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已知递推关系求数列通项的常见类型
钟祥一中 陈国仿
普通高中课程标准实验教科书数学⑤（必修）第二章《数列》的考题B组题6：已知数列{a n}中，a 1=5，a 2=2，a n=2a n-1+3a n-2(n≥3)，对于这个数列的通项公式作一研究，能否写出它的通项公式？可以看到，新课程改革对递推数列的要求比旧教材更高，现将常见的由递推关系求数列通项的情形归纳如下：
1、a n+1－a n＝f (n)型
当f (n)为常数时，即为等差数列；当f (n)不为常数时，这类数列，可考虑利用累加法.
例1：已知数列{a n}中，a 1=1，且a n+1－a n＝3 n，求数列{a n}的通项公式
解：由于本例给出了数列{a n}中连续两项的差，故可考虑用累加法求解
a n＝（a n－a n-1）＋（a n-1－a n-2）＋…＋（a 3－a 2）＋（a 2－a 1）＋a 1
＝3n-1＋3n-2＋…＋3＋1＝＝
练习1：已知数列{a n}中，a 1＝2，a n＋1＝a n＋n＋2，求a n.
答：（）

2、＝f (n)型
当f (n)为非零常数时，即为等比数列，当f (n)不为常数时，这类数列，可考虑利用累乘或迭代法.
例2：在数列{a n}中，已知＝，且a 1＝1，求通项a n
解：由于本例给出了连续两项的比，故可考虑用累乘法求解.
a n＝···…···a 1
＝···…···1＝n
练习：已知＝，a 1＝1，求数列{a n}的前n项和
答：先求得a n=，进而Sn＝
3、a n＋1＝λa n＋μ型
对于形如a n＋1＝λa n＋μ型所决定的数列{a n}的通项公式，我们可以设
a n＋1＋x=λ（a n＋x），从而构造一个数列{a n+x}，它是一个首项为a 1＋x，公比为λ的等比数列，从而得到数列{a n}的通项公式
例3：已知a n＋1＝a n＋，且a 1＝，求数列{a n}的通项公式
解：由于a n＋1＝a n＋ 可变形为a n＋1－＝（a n－）
　　故数列{a n－}是以a 1－＝为首项，为公比的等比数列
∴a n－＝（）n 　　 ∴a n＝（）n ＋　
练习3：①已知a 1＝，且3 a n＋1－a n－1＝0，求数列的通项a n
　　答：a n＝（）n-1+
②已知数列{a n}满足a 1＝1，a n＋1＝2 a n＋3，求a n
答：a n＝2 n+1－3

4、a n＋1＝λa n＋n＋β型
对于此种递推关系，可变形为a n＋1＋p(n+1)＋q＝λ（a n＋pn＋q），使数列
{ a n＋pn＋q}为一个等比数列，从而求得数列{a n}的通项公式
例4：已知数列{a n}中，a n＋1＝2 a n＋3n＋2，且a 1＝1，求通项a n
解设a n＋1＋p(n+1)＋q＝2（a n＋pn＋q），比较得，p=3，q=5
从而有a n＋1＋3（n+1）+5＝2（a n＋3n＋5）
所以{ a n＋3n＋5}是首项为a 1+3×1＋5＝9，公比为2的等比等列
∴a n＋3n＋5＝9×2n-1 ∴a n＝9×2n-1－3n－5
练习4：①已知a n＋1＝ a n＋2n＋，a 1＝2，求数列{a n}的通项a n及前n项和Sn
答：a n＝（）n-1＋3n－2，Sn＝＋－×（）n
②已知a n＋1＝3 a n＋4n＋4，且a 1＝2，求通项a n
答：a n＝7×3 n-1－2n－3

5、a n＋1＝λa n＋p·λn型
当λ＝1时，即为等差数列，当λ≠1时，对于此种递推关系，可两边同除以λn得到数列{}为等差数列
例5：已知a n＋1＝2 a n＋2n，且a 1＝3，求通项a n
解：由a n＋1＝2 a n＋2n 可得－＝1
∴数列{}是首项为＝3，公差为1的等差数列
∴＝3＋（n－1）×1＝n＋2 ∴a n＝（n＋2）×2n-1
练习5：已知a n＋1＝3an+3n，且a 1＝2，求通项a n
答：a n ＝（n＋1）×3n-1

6、a n＋1＝λa n＋μqn（q≠λ）型
当λ＝1时，即为类型1，当λ≠1时，对于此种类型的递推关系，可变形为a n＋1＋p×qn+1＝λ（a n＋p·qn）得到{a n＋p·qn }为一等比数列
例6：已知数列{a n}满足a n＋1＝3a n＋2n，且a 1=1，求通项a n
解：由于a n＋1＝3a n＋2n可变形为a n＋1＋2n+1＝3（a n＋2n）
∴{ a n＋2n }是首项为a 1+2=3，公比为3的等比数列
∴a n＋2n＝3n ∴a n＝3n－2n
练习6：①已知a n＋1＝2 a n＋3n，且a 1=2，求通项a n
答：a n＝3n－2n－1
②已知a n＋1＝4 a n＋3×2n+1，a 1=1，求通项a n
答：a n=7×4n-1－3×2n

