八年级数学下册 18.1《勾股定理的证明》课案（教师用） 新人教版.doc

课案（教师用）
勾股定理（第一课时）
（新授课）
【理论支持】
《数学课程标准》中指出：学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动．有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式．同时新课程改革要求我们：将数学教学置身于学生自主探究与合作交流的数学活动中；将知识的获取与能力的培养置身于学生形式各异的探索经历中；关注学生探索过程中的情感体验，并发展实践能力及创新意识．为学生的终身学习及可持续发展奠定坚实的基础．
勾股定理是学生在已经掌握了直角三角形的有关性质的基础上进行学习的，它是直角三角形的一条非常重要的性质，是几何中最重要的定理之一，它揭示了一个三角形三条边之间的数量关系，它可以解决直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要根据之一，在实际生活中用途很大．教材在编写时注意培养学生的动手操作能力和分析问题的能力，通过实际分析、拼图等活动，使学生获得较为直观的印象；通过联系和比较，理解勾股定理，以利于正确的进行运用．
【教学目标】
知识技能
1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理．
2．熟练运用勾股定理．
3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习．
解决问题
经历观察与发现直角三角形三边关系的过程，感受勾股定理的应用意识．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力．
数学思考
通过勾股定理的实验演示，发展自身对图形变换的认识能力．
情感态度
培养学生严谨的数学学习态度，体会勾股定理的应用价值．
【教学重难点】
1．重点：勾股定理的证明及运用．
2．难点：勾股定理的证明．
【课时安排】
一课时
【教学设计】
课前延伸
一、思考下列问题：
（1）三角形三边关系
（2）分别画一个锐角三角形和一个钝角三角形，用刻度尺量出各边的长度
（3）分别计算锐角三角形和钝角三角形较小两边的平方和与较大边的平方有何大小关系？
（4）猜想直角三角形中较小两边的平方和与第三边的平方的关系．
〖答案〗
（1）略．
（2）略．
（3）锐角三角形较短两边的平方和大于较大边的平方，钝角三角形较短两边的平方和小于较大边的平方．
（4）相等．
〖设计说明〗
心理学认为：认知从感知开始，感知是认知的门户，是一切知识的来源．让学生通过画图、测量、比较，从感性上认识到直角三角形三边之间的特殊数量关系．
二、预习思考题
1．一个直角三角形的两条直角边分别为5cm、12cm，那么这个直角三角形斜边为 ．
2．如图，要将楼梯铺上地毯，则需要 米长的地毯．

〖答案〗
（1）13；
（2）7．
〖设计说明〗
让学生在课前预习时初步了解勾股定理的内容，从而不由自主地用“勾股定理”来解题，同时又体会到了勾股定理在实际生活中的应用．
课内探究
一、导入新课： 创设情境，唤出勾股定理
学生观看教材封面图形，大家对它有什么样的了解？
〖设计说明〗
使学生在上这节课时就对勾股定理历史背景有全面的理解，从而使学生认识到勾股定理的重要性，学习勾股定理是非常必要的，激发学生的学习兴趣，同时，这一活动，也是一次对学生进行爱国主义教育、培养民族自豪感的好机会，可以激励他们奋发向上，同时培养他们的自学能力、归类总结等能力．
二、探索新知
问题：
毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家．相传在2500年以前，他在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面反映了直角三角形的三边的某种数量关系．
（1）同学们，请你也来观察下图中的地面，看看能发现些什么？

地面
（2）你能找出图中正方形A、B、C面积之间的关系吗？
（3）图中正方形A、B、C所围等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系？
〖答案〗
（1）略．
（2）正方形A与正方形B的面积和等于正方形C的面积．
（3）两直角边的平方和等于斜边的平方．
〖设计说明〗
通过讲述故事来进一步激发学生学习兴趣，使学生在不知不觉中进入学习的最佳状态．“问题是思维的起点”，通过层层设问，引导学生发现新知．
三深入探究
（1）等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一般的直角三角形是否也具有“两直角边的平方和等于斜边的平方”呢？

如图，每个小方格的面积均为1，以格点为顶点，有一个直角边分别是2、3的直角三角形．仿照上一活动，我们以这个直角三角形的三边为边长向外作正方形．
（2）想一想，怎样利用小方格计算正方形A、B、C面积？
（3）猜想：直角三角形三边有何数量关系？
〖答案〗
（1）一般的直角三角形也具备两直角边的平方和等于斜边的平方．
（2）略．
（3）两直角边的平方和等于斜边的平方．
〖设计说明〗
渗透从特殊到一般的数学思想．为学生提供参与数学活动的时间和空间，发挥学生的主体作用；培养学生的类比迁移能力及探索问题的能力，使学生在相互欣赏、争辩、互助中得到提高．
四、动手、观察、验证
（1）让学生利用学具进行拼图．

（2）多媒体课件展示拼图过程及证明过程，理解数学的严密性．

〖设计说明〗
通过这些实际操作，学生进行一步加深对数形结合的理解，拼图也会产生感性认识，也为论证勾股定理做好准备．利用分组讨论，加强了学生之间的合作意识．同时让学生经历所拼图形与多媒体展示图形的联系与区别．这样加强了数学严密教育，从而更好地理解代数与图形相结合．
五、检查预习情况：
六、随堂练习
1．在Rt△ABC，∠C=90°．
⑴已知a=b=5，求c．
⑵已知a=1，c=2，求b．
⑶已知c=17，b=8，求a．
⑷已知a：b=1：2，c=5，求a．
2．已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边．
〖答案〗
1．（1），（2），（3）15，（4）．
2．13或．
〖设计说明〗
刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系．⑴已知两直角边，求斜边直接用勾股定理．⑵⑶已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的便形式．⑷⑸已知一边和两边比，求未知边．通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边．最后一题让学生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想．第2题中已知两边中较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进形计算．让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想．
七、实际应用
1．小明的妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机．小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了．你同意他的想法吗?你能解释这是为什么吗?
2．如图，一根旗杆在离地面9m处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前有多高?

〖答案〗
1．不同意．英寸应该是电视屏幕对角线的长．
2．由勾股定理可求得旗杆断裂处到杆顶的长度是：＝15(m)，再加上断裂处到地面的距离9m， 所以旗杆折断之前高为24m．
〖设计说明〗
问题1、2是贴近学生生活有趣的实例，学生可利用勾股定理解决．直角三角形的三边关系告诉我们已知两边可求出第三边．体验勾股定理解决生活中问题的过程．
课后提升
1．填空题
（1）在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c= ．
（2）在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则a= ，b= ．
（3）一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 ．
（4）已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为 ．
（5）已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为 ，面积为 ．
2．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积．
3．一根竹子高5米，折断后竹子顶端落在离竹子底端2米处，问折断处离地面的高度是多少？
〖答案〗
1．（1）5；（2）6，8；（3）6，8，10；（4）4或；（5），．
2．48．
3．2.1米．
〖设计说明〗
通过本组练习使学生进一步巩固勾股定理的运用，更有利于让学生及时了解本节课的学习情况，根据答题进行查漏补缺，使自身的一些模糊认识在第一时间得到澄清．