北京市2012年中考数学二模试题分类-圆(教师版).doc

2012年北京市中考数学二模分类汇编——圆
（一）与圆有关的填空选择题
1.（西城3）若⊙与⊙内切，它们的半径分别为3和8，则以下关于这两圆的圆心距的结论正确的是
A.=5 B.=11 C.＞11 　D. 5＜＜11
A
2.（延庆） 如图,⊙O的半径为2，点为⊙O上一点，弦于点，
,则的度数是
A．55° B．60° C．65° D．70°
B
3.（通州7）如图，已知⊙O的两条弦AC，BD相交于点E，∠A=60o，则sin∠BDC的值为（　　）
A． B．
C． D．

4.（丰台11）如图, ⊙O的半径为2，点为⊙O上一点，弦于点， 如果，那么________．
60°

5.（西城6）如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若OB长为10，， 则AB的长是
A . 20 B. 16 C. 12 D. 8

6.（顺义6）如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，把标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起，并使它们保持互相垂直．
在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=4个单位，
OF=3个单位，则圆的直径为
A．7个单位 B．6个单位
C．5个单位 D．4个单位

7.（怀柔5）一条排污水管的横截面如图所示，已知排污水管的横截面圆半径OB=5m，横截面的圆心到污水面的距离=3m，则污水面宽等于

A．8m B．10m C．12m D．16m
A

8.（密云7）如图，是半⊙O的直径，C是⊙O上一点，于D，若，cm，则的长为
A．2 cm B．4 cm
C．6 cm D．8 cm

9．（延庆）已知扇形的圆心角为60°，半径为6，则扇形的弧长为
A．6π B．4π C．3π D．2π
D

10.（平谷11）如图，在⊙O中，直径AB=6，∠CAB=40°，则阴影部分的面积是 ．

11.（东城区10） 一个扇形圆心角为120°，半径为1，则这个扇形的弧长为 ．

第12题图
12.（石景山11）已知：如图是斜边为10的一个等腰直角三角形与两个半径为5的扇形的重叠情形，其中等腰直角三角形顶角平分线与两扇形相切，则图中阴影部分面积的和是 ．

13．（延庆）如图，点A、B、C在直径为的上，，则图中阴影部分的面积等于____________.（结果中保留）

14.（西城8）如图，在矩形ABCD中，，BC=1. 现将矩形ABCD
绕点C顺时针旋转90°得到矩形，则AD边扫过的
面积(阴影部分)为
A . π B. π C.π D. π
15.（东城12） 如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，以圆心O为顶点作 ∠MON，使∠MON＝90°，OM、ON分别与⊙O交于点E、F，与正方形ABCD的边交于点G、H, 则由OE、OF、及正方形ABCD的边围成的图形(阴影部分)的面积S= ．

16.（密云12）如图，在边长为1的等边△ABC中，若将两条含圆心角的 、及边AC所围成的阴影部分的面积记为S，则S与△ABC面积比是 ______ ．

17.(通州8)如图所示，已知大正方形的边长为10厘米，小正方形的边长为7厘米，则阴影部分面积为（ ）
A．13平方厘米 B．平方厘米
C．25平方厘米 D．无法计算

18.(昌平10)圆锥的母线长为3，底面半径为2，则它的侧面积为 ．
19.(房山7)已知圆锥的底面半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积等于（ ）.
A．15 B．14 C．13 　 D．12
D
20.(西城11)如图，把一个半径为12cm的圆形硬纸片等分成三个扇形，用其中一个扇形制作成一个圆锥形纸筒的侧面（衔接处无缝隙且不重叠），则圆锥底面半径等于 cm．

（二）与圆有关的计算问题
20题图
1.怀柔20. 如图，点在直径的延长线上，点在上，且AC=CD，∠ACD=120°.
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为2，求图中阴影部分的面积.

20.（1）证明：连结.………………1分
∵ ，，
∴ .……………2分
∵ ,∴ .
∴ .
∴ 是的切线. ………………………………3分
（2）解:∵∠A=30o， ∴ .
∴ π. ……………………4分
在Rt△OCD中, .
∴.
∴ 图中阴影部分的面积为π. ……………5分
2.（石景山21）已知：如图，是⊙的直径上任意一点，过点作的垂线，是的延长线上一点，联结交⊙于点，且．
（1）判断直线与⊙的位置关系，并证明你的结论；
（2）若，，过点A作的平行线交⊙于点．求弦的长．
解：

21.（1）联结CO, …………………………1分
∵DM⊥AB
∴∠D+∠A=90°
∵
∴∠D=∠PCD
∵OC=OA
∴∠A=∠OCA
∴∠OCA+∠PCD=90°
∴PC⊥OC
∴直线是⊙的切线 ……………………2分
（2）过点A作的平行线交⊙于点．
∴∠NAC=∠PCD=∠D, AN⊥OC,设垂足是Q
∴Rt△中
∴
∴设CQ=x，AQ=
∴OQ=
∵
∴
解得 …………………………4分
∴
∴ …………………5分
∴……………… 5分
3门头沟20） 如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径．点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足
为D.
(1)求证：CD为⊙O的切线；
(2)若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长.