7、a ＝λa n型
对于此种类型的递推关系，两边取对数，即化为类型③
例7：已知a ＝4a n，且a 1=1，求通项a n
解：由a ＝4a n 两边取对数得2log a n＋1＝log a n＋2
∴log a n＋1＝log a n＋1
从而可得log a n＋1－2＝(log a n－2)
∴{ log a n－2}是首项为－2，公比为的等比数列
∴log a n－2＝－2×（）n-1 ∴a n＝2
练习7：已知a ＝3a n，且a 1＝9，求通项a n
答：a n＝3

8、含a n＋1a n与a n＋1±a n型
对于形如a n＝的递推数列，总能取倒，化为类型3，进而求出通项a n
例：已知3a n a n－1＋a n－a n－1＝0，a 1＝，求通项a n
解：由3a n a n－1＋a n－a n－1＝0，得a n＝
取倒得＝＝＋3 ∴－＝3
∴{}是首项为＝2，公差为3的等差数列
∴＝2＋（n－1）×3＝3 n－1 ∴a n＝
练习8：①已知3a n a n－1＋a n＋a n－1＝0，a 1＝，求通项a n
答：a n＝
②已知a n＝，a 1＝2，求通项a n
答：a n＝

9、a n－1＝型
对于此种递推关系，当b=0时，此即类型8，当b≠0时，可两边同加上常数λ，化为类型8
例9：数列{ a n }中，已知a 7＝4，且a n+1＝，求数列{ a n }的最小项与最大项
解：设a n+1+λ=
令，得λ=－2 ∴a n+1－2 =
∴==－ ∴{}等差
∴=+（n－7）×（－）=
∴a n＝2＋＝2－
∴a 9最大，a 9＝12，a 10最小，a 10＝－8
练习9：①数列{ a n }中，已知a 5＝6，a n+1＝，求通项a n
答：a n＝3＋＝
②数列{ a n }中，已知a 5＝6，a n+1 a n－a n+1－7 a n＋16＝0，求通项a n

答：a n＝

10、a n+2＝p a n+1+q a n型
对此种类型的递推关系，可设a n+2+λa n+1=μ（a n+1+λa n），其中λ、μ满足，从而得到数列{ a n+1+λa n}为一等比数列，进而求出数列｛a n｝的通项公式
例10（数学必修⑤P696）已知数列｛a n｝中，a 1＝5，a 2＝2，a n＝2 a n-1+3 a n-2（n≥3），试求数列｛a n｝的通项公式
解：设a n+λa n-1＝μ（a n-1+λa n-2）
有，解得　或
当时，有a n+ a n-1＝3（a n-1+ a n-2）
此时，数列｛a n＋1＋a n｝是首项为a 2+a 1=7，公比为3的等比数列
∴a n＋1＋a n=7×3n-1 　　　　　①
当时，有a n－3 a n-1＝－（a n-1－3 a n-2）
此时，{ a n+1－3a n}是首项为a 2－3a 1＝－13，公比为－1的等比数列
∴a n+1－3a n＝－13×（－1）n-1　　　　　　　②
①－②得a n＝[7×3n-1＋13×（－1）n-1　]
我们看到，由，得到两组解　或　，以上，我们求通项时用λ，μ的两组值。事实上对于λ，μ的任何一组值，都可独立地求得其通项公式
对于，我们可得到a n+1＋a n=7×3n-1，此即类型6，
设a n+1＋p×3n+1＝－（a n＋p×3n）
比较得，p=－，从而有a n+1－×3n+1＝－（a n－×3n）
∴数列{ a n－×3n }是首项为a 1－×3＝，公比为－1的等比数列
∴a n－×3n＝×（－1）n-1　
于是a n＝×3n＋×（－1）n-1　＝[7×3n-1+13×（－1）n-1　]
对于，我们可得到a n+1－3a n＝－13×（－1）n-1　，此即类型6
设a n+1＋p×（－1）n+1＝3[a n ＋p×（－1）n]
比较得，p=，从而有a n+1＋×（－1）n+1＝3[a n ＋×（－1）n]
∴数列{ a n ＋×（－1）n }是首项为a 1－=，公比为3的等比数列
∴a n ＋×（－1）n=×3n-1
于是a n=×3n-1－×（－1）n＝[7×3n-1＋13×（－1）n-1]
练习10：①数列{a n}中，a 1＝3，a 2＝3，a n＝a n-1+6 a n-2(n≥3)，试求通项a n
答：a n＝[8×3n-1+7×（－2）n-1]
②试求斐波那契数列，a 1＝a 2＝1，a n+2＝a n+1＋a n的通项公式
答：a n＝[]
练习②解答：
设a n+2＋λa n+1＝μ（a n+1＋λa n）
则 或
当λ＝，μ＝时
有：a n+2＋ a n+1＝（a n+1＋ a n）
∴{ a n+1＋ a n }是首项为a 2＋ a 1＝，公比为的等比数列
∴a n+1＋ a n＝（）n ①
当λ＝，μ＝时
有：a n+2－ a n+１＝（a n+1－ a n）
∴{ a n+1－ a n}是首项为a 2－ a 1=，公比为的等比数列
a n+1－ a n＝（）n 　　　②
由①－②得
a n＝[]

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