工程力学课程第7章.doc

第7章 教学方案扭转基本内容扭转的概念和内力分析纯剪切圆轴扭转时横截面上的应力和强度计算圆轴扭转时的变形与刚度计算教学目的1、 了解扭转变形的工程实例，掌握用截面法求截面上扭矩并画扭矩图。2、理解纯剪切的概念、切应力互等定理。3、熟练掌握圆轴扭转时横截面上的应力分布及强度计算。4、掌握圆轴扭转时的变形和扭转刚度计算。重点、难点圆轴扭转时横截面上的应力及扭转角的计算。第7章 扭 转7.1 扭转的概念和内力分析7.1.1 扭转的工程实例扭转是杆件基本变形之一。在工程实际和日常生活中经常遇到扭转变形的杆件，例如，图7.1（a）中方向盘带动的汽车转向轴和图7.1（b）中拧螺丝用到的螺丝刀等。图7.1这些杆件都是各横截面绕轴线发生相对转动。杆件的这种变形形式称为扭转变形。以扭转变形为主的杆件称为轴。7.1.2 圆轴扭转的受力和变形特点扭转变形杆件的计算简图如图7.2所示。 图7.2其受力和变形特点为： 受力特点：受到一对大小相等，方向相反，作用面与横截面平行的外力偶作用。变形特点：轴表面上平行于轴线的母线倾斜角，同时各横截面绕轴线相对转动，产生了扭转角。图中称为剪切角；称为扭转角。7.1.3 外力偶矩的计算在工程中，通常给出的是轴上所传送的功率和轴的转速。设轴所传递的功率为，外力偶矩为，轴的角速度为。则通过功率、转速与外力偶矩间的关系确定外力偶矩。由转动功率的计算方法知： 故： 上式中功率P的单位为瓦（w），角速度的单位为弧度/秒（rad/s）。若取工程中常用单位：功率为千瓦（），力偶矩为牛米（），转速n为转/分（）。做单位变换，代入上式，得 （） （7-1）7.1.4 扭转时横截面上的扭矩和扭矩图图7.3（a）所示为一受扭圆轴，若欲求横截面上的内力，则可假想地用一平面沿截面将该轴分为I、II两部分如图7.3（b）,(c)所示。若取左段I研究，由该段的平衡方程可知，在截面上必存在一个转向与外力偶相反的内力偶T。列平衡方程图7.3 式中为截面上的内力偶矩，称为扭矩，它是I、II两部分截面上相互作用的分布内力系的合力偶矩。扭矩的符号规定如下：若按右手螺旋法则把表示为矢量，当矢量方向与截面的外法线方向一致时，为正；反之为负。如果作用于轴上的外力偶多于两个，外力偶将轴分成若干段，各段横截面上的扭矩不尽相同，则需分段求出扭矩。为了表示沿轴线各截面的扭矩变化情况，用扭矩图来表示。【例7-1】 图7.4(a)所示轴，已知转速，功率由轮输入，通过轮、输出，试作轴的扭矩图。解：（1）外力偶矩计算 由式（7-1）得 图7.4（2）扭矩计算 用截面法分别计算和段扭矩（按正向假设，如图7.4（c）所示）。由平衡条件可得：， （3）作扭矩图 如图7.4（d）所示。7.2纯剪切7.2.1 薄壁圆筒扭转时的切应力分析图7.5（a）所示为一薄壁圆筒，其壁厚远远小于其平均半径（）。为了得到横截面上的应力分布情况，作扭转试验。观察变形现象得如下变形特点（图7.5（b）：（1） 圆周线的形状、大小和间距均不变；（2） 在小变形下，纵向线倾斜相同的角度且仍近似为直线；（3） 表面的方格左、右两边发生相对错动而变为平行四边形。图7.5结论：当薄壁圆筒扭转时，其横截面及包含轴线的纵向截面上都没有正应力，横截面上只有切应力。因为筒壁的厚度很小，可以认为沿壁厚切应力均匀分布。又由于在同一圆周上各点变形相同，应力也就相同，方向沿圆周切线方向，如图7.5（c）所示。横截面上切应力的合力为横截面上的扭矩，即： 故： （7-2）7.2.2 纯剪切的概念、切应力互等定理 用相邻的两个横截面和和两个纵向截面，从圆筒中取出边长分别为和的微小六面体，称之为单元体，如图7.6所示。单元体左、右两侧面是圆筒横截面的一部分，其上应力数值相等但方向相反，形成了一个力偶，力偶矩为。由于圆筒平衡，单元体必也平衡。为保持其平衡，单元体的上、下两个侧面上必然有切应力，且大小相等、方向相反，组成一个与相平衡的力偶。设上、下两个侧面上的切应力为，由得： 所以 图7.6即：在相互垂直的一对平面上，切应力同时存在，数值相等，且都垂直于两个平面的交线，方向共同指向或共同背离这一交线。