1、,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,线 性 代 数 综 合,练 习 题,（一）,第1页,第1页,一、,填空,题：,2、设,则,；,，,1、四阶方阵A特性值 为1、2、3、4，则,；,第2页,第2页,3,、设二次型,则其秩为 ；,4,、向量组,线性相关，则,；,5,、已知A是满秩矩阵，且,则B秩为,。,第3页,第3页,二、选择题：,1,、设A为n阶可逆矩阵，是它伴随矩阵，则,；,2,、设A、B均为n阶方阵，且满足AB=0，则必有 ；,3,、设A是三阶可逆矩阵，则 等于,；,第4页,第4页,4、已知 是非齐次线性方程组AX=b两个不同解，与 是
2、对应齐次线性方程组AX=b基础解系，与 为任意常数，则方程组AX=b通解为 ；,第5页,第5页,5,、已知三阶实对称矩阵A特性值为1、2、3，且相应于1、2特性向量分别为 和,，则相应于3特性向,量为,.,三、解答下列各题,1,、已知AX=B-2X，其中,求 X.,第6页,第6页,2,、求矩阵,秩及一个最大无关列向量组.,3,、设矩阵A与B相同，其中,求 x,y 值.,第7页,第7页,4,、设PB=AP，其中,求 .,四、,有解？有解时求其通解.,问当 取何值时，下面方程组,第8页,第8页,五、设二次型,1、试用矩阵形式表示；,2、用正交变换将其化为原则型，并指出所用正交变换.,六、设,求 A
3、X=b 解.,第9页,第9页,七、设向量组,线性无关，试讨论向量组,线性相关性.,第10页,第10页,一、,1,、解：,=1+2+3+4=10,2,、将A分块,而,第11页,第11页,3,、解：二次型矩阵为,因此二次型秩为3；,4,、解：由于三个3维向量线性相关,第12页,第12页,5,、解：由于A为满秩方阵，因此A能够写成有限个初等矩阵乘积，用有限个初等矩阵左乘矩阵B，相称于对B进行了有限次初等行变换，而初等变换不改变矩阵秩，,因此,第13页,第13页,二、,1,、解：,故选(a).,2,、解：,故选(c).,3,、解：,故选(a).,第14页,第14页,4,、解：非齐次线性方程组通解为其相
4、应齐次线性方程组通解和它一个特解和。已知,为非齐次方程组,通解,故选(b).,第15页,第15页,5、解：因为实对称矩阵不同特性值对应特性向量是线性无关，而且是正交，因此对应于3特性向量,解得基础解系为,因此得相应于特性值3特性向量为,故选(d).,第16页,第16页,三、1、解：由,AX=B-2X,得,（A+2E）X=B,对矩阵,（A+2E B）,施行初等行变换,第17页,第17页,第18页,第18页,2、解：对矩阵A施行初等行变换，使之化为行阶梯形矩阵,第19页,第19页,则,R（A）=3,，第,1、2、3,列是列向量组一个最大无关组。,第20页,第20页,3、解：由于相同矩阵含有相同迹，
5、,trA=trB,因此得,x-1=y+1,即,x-2=y,又由于相同矩阵有相同特性值,-1,为矩阵B一个特性值,因此,-1,亦为矩阵A一个特性值,因此有,解得,x=0,y=-2,第21页,第21页,4、解：由于 PB=AP而 P 可逆,第22页,第22页,四、解：对增广矩阵,B,施行初等行变换,第23页,第23页,此时方程组有解，同解方程组为,取 为自由未知量，,并令 ，得它一个特解为,相应齐次方程组基础解系为,于是，原非齐次线性方程组当,通解为,第24页,第24页,五、解：,第25页,第25页,解得,取相应两个正交特性向量,单位化得,第26页,第26页,取相应特性向量,令,则P为正交矩阵，在正交变换,X=PY,之下，原二次型化为原则形,第27页,第27页,六、解：由,第28页,第28页,七、解：设一组数,使,即,亦即,因,线性无关，故只有,（1）,第29页,第29页,而其系数行列式,（2）,第30页,第30页,因此当,m,为偶数时，方程组（2）有非零解，即有不全为零数,使（1）式成立，据线性相关性定义知,线性相关；当,m,为奇数时，方程组（2）只有零解，,即只有,全为零时（1）式才干成立，故此时向量组,线性无关。,第31页,第31页,
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