1、24.3 锐角三角函数
1.锐角三角函数
第1课时 锐角三角函数
1．理解正弦、余弦、正切的概念；(重点)
2．熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算．(重点)
一、情境导入
牛庄打算新建一个水站，在选择水泵时，必须知道水站(点A)与水面(BC)的高度(AB)．斜坡与水面所成的角(∠C)可以用量角器测出来，水管的长度(AC)也能直接量得．
二、合作探究
探究点一：锐角三角函数
【类型一】 正弦函数
如图，sinA等于( )
A．2 B. C. D.
解析：根据正弦函数的定义可得sinA＝，故选C.
方法总结：我们把锐角A的对边
2、a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA.即sinA＝＝.
【类型二】 余弦函数
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，则cosA＝( )
A. B. C. D.
解析：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，∴cosA＝＝.故选C.
方法总结：在直角三角形中，锐角的余弦等于这个角的邻边与斜边的比值．
【类型三】 正切函数
如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA＝( )
A. B.
C. D.
解析：在直角△ABC中，∵∠ABC＝90°，∴tanA＝＝.故选D.
方
3、法总结：在直角三角形中，锐角的正切等于它的对边与邻边的比值．
探究点二：求三角函数值
如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，AD＝BC＝5，cos∠ADC＝，求sinB的值．
解析：先由AD＝BC＝5，cos∠ADC＝及勾股定理求出AC及AB的长，再由锐角三角函数的定义解答．
解：∵AD＝BC＝5，cos∠ADC＝，∴CD＝3.在Rt△ACD中，∵AD＝5，CD＝3，∴AC＝＝＝4.在Rt△ACB中，∵AC＝4，BC＝5，∴AB＝＝＝，∴sinB＝＝＝ .
方法总结：在不同的直角三角形中，要根据三角函数的定义，分清它们的边角关系，结合勾股定理是解答此类问题的关键．
4、
如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tanB＝cos∠DAC.
(1)求证：AC＝BD；
(2)若sinC＝，BC＝36，求AD的长．
解析：(1)根据高的定义得到∠ADB＝∠ADC＝90°，再分别利用正切和余弦的定义得到tanB＝，cos∠DAC＝，再利用tanB＝cos∠DAC得到＝，所以AC＝BD；(2)在Rt△ACD中，根据正弦的定义得sinC＝＝，可设AD＝12k，AC＝13k，再根据勾股定理计算出CD＝5k，由于BD＝AC＝13k，于是利用BC＝BD＋CD得到13k＋5k＝36，解得k＝2，所以AD＝24.
(1)证明：∵AD是BC上的高，∴∠ADB＝∠AD
5、C＝90°.在Rt△ABD中，tanB＝，在Rt△ACD中，cos∠DAC＝.∵tanB＝cos∠DAC，∴＝，∴AC＝BD；
(2)解：在Rt△ACD中，sinC＝＝.设AD＝12k，AC＝13k，∴CD＝＝5k.∵BD＝AC＝13k，∴BC＝BD＋CD＝13k＋5k＝36，解得k＝2，∴AD＝12×2＝24.
三、板书设计
锐角三角函数
1．正弦的定义
2．余弦的定义
3．正切的定义
4．求三角函数值
本节课的教学设计以直角三角形为主线，力求体现生活化课堂的理念，让学生在经历“问题情境——形成概念——应用拓展——反思提高”的基本过程中，体验知识间的内在联系，让学生感受探究的乐趣，使学生在学中思，在思中学．在教学过程中，重视过程，深化理解，通过学生的主动探究来体现他们的主体地位，教师是通过对学生参与学习的启发、调整、激励来体现自己的引导作用，对学生的主体意识和合作交流的能力起着积极作用.
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