九年级数学上册 21.2 一元二次方程求根公式推导讲学稿 新人教版-新人教版初中九年级上册数学教案.doc

21.2 一元二次方程求根公式推导
一元二次方程求根公式的推导
第一组第7号
一、选题：本题选自人教版初中数学教材九年级上册第二十一章《一元二次方程》第9页
二、题目：
一元二次方程求根公式的推导
1、讲题目标：
“一元二次方程求根公式的推导”是课本公式法求解一元二次方程中的核心内容，在学生掌握了直接开平方法、配方法基础上，完成求根公式的推导，并归纳使用求根公式解一元二次方程的方法和步骤，使学生在以后的解方程中有意识的运用公式法进行求解。通过类比用配方法求解数字系数的一元二次方程，以小组合作探究的形式，求解一元二次方程的一般形式，继而推导出求根公式，进一步体会化归思想，渗透从特殊到一般以及分类讨论的数学思想方法，培养学生的计算能力和数学推理的严密性、逻辑性，感受数学公式的简洁美、对称美。
重点：理解一元二次方程求根公式的推导
难点：理解求根公式的推导过程和判别式
2、学情分析：
有了前面用配方法解数字系数的一元二次方程的铺垫，学生熟悉配方法的基本步骤，具备用配方法推导一元二次方程的求根公式的相关知识与能力，推导的困难在于字母符号多、分式运算复杂，对学生的运算能力提出考验，易出现数学畏难情绪。
根据已有的调查，普通初三学生在用配方法解方程，结果仅有约为4.17%推导过程完全正确。其中的错误分析如下：

3、讲题内容：
①复习旧知，突显方法
②类比迁移，探究新知
③归纳结论，感悟收获
④延伸学习，拓展提升
⑤自编小诗，与君共勉
4、实施步骤：
①复习旧知，突显方法
活动1：数学竞赛，比一比看谁做的又快又准。
用配方法解下列方程：(1) (2)
找男生代表和女生代表到前面板演，其余同学在练习本运算。
【设计意图】：与本节课有实质性联系的内容是前一节的配方法，以此为新知识的生长点呈现练习题：用配方法解两个上述方程，结果（1）式是有两个不同的实数根，（2）式是无实数根，既激活了学生头脑中与新知识密切相关的已有知识经验，又巩固了配方法的使用，使学生认识到每一个元二次方程都可以用配方法来求解，同时当二次项系数不是1时，体验到配方法求解的复杂性，为求根公式推导的必要性埋下伏笔，同时也为推导过程的核心环节分类讨论做好铺垫。
②类比迁移，探究新知
提出问题：有没有更简便和更一般的方法求一元二次方程的根呢？
活动2：类比迁移，用配方法解方程完成填空：
步骤

化

移

配
即：
即：

开

不能开方

解

即：

方程无实数根

Step1:教师引导学生一起通过类比左侧数字系数方程解的过程，完成求根公式前三步的推导，教师在黑板上板演。
Step2:小组合作探究：接下来怎么进行开方？方程的根是什么？
Step3:请小组代表上台展示探究的成果，通过展示学生自主推导过程的错误，教师设计有思维价值的问题串，引导学生共同突破难点，得出分类讨论的必要性，渗透重要的分类讨论数学思想方法，同时板书推导得出公式的完整过程。

第一小组的开方步骤完成的正确吗？
为什么不正确？
为什么不能直接开方？开方时必须满足什么条件？
方程右边的代数式 一定是非负数吗？

所以我们在开方时有必要进行什么样的运算过程？
【设计意图】：
（1）步骤1让学生体会到由具体到抽象的思维过程，渗透从特殊到一般的数学思想，完成准确配方，为突破异分母加法及二次根式化简的难点设置够得着的扶手。
（2）步骤2精心设计的问题为小组合作探究指明了方向。
（3）步骤3的问题串的设计引发学生积极的思考，突破难点，体会分类讨论的重要性。
师生共同完成再现求根公式的推导过程，实现学生数学活动经验的积累，加深学生对公式认识的同时，培养学生用分类讨论的数学思想方法解决问题的能力。
③归纳结论，感悟收获
（1）归纳一元二次方程的判别式与求根公式：
一般地，把式子叫做根的判别式，通常表示为，即
当时，

当时，方程无实数根
【设计意图】：明确求根公式的实质是代数式求值的过程，通过计算判别式的值可以完美地解决根的存在性、根的个数、根的求法三个问题，体会判别式蕴含的分类讨论的数学思想。使学生体会求根公式操作简单、直接计算的优点，丰富和优化学生的认知结构，也为高中学习做铺垫。
④延伸学习，拓展提升
了解古印度的一元二次方程求根公式的推导方式，深入体会配方法。
提出问题1：除了上面的推导方法还有别的推导方法吗？
提出问题2：从第一步开始思考，如果二次项系数不化为1，还能完成配方吗？
提出问题3：执果索因，逆推配方的结果 ，通分化简等式左边的代数式，你有什么发现？
等式两边分母相同，去分母后可以得到什么等式？
（5） 对比等式和方程的一般形式，方程进行怎样的变形就可以配方了？
【设计意图】：古印度方法的推导，让学生更加深入的体会配方的数学方法，感受数学理性思维的魅力，体验数学家探究与发现的乐趣。
横向拓展，延伸阅读：展示韦达方法、哈里奥特的推导方法
⑤自编小诗，与君共勉
设计意图：以自编的小诗总结本课内容，形式新颖，语言精练，体现人文关怀。
5、教学反思：
本课的教学设计立足课本，以学生为主体，重视调动学生的学习兴趣，渗透从特殊到一般和分类讨论的数学思想方法，学生在有思维价值问题串的引导下，开展小组合作探究，共同完成公式的推导，体现学生的主体地位，培养学生的合作精神，既关注数学知识与能力的发展，也重视学生数学活动经验的积累，体现新课标精神。最后的拓展提升体现了推导过程求根公式的广泛应用性，紧扣本课课题，开拓学生视野，让学生感受数学推导的理性之光，体会数学抽象性、一般性和间接性的美与魅力，从而把数学教学与德育渗透无形结合，既重视学生知识与技能的提高，也体现了对学生情感态度与价值观的重视。