轴对称与中心对称定义精讲及练习题.doc

一、轴对称与轴对称图形：1.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段。2.轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。（注意：对称轴是直线而不是线段）3.轴对称的性质：（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形；（2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线；（3）两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上；（4）如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。4.线段垂直平分线：（1）定义：垂直平分一条线段的直线是这条线的垂直平分线。（2）性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。（注意：根据线段垂直平分线的这一特性可以推出：三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。）5.角的平分线：（1）定义：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线.（2）性质：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.（注意：根据角平分线的性质，三角形的三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.）6.等腰三角形的性质与判定：性质：（1）对称性：等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，或底边上的高所在的直线是它的对称轴，或顶角的平分线所在的直线是它的对称轴；（2）三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；（3）等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。说明：等腰三角形的性质除“三线合一”外，三角形中的主要线段之间也存在着特殊的性质，如：等腰三角形两底角的平分线相等；等腰三角形两腰上的中线相等；等腰三角形两腰上的高相等；等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等。判定定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。7.等边三角形的性质与判定：性质：（1）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60；（2）等边三角形具有等腰三角形的所有性质，并且在每条边上都有“三线合一”。因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，而等腰三角形（非等边三角形）只有一条对称轴。判定定理：有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。说明：等边三角形是一种特殊的三角形，容易知道等边三角形的三条高（或三条中线、三条角平分线）都相等。二、中心对称与中心对称图形：1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180，如果它能够和另外一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。2.中心对称图形：在平面内，一个图形绕某个点旋转180，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。3.中心对称的性质：（1）关于中心对称的两个图形是全等形；（2）在成中心对称的两个图形中,连接对称点的线段都经过对称中心,并且被对称中心平分；（3）成中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。三、轴对称与中心对称的区别与联系：轴对称中心对称有一条对称轴直线有一个对称中心点图形沿对称轴对折(翻折180)后重合图形绕对称中心旋转180 后重合对称点的连线被对称轴垂直平分对称点连线经过对称中心,且被对称中心平分四、几种常见的轴对称图形和中心对称图形：轴对称图形：线段、角、等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形、圆对称轴的条数：角有一条对称轴，即该角的角平分线；等腰三角形有一条对称轴，是底边的垂直平分线；等边三角形有三条对称轴，分别是三边上的垂直平分线；菱形有两条对称轴，分别是两条对角线所在的直线，矩形有两条对称轴分别是两组对边中点的直线；中心对称图形：线段 、平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆对称中心：线段的对称中心是线段的中点；平行四边形、菱形、矩形、正方形的对称中心是对角线的交点，圆的对称中心是圆心。说明：线段、菱形、矩形、正方形以及圆它们即是轴对称图形又是中心对称图形。五、坐标系中的轴对称变换与中心对称变换： 点P(x,y)关于x轴对称的点P1的坐标为(x,-y)，关于y轴对称的点P2的坐标为(-x,y)。关于原点对称的点的坐标P3的坐标是(-x,-y)这个规律也可以记为：关于y轴（x轴）对称的点的纵坐标（横坐标）相同，横坐标（纵坐标）互为相反数。 关于原点成中心对称的点的，横坐标为原横坐标的相反数，纵坐标为原纵坐标的相反数，即横坐标、纵坐标同乘以-1。常见考法（1）判别某些图形是不是轴对称图形能找出对称轴，对称轴的条数、判别某些图形是中心对称图形能找到对称中心；（2）利用垂直平分线性质、角平分线性质证明一些结论；（3）利用等腰三角形三线合一性质证明线段相等、线段垂直；（4）直接证明某一个三角形是等腰三角形；（4）轴对称图形的实际应用（如镜子中的轴对称问题、解决一些折叠问题、还有求几个线段之和最短问题）。