扭转时横截面上的应力.doc

第三节 扭转时横截面上的应力
一、应力分布规律
　　为了建立扭转的强度条件，在求出了圆轴各截面上的扭矩值后，还需要进一步研究扭转应力的分布规律，因而需要研究扭转变形。下面通过一个具体的实例来看看扭转变形。

　　取一根橡胶圆棒，为观察其变形情况，试验前在圆棒的表面画出许多圆周线和纵向线，形成许多小矩形，见上图。在轴的两端施加转向相反的力偶矩mA、mB，在小变形的情况下，可以看到圆棒的变形有如下特点：
　　　 1．变形前画在表面上的圆周线的形状、大小都没有改变，两相邻圆周线之间的距离也没有改变；
　　　 2．表面上的纵向线在变形后仍为直线，都倾斜了同一角度g，原来的矩形变成平行四边形。两端的横截面绕轴的中心线相对转动了一个角度j，叫做相对扭转角，见下图。观看动画，理解微元体的获得。

　　通过观察到的表面现象，可以推理得出以下结果：
　　　★　各横截面的大小、形状在变形前后都没有变化，仍是平面，只是相对地转过了一个角度，各横截面间的距离也不改变，从而可以说明轴向纤维没有拉、压变形，所以，在横截面上没有正应力产生；
　　　★　圆轴各横截面在变形后相互错动，矩形变为平行四边形，这正是前面讨论过的剪切变形，因此，在横截面上应有剪应力；
　　　★　变形后，横截面上的半径仍保持为直线，而剪切变形是沿着轴的圆周切线方向发生的。所以剪应力的方向也是沿着轴的圆周的切线方向，与半径互相垂直。
由此知道扭转时横截面上只产生剪应力，其方向与半径垂直。
下面进一步讨论剪应力在横截面上的分布规律。
　　为了观察圆轴扭转时内部的变形情况，找到变形规律，取受扭转轴中的微段dx来分析(上图a)。假想O2DC截面象刚性平面一样地绕杆轴线转动dj，轴表面的小方格ABCD歪斜成平行四边形ABC'D'，轴表面A点的剪应变就是纵线歪斜的角g，而经过半径O2D上任意点H的纵向线EH在杆变形后倾斜了一个角度gr，它也就是横截面上任一点E处的剪应变。应该注意，上述剪应变都是在垂直于半径的平面内的。设H点到轴线的距离为r，由于构件的变形通常很小，即

所以 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (a)
由于截面O2DC象刚性平面一样地绕杆轴线转动，图上△O2HH'与△O2DD'相似，得
　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　(b)
将式(b)代入(a)式得　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　(1-40)
上式表明，圆轴扭转时，横截面上靠近中心的点剪应变较小；离中心远的点剪应变较大；轴表面点的剪应变最大。各点的剪应变gr与离中心的距离r成正比。
　根据剪切虎克定律知道剪应力与剪应变成正比，即t=G·g。在弹性范围内剪应变g越大，则剪应力t也越大；横截面上离中心为r的点上，其剪应力为tr；轴表面的剪应力为t。因此有　 tr = G·gr　，t=G·g
代入（1-40）式可得 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1-41)
上式即说明了圆轴扭转时横截面上剪应力分布的规律是：横截面上各点的剪应力与它们离中心的距离成正比。圆心处剪应力为零，轴表面的剪应力t最大。分布情况如下图所示。
　　 演示动画
在横截面上剪应力也与剪应变有相同的分布规律。即
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1-42)
二、横截面上剪应力计算公式与最大剪应力
要计算剪应力，只知道了横截面上剪应力分布规律还不够，还必须分析截面上的扭矩M与剪应力t之间的关系。在截面上任取一距中心为r的微面积dA，作用在微面积上的力的总和tr·dA，对中心O的力矩等于tr·dA·r。截面上这些力矩合成的结果应等于扭矩M，即

将式（1-42）代入得　　　　　　 　
令，称做截面的极惯性矩。则上式可以改写为　　　 　　
再令，称做抗扭截面模量。则得到
　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1-43)
将式(1-43)代入式(1-42)，可得出横截面上任一点的剪应力计算公式
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1-44)

三、极惯性矩Jr与抗扭截面模量Wr的计算

极惯性矩Jr与抗扭截面模量Wr是与截面尺寸和形状有关的几何量，可以按下述方法计算。
　(1) 对实心圆轴来说，如上图，可以取一圆环形的微面积dA，则dA=2p·r·dr，因此

　　(2) 对内径为d，外径为D的空心圆轴，它的极惯性矩Jr与抗扭截面模量Wr分别为  
　，
　令d/D=a，则

　　应当注意的是：圆形截面的极惯性矩是外圆与内圆的极惯性矩之差；而它的抗扭截面模量却不是外圆与内圆的抗扭截面模量之差。
　　下面是两道例题，供读者参照。
例1-22.设搅拌轴的转速为n＝50r/min，搅拌功率为N=2kW，搅拌轴的直径d=40mm，求轴内的最大应力。
解析：
轴的外力偶矩为 N·m
抗扭截面模量为 N·m
杆在扭转时的最大剪应力为
　　　　　　　 MPa　
例1-23.有一实心圆轴，直径为d=81mm；另一空心轴的内径为d=62mm，外径为D=102mm，这两根轴的截面积相同，等于51.5cm2。试比较这两根轴的抗扭截面模量。
解析：
实心轴 N·m
空心轴 N·m
　　由此可见，在材料相同、截面积相等的情况下，空心轴比实心轴的抗扭能力强，能够承受较大的外力矩。在相同的外力矩情况下，选用空心轴要比实心轴省材料。这从圆截面的应力分布也可以看出，实心轴圆周上的最大剪应力接近于许用剪应力时，中间部分剪应力还与许用剪应力相差很远，中间的材料大部分没有充分发挥它的作用。但空心轴比实心轴加工制造困难，造价也高，在实际工作中，要具体情况具体分析，合理地选择截面的形状与尺寸。