20.(1)证明：连接OC,
∵OA=OC,
∴∠OCA=∠OAC.
∵CD⊥PA，
∴∠CDA=90°，
∴∠CAD+∠DCA=90°，
∵AC平分∠PAE，
∴∠DAC=∠CAO. ………………………1分
∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°.
∴CD为⊙O的切线． …………………………2分
(2)解：过O作OF⊥AB，垂足为F，
∴∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°，
∴四边形OCDF为矩形，
∴OC=FD，OF=CD.
∵DC+DA=6，设AD=x，则OF=CD=6-x， ……………………3分
∵⊙O的直径为10，
∴DF=OC=5，∴AF=5-x，
在Rt△AOF中，由勾股定理得.
即，化简得：
解得或（舍）. ………………………4分
∴AD=2, AF=5-2=3.
∵OF⊥AB，
AB=2AF=6. ………………………..5分
4.（通州20）已知：如图直线PA交⊙O于A，E两点，PA的垂线DC切⊙O于点C，过A点作⊙O的直径AB．
（1）求证：AC平分∠DAB．
（2）若DC＝4，DA＝2，求⊙O的直径．
20. 答案：
(1)连结OC
∵DC切⊙O于C
∴OC⊥DC
又∵PA⊥DC
∴ OC∥PA
∴∠PAC=∠OCA ……………………..(1分)
又 OC=OA
∴ ∠OCA=∠OAC
∴∠PAC=∠OAC
∴AC平分∠DAB …………………..(2分)
(2)作OF⊥AE于F，设⊙O的半径为R ……………..(3分)
又∵PA⊥DC OC⊥DC
∴四边形OCDF为矩形
∴OF=CD=4 且 DF=OC=R
又 DA=2，∴ AF=DF-ADR-2……………………………..(4分)
在Rt△OAF中，OF2+AF2=OA2
∴ 42+(R-2)2=R2 解得：R=5
∴⊙O的直径：2R=10 ……………………………..(5分)
5.（海淀20）如图，AC、BC是⊙的弦, BC//AO, AO的延长线与过点C的射线交于点D, 且ÐD=90°-2ÐA.
（1）求证：直线CD是⊙的切线；
（2）若BC=4，，求CD和AD的长．

20.（1）证明：连结OC.
∴ ∠DOC =2∠A. …………1分
∵∠D = 90°，
∴∠D+∠DOC =90°.
∴ ∠OCD=90°.
∵ OC是⊙O的半径，
∴ 直线CD是⊙O的切线. ………………………2分
（2）解: 过点O作OE⊥BC于E, 则∠OEC=90°.
∵ BC=4,
∴ CE=BC=2.
∵ BC//AO,
∴ ∠OCE=∠DOC.
∵∠COE+∠OCE=90°, ∠D+∠DOC=90°,
∴ ∠COE=∠D. ……………………3分
∵=,
∴.
∵∠OEC =90°, CE=2,
∴.
在Rt △OEC中, 由勾股定理可得
在Rt △ODC中, 由，得, …………4分
由勾股定理可得
∴…………………5分
6.（密云）19．已知：如图，AB为⊙O的直径，PA、PC是⊙O的切线，
A、C为切点，∠BAC=30．
（1）求∠P的大小；
（2）若AB=6，求PA的长．

19．（本小题满分5分）
（1）解：∵PA是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，
∴ ．
∴-----------------1分
∵ ∠BAC=30， ∴ ．
又∵PA、PC切⊙O于点A、C，
∴ --------------2分
∴△PAC是等边三角形．
∴ ． ------------------------3分
( 2 ) 如图，连结BC．∵AB是直径，∠ACB=90． --------4分
在Rt△ACB中，AB=6，∠BAC=30，
∴．
又∵△PAC是等边三角形，
∴ ． --------------------------5分
7.（西城区21）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点D，取CD的中点E，AE的延长线与BC的延长线交于点P.
(1)求证：AP是⊙O的切线；
(2)若OC=CP，AB=，求CD的长.

