八年级数学上册 等边三角形的判定教案 浙教版.doc

等边三角形的判定
教学目标：
1、 了解等边三角形的判定方法。
2、 会用等边三角形得相关判定解决简单的实际问题。
教学重点、难点
重点：等边三角形的判定方法和应用；含30°角的直角三角形的性质；几何问题的代数解法。
难点：理解含30°角的直角三角形的性质的理论依据。
教学设计：
一、回顾旧知，引入新知
1、等边三角形具有哪些性质。
2、等边三角形的概念：
三边都相等的三角形叫做等边三角形。
提出下列问题，组织学生进行分组讨论。
问题：一个三角形满足什么条件就是等边三角形？
1、 师生共同分析讨论，归纳出等边三角形的和判定方法。
2、 由等腰三角形的判定方法就可以得到：
⑴三边都相等的三角形叫做等边三角形。；
⑵三个角都相等的三角形是等边三角形．
A
B
C
⑶有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
二、新课学习
1.等腰三角形判定方法的证明
⑴三个角都相等的三角形是等边三角形。
已知：ΔABC中，∠A =∠B =∠C.
求证：△ABC是等边三角形
证明：∵∠A =∠B ∴AC=BC 同理：AB=AC
∴AB=AC=BC ∴△ABC是等边三角形
⑵已知，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°。（1）求证：△ABC是
等边三角形。
（1） 如果把∠A=60°改为∠B=60°或∠C=60°结论还成立吗？
_
（2） 由上你可以得到什么结论？
______________________________
证明：∵AB=AC ∴∠B =∠C=（180°-∠A ）=（180°-60°）=60°
∴∠A =∠B =∠C ∴△ABC是等边三角形
归纳：在判定三角形是等边三角形时
（1）若三角形是一般三角形，只要找_三边相等__或_三个角相等___ ；
（2）若三角形是等腰三角形，一般是找_有一个角等于60°____

让学生动手操作，用两个含30°角的三角尺摆一摆，猜一猜，证一证。
用含30°角的直角三角尺摆出了如下两个三角形．

其中，图（1）是等边三角形，因为△ABD≌△ACD，所以AB=AC，又因为Rt△ABD中，∠BAD=60°，所以∠ABD=60°，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
图（1）中，已经知道它是等边三角形，所以AB=BC=AC．而∠ADB=90°，即AD⊥BC．根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得BD=DC=BC．所以BD=AB，即在Rt△ABD中，∠BAD=30°，它所对的边BD是斜边AB的一半．
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．求证：BC=AB．

分析：从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长BC至D，使CD=BC，连接AD．

2.例题与练习
1.如图，在等边三角形ABC中，DE∥BC，△ADE是等边三角形吗？请说明理由。
解：△ADE是等边三角形 理由如下：
∵△ABC是等边三角形 ∴∠A =∠B =∠C
∵DE∥BC ∴∠1 =∠B ∠2 =∠C
∴∠A =∠1 =∠2 ∴△ADE是等边三角形

2. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高．
求：CD的长．

分析：观察图形可以发现，在Rt△ADC中，AC=2a，而∠DAC是△ABC的一个外角，则∠DAC=15°×2=30°，根据在直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半，可求出CD．

A
B
C
E
D
F
3.如图，D,E,F分别是等边三角形ABC的边AB,BC,AC上的点，且AD=BE=CF，则△DEF为等边三角形，请说明理由。
解：△DEF是等边三角形 理由如下：
∵△ABC是等边三角形 ∴∠A =∠B =∠C AB=AC=BC
∵AD=BE=CF ∴AB-AD=BC-BE=AC-CF
即：BD=CE=AF
∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS）
∴DE=DF=EF
∴△DEF是等边三角形
4.如图，△ABC是等边三角形,若∠ABE=∠BCF=∠CAD，则△DEF是等边三角形吗？为什么？
A
C
E
D
B
F
解：△DEF是等边三角形 理由如下：
∵△ABC是等边三角形 ∴∠BAC =∠ABC =∠ACB AB=AC=BC
∵∠ABE=∠BCF=∠CAD ∴∠BAC-∠CAD =∠ABC-∠ABE =∠ACB -∠BCF
即：∠BAE=∠CBF=∠ACD
∴△ABE≌△BCF≌△CAD（ASA）
∴BE=CF=AD AE=BF=CD ∴AE-AD=BF-BE=CD-CF
即：DE=DF=EF
∴△DEF是等边三角形

变式：如图，△DEF是等边三角形,分别延长ED,FE,DF到A,B,C，使AD=BE=CF，则△ABC是等边三角形吗？说明理由。
A
C
E
D
B
F
解：△ABC是等边三角形 理由如下：
∵△DEF是等边三角形 ∴∠DEF =∠DFE =∠EDF DE=DF=EF
∴∠ADE-∠EDF =∠BEF-∠DEF =∠CFD -∠DFE
即：∠ADC=∠BEA=∠CFB
∵AD=BE=CF DE=DF=EF ∴AD+DE=BE+EF=CF+DF
即：AE=BF=CD
∴△ABE≌△BCF≌△CAD（SAS）
∴AB=BC=AC
∴△ABC是等边三角形
5.小结