1、概率论与数理统计期末试题（A）一、计算题（每小题6分，共30分）1 设事件仅发生一个的概率为0.3，且，求至少有一个发生的概率。解： 即 所以 .2 设随机变量服从泊松分布，且，求。解： 由 知 即 解得 ，故 .3 设随机变量在区间上服从均匀分布，则随机变量在区间内的概率密度为。解一：设的分布函数为的分布函数为，密度为则 因为，所以，即 故解二： 在上函数严格单调，反函数为所以。4 设随机变量相互独立，且均服从参数为的指数分布，求。解：，故 。5 设随机变量与相互独立，其概率分布分别为 求 解： 。二、（本题10分）装有10件某产品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的箱子中丢失一件产
2、品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都是一等品，求丢失的也是一等品的概率。 解：设从箱中任取2件都是一等品 丢失等品 . 则 ； 所求概率为.三、（本题12分）设随机变量的概率密度为 求（1）常数； （2）的分布函数； （3） 解：（1） （2）的分布函数为 （3）.四、（本题16分）设的概率密度为 求（1）边缘概率密度； （2）；解：（1） （2）x+y=1yy=xx0 .五、（本题6分）设总体，从总体中抽取一个容量为100的样本，问样本均值与总体均值之差的绝对值大于3的概率是多少？解：设样本均值为，则 .六、（本题10分）（1）设总体的概率密度为 试用来自总体的样本，求未知参数的
3、矩估计.解：先求总体的数学期望 故的矩估计为。 （2）设总体的密度为 试用样本求参数的最大似然估计.解：似然估计： ，取对数：求导数： ， 求方程： ， 解得的最大似然估计： .七、（本题10分）设某机器生产的零件长度（单位：cm），今抽取容量为16的样本，测得样本均值，样本方差. （1）求的置信度为0.95的置信区间；（2）检验假设（显著性水平为0.05）. 解：（1）的置信度为下的置信区间为 所以的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132） （2）的拒绝域为. ， 因为 ，所以接受.八、（本题6分）一批由同样原料织成的布，用五种不同的染整工艺处理，然后进行缩水试验，设每种
4、工艺处理4块布样，测得缩水率的结果如下表布样号缩 水 率12344.37.83.26.56.17.34.24.16.58.38.68.29.38.77.210.19.58.811.47.8问不同的工艺对布的缩水率是否有显著的影响 解 ，查附表5得.序号 12344.37.83.26.56.17.34.24.16.58.38.68.29.38.77.210.19.58.811.47.821.821.731.635.337.5147.9475.24470.89998.561246.091406.254597.03131.82112.24252.34316.03358.491149.25131.82112.24252.34316.03358.491170.92方差分析表方差来源平方和自由度均方值工 艺误 差55.5321.6741513.88251.44479.6095*总 和77.2019因为，所以工艺对缩水率有显著影响.附注： 6
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