【创新设计】2014届高考数学-2-3-1-2直线与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定配套训练-新人教A版必修2.doc

【创新设计】2014届高考数学 2-3-1~2直线与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定配套训练 新人教A版必修2

1．已知直线l⊥平面α，直线m⊂α，则(　　)．
A．l⊥m B．l∥m
C．l，m异面 D．l，m相交而不垂直
解析　无论l与m是异面，还是相交，都有l⊥m，考查线面垂直的定义，故选A.
答案　A
2．若斜线段AB是它在平面α上的射影的长的2倍，则AB与平面α所成的角是
(　　)．
A．60° B．45° C．30° D．120°
解析　斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形．如图所示，∠ABO即是斜线

AB与平面α所成的角，又AB＝2BO，所以cos∠ABO＝＝.所以∠ABO＝60°.故选A.
答案　A
3．如图所示，PO⊥平面ABC，BO⊥AC，在图中与AC垂直的线段有(　　)．

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
解析　∵PO⊥平面ABC，∴PO⊥AC，又∵AC⊥BO，
∴AC⊥平面PBD，
∴平面PBD中的4条线段PB，PD，PO，BD与AC垂直．
答案　D
4．在正方体A1B1C1D1-ABCD中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心(如图)，则EF与平面BB1O的关系是________．

解析　由正方体性质知AC⊥BD，
BB1⊥AC，
∵EF是棱AB，BC的中点，
∴EF∥AC，
∴EF⊥BD，EF⊥BB1，
∴EF⊥平面BB1O.
答案　垂直
5．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，截面C1D1AB与底面ABCD所成二面角C1-AB-C的大小为________．

解析　∵AB⊥BC，AB⊥BC1，∴∠C1BC为二面角C1ABC的平面角，大小为45°.
答案　45°
6．(2012·青岛高一检测)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.

(1)求证：PA∥平面EDB；
(2)求证：PB⊥平面EFD.
证明　(1)连接AC交BD于点O.连接EO，如图．

∵底面ABCD是正方形，
∴点O是AC的中点．
在△PAC中EO是中位线，
∴PA∥EO.
而EO⊂平面EDB，且PA⊄平面EDB.
所以PA∥平面EDB.
(2)∵PD⊥底面ABCD，且DC⊂底面ABCD.
∴PD⊥DC.
∵PD＝DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，
∴DE⊥PC.①
同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC.
∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，
∴BC⊥平面PDC.而DE⊂平面PDC，
∴BC⊥DE.②
由①和②推得DE⊥平面PBC.
而PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB.
又EF⊥PB，且DE∩EF＝E，∴PB⊥平面EFD.

7．若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角(　　)．
A．相等 B．互补
C．相等或互补 D．关系无法确定
解析　如图所示，平面EFDG⊥平面ABC，当平面HDG绕DG转动时，平面

HDG始终与平面BCD垂直，所以两个二面角的大小关系不确定，因为二面角HDGF的大小不确定．
答案　D
8．如图，设P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是(　　)．

A．平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直
B．它们两两垂直
C．平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD不垂直
D．平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直
解析　∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC.
又BC⊥AB，PA∩AB＝A，
∴BC⊥平面PAB，∵BC⊂平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PAB.
由AD⊥PA，AD⊥AB，PA∩AB＝A，得AD⊥平面PAB.
∵AD⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.
由已知易得平面PBC与平面PAD不垂直，故选A.
答案　A
9．已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，若A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与ABC底面所成的角的正弦值等于________．
解析　由题意知，三棱锥A1-ABC为正四面体(各棱长都相等的三棱锥)，设棱长为a，则AB1＝a，棱柱的高A1O＝＝＝a(即点B1到底面ABC的距离)，故AB1与底面ABC所成的角的正弦值为＝.
答案　
10．若α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β外的两条不同的直线，给出四个论断：
①m⊥n；②α⊥β；③m⊥α；④n⊥β.
以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________．
解析　如图，PA⊥α，PB⊥β，
垂足分别为A、B，
α∩β＝l，l∩平面PAB＝O，
连接OA、OB，
可证明∠AOB为二面角αlβ的平面角，
则∠AOB＝90°⇔PA⊥PB.
答案　①③④⇒②或②③④⇒①
11．如图所示，在Rt△AOB中，∠ABO＝，斜边AB＝4，Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B-AO-C是直二面角，D是AB的中点．

求证：平面COD⊥平面AOB.
证明　由题意：CO⊥AO，BO⊥AO，
∴∠BOC是二面角B-AO-C的平面角，
又∵二面角B-AO-C是直二面角，∴CO⊥BO，
又∵AO∩BO＝O，∴CO⊥平面AOB，
∵CO⊂平面COD，
∴平面COD⊥平面AOB.
12．(创新拓展)如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝.

(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；
(2)求二面角A-BE-P的大小．
(1)证明　如图所示，连接BD，
由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，
△BCD是等边三角形．
因为E是CD的中点，所以BE⊥CD.
又AB∥CD，所以BE⊥AB.
又因为PA⊥平面ABCD，
BE⊂平面ABCD，
所以PA⊥BE.
而PA∩AB＝A，
因此BE⊥平面PAB.
又BE⊂平面PBE，
所以平面PBE⊥平面PAB.
(2)解　由(1)知BE⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，
所以PB⊥BE.
又AB⊥BE，
所以∠PBA是二面角A-BE-P的平面角．
在Rt△PAB中，tan∠PBA＝＝，∠PBA＝60°，
故二面角ABEP的大小是60°.

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