工程力学课程第7章.doc

第7章 教学方案
——扭转

基
本
内
容

扭转的概念和内力分析
纯剪切
圆轴扭转时横截面上的应力和强度计算
圆轴扭转时的变形与刚度计算

教
学
目
的

1、 了解扭转变形的工程实例，掌握用截面法求截面上扭矩并画扭矩图。
2、理解纯剪切的概念、切应力互等定理。
3、熟练掌握圆轴扭转时横截面上的应力分布及强度计算。
4、掌握圆轴扭转时的变形和扭转刚度计算。

重
点
、
难
点

圆轴扭转时横截面上的应力及扭转角的计算。

第7章 扭 转

7.1 扭转的概念和内力分析

7.1.1 扭转的工程实例
扭转是杆件基本变形之一。在工程实际和日常生活中经常遇到扭转变形的杆件，例如，图7.1（a）中方向盘带动的汽车转向轴和图7.1（b）中拧螺丝用到的螺丝刀等。

图7.1
这些杆件都是各横截面绕轴线发生相对转动。杆件的这种变形形式称为扭转变形。以扭转变形为主的杆件称为轴。
7.1.2 圆轴扭转的受力和变形特点
扭转变形杆件的计算简图如图7.2所示。

图7.2
其受力和变形特点为：
受力特点：受到一对大小相等，方向相反，作用面与横截面平行的外力偶作用。
变形特点：轴表面上平行于轴线的母线倾斜角，同时各横截面绕轴线相对转动，产生了扭转角φ。图中称为剪切角；φ称为扭转角。
7.1.3 外力偶矩的计算
在工程中，通常给出的是轴上所传送的功率和轴的转速。设轴所传递的功率为，外力偶矩为，轴的角速度为。则通过功率、转速与外力偶矩间的关系确定外力偶矩。
由转动功率的计算方法知：

故：
上式中功率P的单位为瓦（w），角速度的单位为弧度/秒（rad/s）。若取工程中常用单位：功率为千瓦（），力偶矩为牛米（），转速n为转/分（）。做单位变换，代入上式，得
（） （7-1）
7.1.4 扭转时横截面上的扭矩和扭矩图
图7.3（a）所示为一受扭圆轴，若欲求横截面上的内力，则可假想地用一平面沿截面将该轴分为I、II两部分如图7.3（b）,(c)所示。若取左段I研究，由该段的平衡方程可知，在截面上必存在一个转向与外力偶相反的内力偶T。列平衡方程

图7.3

式中为截面上的内力偶矩，称为扭矩，它是I、II两部分截面上相互作用的分布内力系的合力偶矩。
扭矩的符号规定如下：若按右手螺旋法则把表示为矢量，当矢量方向与截面的外法线方向一致时，为正；反之为负。
如果作用于轴上的外力偶多于两个，外力偶将轴分成若干段，各段横截面上的扭矩不尽相同，则需分段求出扭矩。为了表示沿轴线各截面的扭矩变化情况，用扭矩图来表示。
【例7-1】 图7.4(a)所示轴，已知转速，功率由轮输入，，通过轮、输出，，试作轴的扭矩图。
解：（1）外力偶矩计算 由式（7-1）得

图7.4

（2）扭矩计算 用截面法分别计算和段扭矩（按正向假设，如图7.4（c）所示）。由平衡条件可得：
，
（3）作扭矩图 如图7.4（d）所示。

7.2纯剪切
7.2.1 薄壁圆筒扭转时的切应力分析
图7.5（a）所示为一薄壁圆筒，其壁厚远远小于其平均半径（）。为了得到横截面上的应力分布情况，作扭转试验。观察变形现象得如下变形特点（图7.5（b））：
（1） 圆周线的形状、大小和间距均不变；
（2） 在小变形下，纵向线倾斜相同的角度且仍近似为直线；
（3） 表面的方格左、右两边发生相对错动而变为平行四边形。

图7.5
结论：当薄壁圆筒扭转时，其横截面及包含轴线的纵向截面上都没有正应力，横截面上只有切应力。
因为筒壁的厚度很小，可以认为沿壁厚切应力均匀分布。又由于在同一圆周上各点变形相同，应力也就相同，方向沿圆周切线方向，如图7.5（c）所示。横截面上切应力的合力为横截面上的扭矩，即：

故：
（7-2）7.2.2 纯剪切的概念、切应力互等定理
用相邻的两个横截面和和两个纵向截面，从圆筒中取出边长分别为和的微小六面体，称之为单元体，如图7.6所示。单元体左、右两侧面是圆筒横截面的一部分，其上应力数值相等但方向相反，形成了一个力偶，力偶矩为。由于圆筒平衡，单元体必也平衡。为保持其平衡，单元体的上、下两个侧面上必然有切应力，且大小相等、方向相反，组成一个与相平衡的力偶。设上、下两个侧面上的切应力为，由得：

