期末试题-参考答案.doc

《概率论与数理统计》期末试题（A）

一、计算题（每小题6分，共30分）
1． 设事件仅发生一个的概率为0.3，且，求至少有一个发生的概率。
解：
即
所以
.
2． 设随机变量服从泊松分布，且，求。
解：
由 知
即 解得 ，故
.
3． 设随机变量在区间上服从均匀分布，则随机变量在区间内的概率密度为。
解一：设的分布函数为的分布函数为，密度为则

因为，所以，即
故

解二： 在上函数严格单调，反函数为
所以
。
4． 设随机变量相互独立，且均服从参数为的指数分布，，求。
解：，故

。
5． 设随机变量与相互独立，其概率分布分别为

求
解：
。
二、（本题10分）装有10件某产品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都是一等品，求丢失的也是一等品的概率。
解：设‘从箱中任取2件都是一等品’
‘丢失等品’ .
则
；
所求概率为.
三、（本题12分）设随机变量的概率密度为

求（1）常数； （2）的分布函数； （3）
解：（1）
∴
（2）的分布函数为

（3）.
四、（本题16分）设的概率密度为

求（1）边缘概率密度； （2）；
解：（1）

（2）
x+y=1
y
y=x
x
0
.

五、（本题6分）设总体，从总体中抽取一个容量为100的样本，问样本均值与总体均值之差的绝对值大于3的概率是多少？
解：设样本均值为，则

.
六、（本题10分）
（1）设总体的概率密度为

试用来自总体的样本，求未知参数的矩估计.
解：先求总体的数学期望

故的矩估计为。
（2）设总体的密度为

试用样本求参数的最大似然估计.
解：似然估计：
，
取对数：
求导数： ，
求方程： ，
解得的最大似然估计： .
七、（本题10分）设某机器生产的零件长度（单位：cm），今抽取容量为16的样本，测得样本均值，样本方差. （1）求的置信度为0.95的置信区间；（2）检验假设（显著性水平为0.05）.
解：（1）的置信度为下的置信区间为

所以的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132）
（2）的拒绝域为.
，
因为 ，所以接受.
八、（本题6分）一批由同样原料织成的布，用五种不同的染整工艺处理，然后进行缩水试验，设每种工艺处理4块布样，测得缩水率的结果如下表
布样号
缩 水 率

1
2
3
4
4.3
7.8
3.2
6.5
6.1
7.3
4.2
4.1
6.5
8.3
8.6
8.2
9.3
8.7
7.2
10.1
9.5
8.8
11.4
7.8
问不同的工艺对布的缩水率是否有显著的影响
解 ，查附表5得
.

序号

1
2
3
4
4.3
7.8
3.2
6.5
6.1
7.3
4.2
4.1
6.5
8.3
8.6
8.2
9.3
8.7
7.2
10.1
9.5
8.8
11.4
7.8

21.8
21.7
31.6
35.3
37.5
147.9

475.24
470.89
998.56
1246.09
1406.25
4597.03

131.82
112.24
252.34
316.03
358.49
1149.25

131.82
112.24
252.34
316.03
358.49
1170.92
方差分析表
方差来源
平方和
自由度
均方
值
工 艺
误 差
55.53
21.67
4
15
13.8825
1.4447
9.6095**

总 和
77.20
19

因为，所以工艺对缩水率有显著影响.

附注：

·6·