误区提醒（1）把轴对称与轴对称图形的概念、中心对称与中心对称图形的概念混淆；（2）把轴对称与全等混淆；（3）找轴对称图形的对称轴不全、不准；（4）在解有关等腰三角形问题时，没有进行分类讨论，造成漏解。100份全国中考数学真题汇编平移旋转与对称一、选择题1. （2011浙江省舟山，3，3分）如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若COD是由AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（ ）（A）30（B）45（C）90（D）135（第3题）2. （2011广东广州市，4，3分）将点A（2，1）向左平移2个单位长度得到点A，则点A的坐标是（ ）AB CD3. （2011江苏扬州，8,3分）如图，在RtABC中，ACB=90，A=30，BC=2，将ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到EDC，此时，点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为（ ） A. 30，2 B.60，2 C. 60， D. 60，4. （2011山东菏泽，5，3分）如图所示，已知在三角形纸片ABC中，BC=3， AB=6，ABCDEBCA=90，在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则DE的长度为 A6 B3 C D 5. （2011山东泰安，3，3分）下列图形：其中是中心对称图形的个数为（ ）A.1 B.2 C.3 D.46. （2011浙江杭州，2，3）正方形纸片折一次，沿折痕剪开，能剪得的图形是（ ）A锐角三角形 B钝角三角形 C梯形 D菱形7. (2011 浙江湖州，8，3)如图，已知OAB是正三角形，OCOB，OC=OB，将OAB绕点O按逆时针方向旋转，使得OA与OC重合，得到OCD，则旋转的角度是A150B120C90D608. （2011台湾台北，21）21.坐标平面上有一个线对称图形，、两点在此图形上且互为对称点。若此图形上有一点，则C的对称点坐标为何？A B C DBCADE第9题9. （2011山东济宁，9，3分）如图，ABC的周长为30cm，把ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连接AD，若AE=4cm，则ABD的周长是A22cm B20 cm C18cm D15cm第10题图ABCOyx10. （2011湖北黄冈，14，3分）如图，把RtABC放在直角坐标系内，其中CAB=90，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），将ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x6上时，线段BC扫过的面积为（ ）A4B8C16D二、填空题1. （2011山东济宁，13，3分）如图，是经过某种变换后得到的图形.如果中任意一点的坐标为（，），那么它的对应点的坐标为 . 2. （2011福建泉州，11，4分）如图所示，以点O为旋转中心，将按顺时针方向旋转得到，若=，则的余角为 度3. （2011江苏泰州，16，3分）如图，ABC的三个顶点都在55的网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上，将ABC点B顺时针旋转到ABC的位置，且点A、C仍落在格点上，则线段AB扫过的图形的面积是 平方单位（结果保留）4. （2011四川成都，14,4分）如图，在RtABC中，ACB=90，AC=BC=1，将RtABC绕A点逆时针旋转30后得到R tADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是_.(第14题)ABCDFE5. (2011江苏南京，14，2分)如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，BE=CF，连接AE、BF，将ABE绕正方形的中心按逆时针方向转到BCF，旋转角为a（0a180），则a=_三、解答题AABBC1. （2011安徽，22，12分）在ABC中，ACB=90，ABC=30，将ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为（0180），得到ABC（1）如图（1），当ABCB时，设AB与CB相交于点D证明：ACD是等边三角形； （2）如图（2），连接AA、BB，设ACA 和BCB 的面积分别为SACA 和SBCB求证：SACA ：SBCB =1：3；2. （2011山东济宁，22，分）去冬今春，济宁市遭遇了200年不遇的大旱,某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村A和李村B送水经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O为坐标原点，以河道所在的直线为x轴建立直角坐标系（如图），两村的坐标分别为A（2，3），B(12，7)(1)若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥O多远的地方可使所用输水管最短?(2)水泵站建在距离大桥O多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？O24681012x/千米2468y/千米AB第2题3. （2011山东聊城，20，8分）将两块大小相同的含30角的直角三角板（BACBAC30）按图方式放置，固定三角板ABC，然后将三角板ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转（旋转角小于90）至图所示的位置，AB与AC交于点E，AC与AB交于点F，AB与AB相交于点O（1）求证：BCEBCF；（2）当旋转角等于30时，AB与AB垂直吗？请说明理由6