图5
21.1)证明：连结AO，AC.(如图5)
∵ BC是⊙O的直径，
∴ .﹍﹍﹍﹍﹍1分
∵ E是CD的中点，
∴ .
∴ .
∵ OA=OC，
∴ .
∵ CD是⊙O的切线，
∴ CD⊥OC. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2分
∴ .
∴ .
∴ OA⊥AP.
∵ A是⊙O上一点，
∴ AP是⊙O的切线. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍3分
(2) 解：由(1)知OA⊥AP.
在Rt△OAP中，∵，OC=CP=OA，即OP=2OA，
∴ sinP.
∴ . ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4分
∴ .
∵ OC=OA，
∴ .
在Rt△BAC中，∵，AB=3，，
∴ .
又∵ 在Rt△ACD中，，，
∴ . ﹍﹍﹍﹍5分
8．（顺义）已知：如图，P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，BC∥OP交⊙O于点C．
（1）判断直线PC与⊙O位置关系，并证明你的结论；
（2）若BC=2，，求PC的长及点C到PA的距离．

20．解：（1）直线PC与⊙O相切．
证明：连结OC，
∵BC∥OP，
∴∠1 =∠2，∠3=∠4．
∵OB=OC，
∴∠1=∠3．
∴∠2=∠4．
又∵OC=OA，OP=OP，
∴△POC≌△POA．………………………… 1分
∴∠PCO =∠PAO．
∵PA切⊙O于点A，
∴∠PAO =90°．
∴∠PCO =90°．
∴PC与⊙O相切．…………… 2分
（2）解：∵△POC≌△POA，
∴∠5=∠6=．
∴．
∵∠PCO =90°，∴∠2+∠5=90°．
∴．
∵∠3=∠1 =∠2，
∴．
连结AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB =90°．
∴．…………… 3分
∴OA=OB=OC=3，．
∴在Rt△POC中，．
∴．…………… 4分
过点C作CD⊥PA于D，
∵∠ACB =∠PAO =90°，
∴∠3+∠7 =90°，∠7+∠8 =90°．
∴∠3=∠8．
∴．
在Rt△CAD中，．

9.（延庆19）已知：在⊙O中,AB是直径，CB是⊙O的切线，连接AC与⊙O交于点D,
求证：∠AOD=2∠C
若AD=8，tanC=，求⊙O 的半径。

19. （1）证明：连接BD ……………….…1分
∵BC是⊙O的切线 ∴∠ABC=90°
∵AB是直径 ∴∠ADB=90°……………….2分
∴∠ABD=∠C
∵OD=OB ∴∠OBD=∠ODB
∵∠AOD=∠ODB+∠OBD
∴∠AOD=2∠C ……………….3分
(2)由（1）可知：tanC=tan∠ABD =……………….4分
在Rt△ABD中有：tan∠ABD =
即= ∴BD=6
∴AB=
∴半径为5 ……………….……………….5分
10.（丰台20）已知：如图，点A、B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，联结AB交OC于点D，AC=CD．
（1）求证：OC⊥OB；
（2）如果OD=1，tan∠OCA=，求AC的长．

20．（1）证明：
∵OA=OB，
∴∠B=∠4．
∵CD=AC，
∴∠1=∠2．
∵∠3=∠2，∴∠3=∠1．
∵AC是⊙O的切线，
∴OA⊥AC．……1分
∴∠OAC=90°．∴∠1+∠4=90°．
∴∠3+∠B=90°．
∴OC⊥OB．……2分
（2）在Rt△OAC中 ，∠OAC=90°，
∵tan∠OCA=，
∴．……3分
∴设AC=2x，则AO=x．
由勾股定理得，OC=3x．
∵AC=CD， ∴AC=CD =2x．
∵OD=1， ∴OC=2x+1．
∴2x+1=3x．……4分
∴x=1． ∴AC=2=2．……5分
11.（大兴21）如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O与边BC交于点D，过点D作DE⊥AC,垂足为E，延长AB、ED交于点F，AD平分∠BAC．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径 为2，AE=3，求BF的长．

