轴对称与中心对称定义精讲及练习题.doc

一、轴对称与轴对称图形：
1.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段。
2.轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。（注意：对称轴是直线而不是线段）
3.轴对称的性质：（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形；
（2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线；
（3）两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上；
（4）如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
4.线段垂直平分线：（1）定义：垂直平分一条线段的直线是这条线的垂直平分线。
（2）性质：①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
   ②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。（注意：根据线段垂直平分线的这一特性可以推出：三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。）
5.角的平分线：（1）定义：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线.（2）性质：①在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.②到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
（注意：根据角平分线的性质，三角形的三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.）
6.等腰三角形的性质与判定：
性质：（1）对称性：等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，或底边上的高所在的直线是它的对称轴，或顶角的平分线所在的直线是它的对称轴；（2）三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；（3）等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。
说明：等腰三角形的性质除“三线合一”外，三角形中的主要线段之间也存在着特殊的性质，如：①等腰三角形两底角的平分线相等；②等腰三角形两腰上的中线相等；③等腰三角形两腰上的高相等；④等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等。
判定定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。
7.等边三角形的性质与判定：
性质：（1）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；
       （2）等边三角形具有等腰三角形的所有性质，并且在每条边上都有“三线合一”。因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，而等腰三角形（非等边三角形）只有一条对称轴。
判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
说明：等边三角形是一种特殊的三角形，容易知道等边三角形的三条高（或三条中线、三条角平分线）都相等。
二、中心对称与中心对称图形：
1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够和另外一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。
2.中心对称图形：在平面内，一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。
3.中心对称的性质：
（1）关于中心对称的两个图形是全等形；
（2）在成中心对称的两个图形中,连接对称点的线段都经过对称中心,并且被对称中心平分；
（3）成中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。
三、轴对称与中心对称的区别与联系：
轴对称
中心对称
有一条对称轴——直线
有一个对称中心——点
图形沿对称轴对折(翻折180º)后重合
图形绕对称中心旋转180 º后重合
对称点的连线被对称轴垂直平分
对称点连线经过对称中心,且被对称中心平分

四、几种常见的轴对称图形和中心对称图形： 
轴对称图形：线段、角、等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形、圆
对称轴的条数：角有一条对称轴，即该角的角平分线；等腰三角形有一条对称轴，是底边的垂直平分线；等边三角形有三条对称轴，分别是三边上的垂直平分线；菱形有两条对称轴，分别是两条对角线所在的直线，矩形有两条对称轴分别是两组对边中点的直线；中心对称图形：线段 、平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆
对称中心：线段的对称中心是线段的中点；平行四边形、菱形、矩形、正方形的对称中心是对角线的交点，圆的对称中心是圆心。
说明：线段、菱形、矩形、正方形以及圆它们即是轴对称图形又是中心对称图形。
五、坐标系中的轴对称变换与中心对称变换：
        点P(x,y)关于x轴对称的点P1的坐标为(x,-y)，关于y轴对称的点P2的坐标为(-x,y)。关于原点对称的点的坐标P3的坐标是(-x,-y)这个规律也可以记为：关于y轴（x轴）对称的点的纵坐标（横坐标）相同，横坐标（纵坐标）互为相反数。 关于原点成中心对称的点的，横坐标为原横坐标的相反数，纵坐标为原纵坐标的相反数，即横坐标、纵坐标同乘以-1。
 常见考法
（1）判别某些图形是不是轴对称图形能找出对称轴，对称轴的条数、判别某些图形是中心对称图形能找到对称中心；（2）利用垂直平分线性质、角平分线性质证明一些结论；（3）利用等腰三角形三线合一性质证明线段相等、线段垂直；（4）直接证明某一个三角形是等腰三角形；（4）轴对称图形的实际应用（如镜子中的轴对称问题、解决一些折叠问题、还有求几个线段之和最短问题）。
 误区提醒（1）把轴对称与轴对称图形的概念、中心对称与中心对称图形的概念混淆；（2）把轴对称与全等混淆；（3）找轴对称图形的对称轴不全、不准；（4）在解有关等腰三角形问题时，没有进行分类讨论，造成漏解。