这就是切应力互等定理。单元体的上、下、左、右四个侧面上，只有切应力而无正应力，这种应力状态称为纯剪切。7.2.3 剪切胡克定律实验可得，在弹性变形范围内，切应力与切应变成正比，其关系可表示为： （7-3）其中为材料的剪切弹性模量或称切变模量。式（7-3）称为剪切胡克定律，即在剪切弹性范围内，切应变与切应力成正比。至此，已经介绍了三个与材料有关的弹性常数、，对各向同性材料，三者的关系为 （7-4）7.3圆轴扭转时横截面上的应力和强度计算7.3.1 圆轴扭转时横截面上的应力分析1、 变形几何关系圆轴扭转平面假设：等直圆轴发生扭转变形后，其横截面仍保持为平面，其大小、形状和横截面间的距离均保持不变，横截面如同刚性平面般绕轴线转动。如图7.7（a）所示为一受扭圆轴，图7.7从变形后的圆轴中取出长为的一段，如图7.7（b）所示。从图7.7（b）所示关系，可知 所以 （7-5）式中，为单位长度的扭转角，对于给定的横截面为常量。式（7-5）说明，等直圆轴受扭时，横截面上任一点处的切应变与到轴心的距离成正比。2、 物理关系在弹性范围内，切应力与切应变服从剪切胡克定律，由式（7-3）可得 （7-6）上式表明，横截面上切应力与到轴心的距离成正比。切应力的分布如图7.8（a）所示。3、 静力学关系如图7.8（b）所示，在距圆心处的微面积上，内力对圆心的微力矩为。在整个截面上，所有微力矩之和应等于扭矩，即式中，为横截面面积，将得到的应力关系（7-6）代入上式可得 积分只与截面尺寸有关，称为截面的极惯性矩，用表示，即 （7-7）于是得 （7-8）再将上式代入应力关系式（7-6），有 （7-9）式（7-9）即为圆轴扭转时横截面上的切应力计算公式，对于空心圆轴同样适用。图7.87.3.2 圆轴扭转时的强度条件由式（7-9）知，当，即在圆轴外表面上各点切应力最大，其值为 若令 （7-10）则上式可写成 （7-11）式中是一个与截面尺寸有关的量，称为抗扭截面系数。为了保证扭转时的强度，必须使最大切应力不超过许用切应力。于是可建立圆轴受扭时的强度条件： （7-12）式中，为危险截面上的扭矩，为轴材料的许用切应力。对于塑性材料 对于脆性材料 7.3.3 极惯性矩和抗扭截面系数如图7.9（a）所示，即。从式（7-7）和（7-10）得实心圆截面的极惯性矩和抗扭截面系数为 ； 设空心圆轴的内、外径分别为和，如图7.9（b）所示，其比值，则从式（7-7）和（7-10）可得 ； 式中，的单位为， 的单位为。图7.9【例7-2】 一阶梯轴计算简图如图7.11（a）所示。已知，许用切应力。求许可的最大外力偶矩。解：（1）作扭矩图如图7-12（b）所示。虽然段扭矩比段小，但其直径也比段图7.11小，因此两段轴的强度都必须考虑。（2）许可的最大外力偶矩按段强度计算 按段强度计算 故许可外力偶矩 。7.4圆轴扭转时的变形与刚度计算7.4.1圆轴扭转时的变形根据式（7-8）可得，相距为dx的两截面间的相对扭转角为： （7-13）扭转角的转向与扭矩的符号相对应。长为的圆轴扭转角计算公式为： （7-14）若在轴两截面之间的值不变，且轴为等直圆轴，则： （7-15）式中称为圆轴的抗扭刚度，愈大，就愈小。若轴在各段内的扭矩并不相同，或者各段内截面极惯性矩不同（如阶梯轴），则分段计算各段的相对转角，然后求其代数和。即 ： （7-16） 7.4.2圆轴扭转时的刚度条件和三类刚度计算问题为了防止因过大的扭转变形而影响机器的正常工作，必须对某些轴的扭转角加以限制。由于实际中轴的长度不同，通常将轴的单位长度扭转角作为扭转变形指标，要求它不超过规定的许用值。由式（7-8）知，单位长度的扭转角为： （由此可建立圆轴扭转的刚度条件： （ （7-17）对于等直圆轴有 （ （7-18）【例7-3】已知图7.13所示某传动轴的转速传递的功率，轴的，。试分别设计AB段、BC段圆轴的直径。图7.13解：（1）计算外力偶矩，作扭矩图作扭矩图如图7.13（b）所示。（2）设计段直径由扭转强度条件： 得： 由扭转刚度条： 得 ：所以取。（3）设计段直径同理，由扭转强度条件得；由扭转刚度条件得所以取。