1、剪切位移法
图5-10 剪切位移解析原理
均质地基中单桩桩顶小变形条件下，桩身任一深度z的截面位移，即等于桩周土体r=r0处的剪切位移，即wz=wsz(r=r0)，且tz=tsz(r=r0)。因此，根据桩周土体任意r环面上剪切力相等的平衡条件（5-6a），可得轴对称条件下土体环面上剪切弹性力学物理方程（5-6b），积分后可得桩身任一深度z处，桩周土体半径为r的环面上的位移随径向r衰减模型（5-6c）。
（5-6a）
（5-6b）
（5-6c）
式中，rm为环面剪切变形的最大影响半径。rm为有限深度均质土中的影响修正系数rm=
2、G L/2/GL。其中GL/2为深度L/2处土的剪切模量；GL为深度L处土的剪切模量。
图5-11 剪切位移解析原理
将r=r0代入表达式（5-6c），可得：
（5-6d）
在上式tz~wz荷载传递规律，代入表达式（5-5b）可将桩身微单元微分控制方程改写成如下表达式：
（5-7）
求解上式（5-7）微分方程，可得：
， （5-8a）
将上式（5-8a）代入（5-5a），可得：
（5-8b）
可改写成：
3、 （5-8c）
设桩顶荷载和沉降分别为Q和s；桩端作用于持力层荷载及产生的位移分别为Qb和sb。桩顶z=0时，桩顶轴力和位移分别为N0=Q和w0=s；桩端z=L时，桩端轴力和位移分别为NL=Qb和wL=sb代上式（5-8c），整理后即可得到：
（5-9）
sh：双曲正弦 常记作sinh ch：双曲余弦 常记作cosh
Randolph(1978) [12]基于刚性体压入弹性半空间的解，给出了桩端持力层刚度系数ksb双曲线模型：
（5-10a）
4、 （5-10b）
式中，r桩端深度影响系数，Randolph建议r=0.85。
将上述（5-10b）带入表达式（5-9），则可得桩顶Q~s关系曲线如下
（5-11）
根据表达式（5-9）和（5-10），可以推导出桩端荷载分担比a如下：
（5-12）
由此可得，桩端荷载分担随桩端持力层刚度Ksb增加而增加，随桩身长度L增加而减小。
例题【5-1】某基桩桩径r=500mm，桩身混凝土等级C30，入土深度L=10m，桩侧粘性土压缩模量Es=5MPa，泊松比n=0.4；桩端持力层为砂性土，压缩模量E
5、s=10MPa，泊松比n=0.2。试分析单桩桩顶荷载沉降规律。
【解】
由桩身混凝土等级C30，可得弹性模量EC=30000MPa；
由r=500mm，可得桩身正截面抗压刚度EA=23550MN。
由L=10m、n=0.4和rm=G L/2/GL=0.5，可得到环面剪切变形的最大影响半径rm如下：
由桩侧粘性土Es=5MPa、n=0.4可得：
MPa/m
MPa
/m
桩端持力层砂性土Es=10MPa、泊松比n=0.2，可得：
MN/m
将上述指标代入表达式（5-11），可得不同条件下的单桩桩顶Q~s关系曲线，参见例图5-1-1和5-1-2。分析成果汇总，参见例
6、表5-1-1。分析表明：桩端刚度愈高、桩长愈长，单桩桩顶刚度愈高；反之亦然。
例图5-1（a）L=10m 例图5-1（b）Eb/Es=2.0
Q~s分析成果 例表5-1-1
桩顶沉降
s/mm
桩顶荷载Q/MN
L=10m
L=20m
Eb/Es=1.0
Eb/Es=2.0
Eb/Es=2.0
5
0.20
0.27
0.38
10
0.40
0.53
0.76
15
0.60
0.80
1.14
20
0.79
1.06
1.52
25
0
7、99
1.33
1.91
30
1.19
1.59
2.29
35
1.39
1.86
2.67
40
1.59
2.13
3.05
例表5-1-1,桩长L=10m，桩顶沉降s=20mm，以及Eb/Es=2.0，为单桩截面竖向位移、截面轴力以及对应截面桩侧摩阻力随深度分布特征，参见例图5-1（c）、例图5-1（d）和例图5-1（e）。由例图可以看出，随着桩身截面深度z增加，单桩桩身截面竖向位移减小，轴力减小，且桩侧摩阻力减小。由于桩长相对较短，桩身截面和模量又相对较高，上述桩身荷载传递规律的非线性特征相对不明显，尤其是正截面轴力随深度的分布特征，由于轴力坐标取值范围相对更大，几乎呈线性分布。
例图5-1（c） 例图5-1（d） 例图5-1（e）
【练习】假定单桩直径d=1.0m，长细比L/d=10、15、20、25和30；假设桩侧土模量Es=5MPa，端侧模量比Eb/Es=1、2、4、8和16，分别绘制桩端荷载分担a与L/d和Eb/Es关系曲线，验证上述结论。
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