100份全国中考数学真题汇编
平移旋转与对称
一、选择题
1. （2011浙江省舟山，3，3分）如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（　 　）
（A）30° （B）45° （C）90° （D）135°
（第3题）

2. （2011广东广州市，4，3分）将点A（2，1）向左平移2个单位长度得到点A′，则点A′的坐标是（ ）
A．　　　　　　　　B． C．　　　　　　　D．
3. （2011江苏扬州，8,3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90º，∠A=30º，BC=2，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△EDC，此时，点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为（ ）

A. 30，2 B.60，2 C. 60， D. 60，
4. （2011山东菏泽，5，3分）如图所示，已知在三角形纸片ABC中，BC=3， AB=6，
A
B
C
D
E

∠BCA=90°，在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，
A与BC延长线上的点D重合，则DE的长度为
A．6 B．3 C． D．
5. （2011山东泰安，3，3分）下列图形：

其中是中心对称图形的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
6. （2011浙江杭州，2，3）正方形纸片折一次，沿折痕剪开，能剪得的图形是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．梯形 D．菱形
7. (2011 浙江湖州，8，3)如图，已知△OAB是正三角形，OC⊥OB，OC=OB，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转，使得OA与OC重合，得到△OCD，则旋转的角度是
A．150° B．120° C．90° D．60°

8. （2011台湾台北，21）21.坐标平面上有一个线对称图形，、两点在此图形上且互为对称点。若此图形上有一点，则C的对称点坐标为何？
A． 　　　B． 　　　C．　　 D．
B
C
A
D
E
第9题
9. （2011山东济宁，9，3分）如图，△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连接AD，若AE=4cm，则△ABD的周长是
A．22cm B．20 cm
C．18cm D．15cm

 第10题图
A
B
C
O
y
x
10. （2011湖北黄冈，14，3分）如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，
其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），
将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x－6上时，线段BC扫过
的面积为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．

二、填空题
1. （2011山东济宁，13，3分）如图，是经过某种变换后得到的
图形.如果中任意一点的坐标为（，），那么它的对应点
的坐标为 .
2. （2011福建泉州，11，4分）如图所示，以点O为旋转中心，将按顺时
针方向旋转得到，若=，则的余角为 度．
3. （2011江苏泰州，16，3分）如图，△ABC的三个顶点都在5×5的网格
（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上，将△ABC点B顺时针
旋转到△ABC的位置，且点A、C仍落在格点上，则线段AB扫过的图形的面
积是 平方单位（结果保留π）．
4. （2011四川成都，14,4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，
将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到R t△ADE，点B经过的路径为，
则图中阴影部分的面积是___________.
(第14题)
A
B
C
D
F
E
5. (2011江苏南京，14，2分)如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，
BE=CF，连接AE、BF，将△ABE绕正方形的中心按逆时针方向转到△BCF，旋转角
为a（0°＜a＜180°），则∠a=______．
三、解答题

A
θ
A′
B′
B
C
1. （2011安徽，22，12分）在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为（0°＜＜180°），得到△A′B′C．
（1）如图（1），当AB∥CB′时，设A′B′与CB相交于点D．
证明：△A′CD是等边三角形；
（2）如图（2），连接A′A、B′B，设△ACA′ 和△BCB′ 的面积分别为S△ACA′ 和S△BCB′．
求证：S△ACA′ ：S△BCB′ =1：3；

2. （2011山东济宁，22，８分）去冬今春，济宁市遭遇了200年不遇的大旱,某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村A和李村B送水．经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O为坐标原点，以河道所在的直线为x轴建立直角坐标系（如图），两村的坐标分别为A（2，3），B(12，7)．
(1)若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥O多远的地方可使所用输水管最短?
(2)水泵站建在距离大桥O多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？
O
2
4
6
8
10
12
x/千米
2
4
6
8
y/千米
A
B
第2题

3. （2011山东聊城，20，8分）将两块大小相同的含30°角的直角三角板（∠BAC＝∠B′A′C＝30°）按图①方式放置，固定三角板A′B′C，然后将三角板ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转（旋转角小于90°）至图②所示的位置，AB与A′C交于点E，AC与A′B′交于点F，AB与A′B′相交于点O．
（1）求证：△BCE≌△B′CF；
（2）当旋转角等于30°时，AB与A′B′垂直吗？请说明理由．

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