心轴要比实心轴省材料。这从圆截面的应力分布也可以看出，实心轴圆周上的最大剪应力接近于许用剪应力时，中间部分剪应力还与许用剪应力相差很远，中间的材料大部分没有充分发挥它的作用。但空心轴比实心轴加工制造困难，造价也高，在实际工作中，要具体情况具体分析，合理地选择截面的形状与尺寸。