1、§2.4判别式与根系关系（教 案）
教学目标
1) 能运用根的判别式对一元二次方程的根的情况 进行判断,能根据题目给的方程根的情况确定字母系数的取值范围.
2). 一元二次方程的根系关系的应用主要掌握好“转化变形、设而不解”.
3) 注意根的判别式和根系关系使用的条件,在求方程待定字母 的值或范围时,一定要注意方程的二次项系数是否为0,一元二次方程是否有实根等易错问题.
教学重点与难点
重点：能运用根的判别式对一元二次方程的根的情况 进行判断,能根据题目给的方程根的情况确定字母系数的取值范围.
难点：注意根的判别式和根系关系使用的条件,在求方程待定字母 的值或范围时,一定要注
2、意方程的二次项系数是否为0,一元二次方程是否有实根等易错问题.
一．考点知识整合：
考点一 一元二次方程根的判别式
1. 根的判别式:
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)是否有根,由＿＿＿＿＿＿＿
的符号确定, ＿＿＿＿＿＿＿叫做一元二次方程根的判别式,记为
＿＿＿＿＿＿＿.
2.一元二次方程根的情况与判别式的关系:
当△>0 方程有＿＿＿＿＿＿＿＿＿的实数根;
当△=0 方程有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿的实数根;
当△<0 方程＿＿＿＿＿＿＿＿＿实数根.
考点二 一元二次方程根与系数的关系
若一元二次方程ax2+b
3、x+c=0(a≠0)的两个实数根
为x1,x2,则x1+x2=＿＿＿＿＿＿,x1.x2= ＿＿＿＿＿＿;
特别地,一元二次方程的x2+px+q=0两个实数根为
x1,x2,则x1+x2= ＿＿＿＿＿＿,x1.x2= ＿＿＿＿＿＿.
注意:根系关系存在的两个前提条件:a≠0且△≥0.
双基训练：
1.(2010.益得)一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根,则b2-4ac满足的条件是( )
A. b2-4ac =0; B. b2-4ac >0 C. b2-4ac<0 D. b2-4ac≥0
2.(2010.昆明）一元二次方程x2
4、x-2=0的两根之积（ ）
A.-1 B.-2 C.1 D.2
3.(2010.眉山）已知方程x2-5x+2=0的两个解分别为x1,x2，则x1+x2-x1.x2的值为（ ）
A.-7 B.-3 C.7 D.3
4.(2010.连云港）若关于x的方程x2-mx+3=0有实数根，则m的值可以为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ （任意给出一个符合条件的值即可）
5.(2010.荆门)如果方程ax2+2x+1=0有两个不相等实根,则a实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿
归类示例
例1(1)已知a、b、c
5、分别是三角形的三边,则方程(a+b)x2+2cx+(a+b)=0的根的情况是( )
A.没有实数根; B.可能有且只有一个实数根;
C.有两个相等的实数根; D.有两个不相等的实数根.
(2)关于x的方程(a-5)x2-4x-1=0有实根,则a满足＿＿＿＿＿＿＿.
跟进训练1:
1.方程x2+ax+a-1=0的根的情况是( )
A.有两个相等实根; B.有实数根;
C.有两个不相等实数根; D.无法确定.
例2(2010.毕节)已知关于x的一元二方程x2+(2m-1)x+m2=0有两个实数根x1和x2,(
6、1)求实数m的取值范围;(2)当x12-x22=0时,求m的值.
跟进训练2:
(2010.中山)已知一元二次方程x2-2x+m=0.
(1)若方程有两个实数根,求m的取值范围;
(2)若方程的两个实数根为x1,x2,且x1+3x2=3， 求m的值.
例3(2010.芜湖)已知x1,x2是方程x2+3x+1=0的两个实数根,求下列各式的值
跟进训练3:
(2009.潍坊)已知x1,x2是方程x2-2x+a=0的两个实数根,且
(1)求x1,x2及a的值;
(2)求x13-3x12+2x1+x2的值.
小结:
1.能运用根的判别式对一元二次方程的根的情况进行判断,能根据题目给的方程根的情况确定字母系数的取值范围.
2.一元二次方程的根系关系的应用主要掌握好 “转化变形、设而不解”.
3.注意根的判别式和根系关系使用的条件,在求方程待定字母的值或范围时,一定要注意方程的二次项系数是否为0,一元二次方程是否有实根等易错问题.
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