所以

图7.6
即：在相互垂直的一对平面上，切应力同时存在，数值相等，且都垂直于两个平面的交线，方向共同指向或共同背离这一交线。这就是切应力互等定理。
单元体的上、下、左、右四个侧面上，只有切应力而无正应力，这种应力状态称为纯剪切。
7.2.3 剪切胡克定律
实验可得，在弹性变形范围内，切应力与切应变成正比，其关系可表示为：
（7-3）
其中为材料的剪切弹性模量或称切变模量。
式（7-3）称为剪切胡克定律，即在剪切弹性范围内，切应变与切应力成正比。
至此，已经介绍了三个与材料有关的弹性常数、μ、，对各向同性材料，三者的关系为
（7-4）

7.3圆轴扭转时横截面上的应力和强度计算

7.3.1 圆轴扭转时横截面上的应力分析
1、 变形几何关系
圆轴扭转平面假设：等直圆轴发生扭转变形后，其横截面仍保持为平面，其大小、形状和横截面间的距离均保持不变，横截面如同刚性平面般绕轴线转动。
如图7.7（a）所示为一受扭圆轴，

图7.7
从变形后的圆轴中取出长为的一段，如图7.7（b）所示。从图7.7（b）所示关系，可知

所以
（7-5）
式中，为单位长度的扭转角，对于给定的横截面为常量。式（7-5）说明，等直圆轴受扭时，横截面上任一点处的切应变与到轴心的距离成正比。
2、 物理关系
在弹性范围内，切应力与切应变服从剪切胡克定律，由式（7-3）可得
（7-6）
上式表明，横截面上切应力与到轴心的距离成正比。切应力的分布如图7.8（a）所示。
3、 静力学关系
如图7.8（b）所示，在距圆心处的微面积上，内力对圆心的微力矩为。在整个截面上，所有微力矩之和应等于扭矩，即

式中，为横截面面积，将得到的应力关系（7-6）代入上式可得

积分只与截面尺寸有关，称为截面的极惯性矩，用表示，即
（7-7）
于是得
（7-8）
再将上式代入应力关系式（7-6），有
（7-9）
式（7-9）即为圆轴扭转时横截面上的切应力计算公式，对于空心圆轴同样适用。

图7.8

7.3.2 圆轴扭转时的强度条件
由式（7-9）知，当，即在圆轴外表面上各点切应力最大，其值为

若令
（7-10）
则上式可写成
（7-11）
式中是一个与截面尺寸有关的量，称为抗扭截面系数。
为了保证扭转时的强度，必须使最大切应力不超过许用切应力。于是可建立圆轴受扭时的强度条件：
（7-12）
式中，为危险截面上的扭矩，为轴材料的许用切应力。
对于塑性材料
对于脆性材料
7.3.3 极惯性矩和抗扭截面系数
如图7.9（a）所示，即。从式（7-7）和（7-10）得实心圆截面的极惯性矩和抗扭截面系数为
；
设空心圆轴的内、外径分别为和，如图7.9（b）所示，其比值，则从式（7-7）和（7-10）可得
；
式中，的单位为， 的单位为。

图7.9
【例7-2】 一阶梯轴计算简图如图7.11（a）所示。已知，，许用切应力。求许可的最大外力偶矩。
解：（1）作扭矩图如图7-12（b）所示。虽然段扭矩比段小，但其直径也比段图7.11
小，因此两段轴的强度都必须考虑。
（2）许可的最大外力偶矩
按段强度计算

按段强度计算

故许可外力偶矩 。
7.4圆轴扭转时的变形与刚度计算
7.4.1圆轴扭转时的变形
根据式（7-8）可得，相距为dx的两截面间的相对扭转角为：
（7-13）
扭转角的转向与扭矩的符号相对应。长为的圆轴扭转角计算公式为：
（7-14）
若在轴两截面之间的值不变，且轴为等直圆轴，则：
（7-15）
式中称为圆轴的抗扭刚度，愈大，就愈小。
若轴在各段内的扭矩并不相同，或者各段内截面极惯性矩不同（如阶梯轴），则分段计算各段的相对转角，然后求其代数和。即 ： （7-16）

7.4.2圆轴扭转时的刚度条件和三类刚度计算问题
为了防止因过大的扭转变形而影响机器的正常工作，必须对某些轴的扭转角加以限制。由于实际中轴的长度不同，通常将轴的单位长度扭转角作为扭转变形指标，要求它不超过规定的许用值。由式（7-8）知，单位长度的扭转角为：
（
由此可建立圆轴扭转的刚度条件：

（ （7-17）
对于等直圆轴有
（ （7-18）
【例7-3】已知图7.13所示某传动轴的转速传递的功率，，轴的，，。试分别设计AB段、BC段圆轴的直径。

图7.13
解：（1）计算外力偶矩，作扭矩图

作扭矩图如图7.13（b）所示。
（2）设计段直径
由扭转强度条件： 得：
由扭转刚度条： 得 ：
所以取。
（3）设计段直径
同理，由扭转强度条件得；由扭转刚度条件得所以取。