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已知递推关系求数列通项的常见类型
钟祥一中 陈国仿
普通高中课程标准实验教科书数学⑤(必修)第二章《数列》的考题B组题6:已知数列{a n}中,a 1=5,a 2=2,a n=2a n-1+3a n-2(n≥3),对于这个数列的通项公式作一研究,能否写出它的通项公式?可以看到,新课程改革对递推数列的要求比旧教材更高,现将常见的由递推关系求数列通项的情形归纳如下:
1、a n+1-a n=f (n)型
当f (n)为常数时,即为等差数列;当f (n)不为常数时,这类数列,可考虑利用累加法.
例1:已知数列{a n}中,a 1=1,且a n+1-a n=3 n,求数列{a n}的通项公式
解:由于本例给出了数列{a n}中连续两项的差,故可考虑用累加法求解
a n=(a n-a n-1)+(a n-1-a n-2)+…+(a 3-a 2)+(a 2-a 1)+a 1
=3n-1+3n-2+…+3+1==
练习1:已知数列{a n}中,a 1=2,a n+1=a n+n+2,求a n.
答:()
2、=f (n)型
当f (n)为非零常数时,即为等比数列,当f (n)不为常数时,这类数列,可考虑利用累乘或迭代法.
例2:在数列{a n}中,已知=,且a 1=1,求通项a n
解:由于本例给出了连续两项的比,故可考虑用累乘法求解.
a n=···…···a 1
=···…···1=n
练习:已知=,a 1=1,求数列{a n}的前n项和
答:先求得a n=,进而Sn=
3、a n+1=λa n+μ型
对于形如a n+1=λa n+μ型所决定的数列{a n}的通项公式,我们可以设
a n+1+x=λ(a n+x),从而构造一个数列{a n+x},它是一个首项为a 1+x,公比为λ的等比数列,从而得到数列{a n}的通项公式
例3:已知a n+1=a n+,且a 1=,求数列{a n}的通项公式
解:由于a n+1=a n+ 可变形为a n+1-=(a n-)
故数列{a n-}是以a 1-=为首项,为公比的等比数列
∴a n-=()n ∴a n=()n +
练习3:①已知a 1=,且3 a n+1-a n-1=0,求数列的通项a n
答:a n=()n-1+
②已知数列{a n}满足a 1=1,a n+1=2 a n+3,求a n
答:a n=2 n+1-3
4、a n+1=λa n+n+β型
对于此种递推关系,可变形为a n+1+p(n+1)+q=λ(a n+pn+q),使数列
{ a n+pn+q}为一个等比数列,从而求得数列{a n}的通项公式
例4:已知数列{a n}中,a n+1=2 a n+3n+2,且a 1=1,求通项a n
解:设a n+1+p(n+1)+q=2(a n+pn+q),比较得,p=3,q=5
从而有a n+1+3(n+1)+5=2(a n+3n+5)
所以{ a n+3n+5}是首项为a 1+3×1+5=9,公比为2的等比等列
∴a n+3n+5=9×2n-1 ∴a n=9×2n-1-3n-5
练习4:①已知a n+1= a n+2n+,a 1=2,求数列{a n}的通项a n及前n项和Sn
答:a n=()n-1+3n-2,Sn=+-×()n
②已知a n+1=3 a n+4n+4,且a 1=2,求通项a n
答:a n=7×3 n-1-2n-3
5、a n+1=λa n+p·λn型
当λ=1时,即为等差数列,当λ≠1时,对于此种递推关系,可两边同除以λn得到数列{}为等差数列
例5:已知a n+1=2 a n+2n,且a 1=3,求通项a n
解:由a n+1=2 a n+2n 可得-=1
∴数列{}是首项为=3,公差为1的等差数列
∴=3+(n-1)×1=n+2 ∴a n=(n+2)×2n-1
练习5:已知a n+1=3an+3n,且a 1=2,求通项a n
答:a n =(n+1)×3n-1
6、a n+1=λa n+μqn(q≠λ)型
当λ=1时,即为类型1,当λ≠1时,对于此种类型的递推关系,可变形为a n+1+p×qn+1=λ(a n+p·qn)得到{a n+p·qn }为一等比数列
例6:已知数列{a n}满足a n+1=3a n+2n,且a 1=1,求通项a n
解:由于a n+1=3a n+2n可变形为a n+1+2n+1=3(a n+2n)
∴{ a n+2n }是首项为a 1+2=3,公比为3的等比数列
∴a n+2n=3n ∴a n=3n-2n
练习6:①已知a n+1=2 a n+3n,且a 1=2,求通项a n
答:a n=3n-2n-1
②已知a n+1=4 a n+3×2n+1,a 1=1,求通项a n
答:a n=7×4n-1-3×2n
7、a =λa n型
对于此种类型的递推关系,两边取对数,即化为类型③
例7:已知a =4a n,且a 1=1,求通项a n