21． 解：（1）连接OD．
∵OA=OD
∴∠OAD=∠ODA．
∵AD平分∠BAC

∴∠OAD=∠CAD，
∴∠ODA=∠CAD．
∴OD∥AC．………………………………………………1分
∵DE⊥AC，
∴∠DEA=∠FDO=90°
∴EF⊥OD．
∴EF是⊙O的切线． ……………………………………2分
（2）设BF为x．
∵OD∥AE，
∴△ODF∽△AEF． ……………………………………3分
∴，即．
解得 x=2
∴BF的长为2． ……………………………………5分
12.（昌平20）如图，⊙O的半径OA与OB互相垂直，P是线段OB延长线上的一点，连结AP交⊙O于点D，点E在OP上且DE=EP ．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）作DH^OP于点H，若HE=6，DE=4，求⊙O的半径的长．

20．（1）证明：连结OD． ……………………… 1分
∵ OA=OD，∴ ∠A=∠1．
∵ DE=EP， ∴ ∠2=∠P．
∵ OA^OB于O，
∴ ∠A+∠P=90°．∴ ∠1+∠2=90°．
∴ ∠ODE=90°．即 OD^DE．
∵ OD是⊙O的半径，
∴ DE是⊙O的切线．………………………………… 3分
（2）解：∵DH^OP于点H，∴ ∠DHE=90°．
∴ cos∠3===．∴ ∠3=30°
∵ 在Rt△ODE中，tan∠3=，∴ =．
∴ OD=4.即 ⊙O的半径为4．………………… 5分

13.（朝阳19）如图，AB、BF分别是⊙O的直径和弦，弦CD与AB、BF分别相交于点E、G，过点F的切线HF与DC的延长线相交于点H，且HF＝HG. （1）求证：AB⊥CD；
（2）若sin∠HGF＝，BF＝3，求⊙O的半径长.
19. （1）证明：如图，连接OF，
∵HF是⊙O的切线，
∴∠OFH = 90°…………………1分
即∠1 + ∠2 = 90º.
∵HF =HG，∴∠1 = ∠ HGF.
∵∠ HGF = ∠3，∴∠3 = ∠1.
∵OF =OB，∴∠B = ∠2.
∴∠ B + ∠3 = 90º.
∴∠BEG = 90º.
∴AB⊥CD. ………………………………3分
（2）解：如图，连接AF，
∵AB、BF分别是⊙O的直径和弦，
∴∠AFB = 90º. ………………………………4分
即∠2 +∠4 = 90º.
∴∠HGF = ∠1=∠4=∠A.
在Rt△AFB中，AB ==4 .
∴⊙O的半径长为2. …………………………5分
14.（东城区21）如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA长为半径的与AD，AC分别交于点E，F，∠ACB=∠DCE ．
（1）请判断直线CE与的位置关系并证明你的结论；（2）若 DE:EC=1：, ，求⊙O的半径．

21．解：（1）直线CE与相切
证明：∵矩形ABCD ，
∴BC//AD,∠ACB=∠DAC．
∵
∴……1分
连接OE,则

∴直线CE与相切．

15.（平谷20）已知，如图，AB是⊙O的直径，点E是的中点，
连结BE交AC于点G，BG的垂直平分线CF交BG于
H交AB于F点.
求证：BC是⊙O的切线；
若AB=8，BC=6，求BE的长.

20．（1）证明：连结AE.
∵ BG垂直平分CF，
∴ CB=CG，
∴ ∠1=∠2.
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠E=90°. ........................................1分
∴ ∠3+∠4=90°.
∵ ∠3=∠1=∠2，
∴ ∠2+∠4=90°.
∵ =，
∴ ∠ABE=∠4.
∴ ∠2+∠ABE=90°.
∴ BC是⊙O的切线..........................................2分
（2）∵ BC是⊙O的切线，
∴ ∠ABC=90°.
由勾股定理，可得 AC=10...............3分
∵ CG=CB=6，
∴ AG=4.
可证 △AEG∽△BEA,
∴ ................................................4分
设AE=x，BE=2x.
由勾股定理，可得 .解得 .
∴ .....................................................5分
16.（房山20） 如图，⊙O中有直径AB、EF和弦BC，且BC和EF交于点D，点D是弦BC的中点，CD=4，DF=8.
⑴求⊙O的半径及线段AD的长；⑵求sin∠DAO的值.

20． 解：⑴∵D是BC的中点，EF是直径
∴CB⊥EF且BD=CD=4---------------- 1分
∵DF=8
∴OD=
∵
∴
∴R=5 --------------------------2分
连结AC，过D作DH⊥AB交AB于H．
∵AB是直径
∴∠ACB=90°
∵CB=2CD=8，AB=10
∴AC=6
∴∠ACD=90°，AC=6，CD=4
∴---------------------------------------3分
⑵∵Rt△DHB中，DH=DB·sin∠DBH=--------------------4分
------------------5分

用心 爱心 专心