线代数综合练习题一市公开课金奖市赛课一等奖课件.pptx

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,线 性 代 数 综 合,练 习 题,（一）,第1页,第1页,一、,填空,题：,2、设,则,；,，,1、四阶方阵A特性值 为1、2、3、4，则,；,第2页,第2页,3,、设二次型,则其秩为 ；,4,、向量组,线性相关，则,；,5,、已知A是满秩矩阵，且,则B秩为,。,第3页,第3页,二、选择题：,1,、设A为n阶可逆矩阵，是它伴随矩阵，则,；,2,、设A、B均为n阶方阵，且满足AB=0，则必有 ；,3,、设A是三阶可逆矩阵，则 等于,；,第4页,第4页,4、已知 是非齐次线性方程组AX=b两个不同解，与 是对应齐次线性方程组AX=b基础解系，与 为任意常数，则方程组AX=b通解为 ；,第5页,第5页,5,、已知三阶实对称矩阵A特性值为1、2、3，且相应于1、2特性向量分别为 和,，则相应于3特性向,量为,.,三、解答下列各题,1,、已知AX=B-2X，其中,求 X.,第6页,第6页,2,、求矩阵,秩及一个最大无关列向量组.,3,、设矩阵A与B相同，其中,求 x,y 值.,第7页,第7页,4,、设PB=AP，其中,求 .,四、,有解？有解时求其通解.,问当 取何值时，下面方程组,第8页,第8页,五、设二次型,1、试用矩阵形式表示；,2、用正交变换将其化为原则型，并指出所用正交变换.,六、设,求 AX=b 解.,第9页,第9页,七、设向量组,线性无关，试讨论向量组,线性相关性.,第10页,第10页,一、,1,、解：,=1+2+3+4=10,2,、将A分块,而,第11页,第11页,3,、解：二次型矩阵为,因此二次型秩为3；,4,、解：由于三个3维向量线性相关,第12页,第12页,5,、解：由于A为满秩方阵，因此A能够写成有限个初等矩阵乘积，用有限个初等矩阵左乘矩阵B，相称于对B进行了有限次初等行变换，而初等变换不改变矩阵秩，,因此,第13页,第13页,二、,1,、解：,故选(a).,2,、解：,故选(c).,3,、解：,故选(a).,第14页,第14页,4,、解：非齐次线性方程组通解为其相应齐次线性方程组通解和它一个特解和。已知,为非齐次方程组,通解,故选(b).,第15页,第15页,5、解：因为实对称矩阵不同特性值对应特性向量是线性无关，而且是正交，因此对应于3特性向量,解得基础解系为,因此得相应于特性值3特性向量为,故选(d).,第16页,第16页,三、1、解：由,AX=B-2X,得,（A+2E）X=B,对矩阵,（A+2E B）,施行初等行变换,第17页,第17页,第18页,第18页,2、解：对矩阵A施行初等行变换，使之化为行阶梯形矩阵,第19页,第19页,则,R（A）=3,，第,1、2、3,列是列向量组一个最大无关组。,第20页,第20页,3、解：由于相同矩阵含有相同迹，,trA=trB,因此得,x-1=y+1,即,x-2=y,又由于相同矩阵有相同特性值,-1,为矩阵B一个特性值,因此,-1,亦为矩阵A一个特性值,因此有,解得,x=0,y=-2,第21页,第21页,4、解：由于 PB=AP而 P 可逆,第22页,第22页,四、解：对增广矩阵,B,施行初等行变换,第23页,第23页,此时方程组有解，同解方程组为,取 为自由未知量，,并令 ，得它一个特解为,相应齐次方程组基础解系为,于是，原非齐次线性方程组当,通解为,第24页,第24页,五、解：,第25页,第25页,解得,取相应两个正交特性向量,单位化得,第26页,第26页,取相应特性向量,令,则P为正交矩阵，在正交变换,X=PY,之下，原二次型化为原则形,第27页,第27页,六、解：由,第28页,第28页,七、解：设一组数,使,即,亦即,因,线性无关，故只有,（1）,第29页,第29页,而其系数行列式,（2）,第30页,第30页,因此当,m,为偶数时，方程组（2）有非零解，即有不全为零数,使（1）式成立，据线性相关性定义知,线性相关；当,m,为奇数时，方程组（2）只有零解，,即只有,全为零时（1）式才干成立，故此时向量组,线性无关。,第31页,第31页,