解:由a =4a n 两边取对数得2log a n+1=log a n+2
∴log a n+1=log a n+1
从而可得log a n+1-2=(log a n-2)
∴{ log a n-2}是首项为-2,公比为的等比数列
∴log a n-2=-2×()n-1 ∴a n=2
练习7:已知a =3a n,且a 1=9,求通项a n
答:a n=3
8、含a n+1a n与a n+1±a n型
对于形如a n=的递推数列,总能取倒,化为类型3,进而求出通项a n
例:已知3a n a n-1+a n-a n-1=0,a 1=,求通项a n
解:由3a n a n-1+a n-a n-1=0,得a n=
取倒得==+3 ∴-=3
∴{}是首项为=2,公差为3的等差数列
∴=2+(n-1)×3=3 n-1 ∴a n=
练习8:①已知3a n a n-1+a n+a n-1=0,a 1=,求通项a n
答:a n=
②已知a n=,a 1=2,求通项a n
答:a n=
9、a n-1=型
对于此种递推关系,当b=0时,此即类型8,当b≠0时,可两边同加上常数λ,化为类型8
例9:数列{ a n }中,已知a 7=4,且a n+1=,求数列{ a n }的最小项与最大项
解:设a n+1+λ=
令,得λ=-2 ∴a n+1-2 =
∴==- ∴{}等差
∴=+(n-7)×(-)=
∴a n=2+=2-
∴a 9最大,a 9=12,a 10最小,a 10=-8
练习9:①数列{ a n }中,已知a 5=6,a n+1=,求通项a n
答:a n=3+=
②数列{ a n }中,已知a 5=6,a n+1 a n-a n+1-7 a n+16=0,求通项a n
答:a n=
10、a n+2=p a n+1+q a n型
对此种类型的递推关系,可设a n+2+λa n+1=μ(a n+1+λa n),其中λ、μ满足,从而得到数列{ a n+1+λa n}为一等比数列,进而求出数列{a n}的通项公式
例10(数学必修⑤P696)已知数列{a n}中,a 1=5,a 2=2,a n=2 a n-1+3 a n-2(n≥3),试求数列{a n}的通项公式
解:设a n+λa n-1=μ(a n-1+λa n-2)
有,解得 或
当时,有a n+ a n-1=3(a n-1+ a n-2)
此时,数列{a n+1+a n}是首项为a 2+a 1=7,公比为3的等比数列
∴a n+1+a n=7×3n-1 ①
当时,有a n-3 a n-1=-(a n-1-3 a n-2)
此时,{ a n+1-3a n}是首项为a 2-3a 1=-13,公比为-1的等比数列
∴a n+1-3a n=-13×(-1)n-1 ②
①-②得a n=[7×3n-1+13×(-1)n-1 ]
我们看到,由,得到两组解 或 ,以上,我们求通项时用λ,μ的两组值。事实上对于λ,μ的任何一组值,都可独立地求得其通项公式
对于,我们可得到a n+1+a n=7×3n-1,此即类型6,
设a n+1+p×3n+1=-(a n+p×3n)
比较得,p=-,从而有a n+1-×3n+1=-(a n-×3n)
∴数列{ a n-×3n }是首项为a 1-×3=,公比为-1的等比数列
∴a n-×3n=×(-1)n-1
于是a n=×3n+×(-1)n-1 =[7×3n-1+13×(-1)n-1 ]
对于,我们可得到a n+1-3a n=-13×(-1)n-1 ,此即类型6
设a n+1+p×(-1)n+1=3[a n +p×(-1)n]
比较得,p=,从而有a n+1+×(-1)n+1=3[a n +×(-1)n]
∴数列{ a n +×(-1)n }是首项为a 1-=,公比为3的等比数列
∴a n +×(-1)n=×3n-1
于是a n=×3n-1-×(-1)n=[7×3n-1+13×(-1)n-1]
练习10:①数列{a n}中,a 1=3,a 2=3,a n=a n-1+6 a n-2(n≥3),试求通项a n
答:a n=[8×3n-1+7×(-2)n-1]
②试求斐波那契数列,a 1=a 2=1,a n+2=a n+1+a n的通项公式
答:a n=[]
练习②解答:
设a n+2+λa n+1=μ(a n+1+λa n)
则 或
当λ=,μ=时
有:a n+2+ a n+1=(a n+1+ a n)
∴{ a n+1+ a n }是首项为a 2+ a 1=,公比为的等比数列
∴a n+1+ a n=()n ①
当λ=,μ=时
有:a n+2- a n+1=(a n+1- a n)
∴{ a n+1- a n}是首项为a 2- a 1=,公比为的等比数列
a n+1- a n=()n ②
由①-②得
a n=[]
8
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