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已知递推关系求数列通项的常见类型.doc

上传人:仙人****88 文档编号:7304212 上传时间:2024-12-29 格式:DOC 页数:8 大小:290.50KB 下载积分:10 金币
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资源描述
已知递推关系求数列通项的常见类型 钟祥一中 陈国仿 普通高中课程标准实验教科书数学⑤(必修)第二章《数列》的考题B组题6:已知数列{a n}中,a 1=5,a 2=2,a n=2a n-1+3a n-2(n≥3),对于这个数列的通项公式作一研究,能否写出它的通项公式?可以看到,新课程改革对递推数列的要求比旧教材更高,现将常见的由递推关系求数列通项的情形归纳如下: 1、a n+1-a n=f (n)型 当f (n)为常数时,即为等差数列;当f (n)不为常数时,这类数列,可考虑利用累加法. 例1:已知数列{a n}中,a 1=1,且a n+1-a n=3 n,求数列{a n}的通项公式 解:由于本例给出了数列{a n}中连续两项的差,故可考虑用累加法求解 a n=(a n-a n-1)+(a n-1-a n-2)+…+(a 3-a 2)+(a 2-a 1)+a 1 =3n-1+3n-2+…+3+1== 练习1:已知数列{a n}中,a 1=2,a n+1=a n+n+2,求a n. 答:() 2、=f (n)型 当f (n)为非零常数时,即为等比数列,当f (n)不为常数时,这类数列,可考虑利用累乘或迭代法. 例2:在数列{a n}中,已知=,且a 1=1,求通项a n 解:由于本例给出了连续两项的比,故可考虑用累乘法求解. a n=···…···a 1 =···…···1=n 练习:已知=,a 1=1,求数列{a n}的前n项和 答:先求得a n=,进而Sn= 3、a n+1=λa n+μ型 对于形如a n+1=λa n+μ型所决定的数列{a n}的通项公式,我们可以设 a n+1+x=λ(a n+x),从而构造一个数列{a n+x},它是一个首项为a 1+x,公比为λ的等比数列,从而得到数列{a n}的通项公式 例3:已知a n+1=a n+,且a 1=,求数列{a n}的通项公式 解:由于a n+1=a n+ 可变形为a n+1-=(a n-)   故数列{a n-}是以a 1-=为首项,为公比的等比数列 ∴a n-=()n    ∴a n=()n +  练习3:①已知a 1=,且3 a n+1-a n-1=0,求数列的通项a n   答:a n=()n-1+ ②已知数列{a n}满足a 1=1,a n+1=2 a n+3,求a n 答:a n=2 n+1-3 4、a n+1=λa n+n+β型 对于此种递推关系,可变形为a n+1+p(n+1)+q=λ(a n+pn+q),使数列 { a n+pn+q}为一个等比数列,从而求得数列{a n}的通项公式 例4:已知数列{a n}中,a n+1=2 a n+3n+2,且a 1=1,求通项a n 解:设a n+1+p(n+1)+q=2(a n+pn+q),比较得,p=3,q=5 从而有a n+1+3(n+1)+5=2(a n+3n+5) 所以{ a n+3n+5}是首项为a 1+3×1+5=9,公比为2的等比等列 ∴a n+3n+5=9×2n-1 ∴a n=9×2n-1-3n-5 练习4:①已知a n+1= a n+2n+,a 1=2,求数列{a n}的通项a n及前n项和Sn 答:a n=()n-1+3n-2,Sn=+-×()n ②已知a n+1=3 a n+4n+4,且a 1=2,求通项a n 答:a n=7×3 n-1-2n-3 5、a n+1=λa n+p·λn型 当λ=1时,即为等差数列,当λ≠1时,对于此种递推关系,可两边同除以λn得到数列{}为等差数列 例5:已知a n+1=2 a n+2n,且a 1=3,求通项a n 解:由a n+1=2 a n+2n 可得-=1 ∴数列{}是首项为=3,公差为1的等差数列 ∴=3+(n-1)×1=n+2 ∴a n=(n+2)×2n-1 练习5:已知a n+1=3an+3n,且a 1=2,求通项a n 答:a n =(n+1)×3n-1 6、a n+1=λa n+μqn(q≠λ)型 当λ=1时,即为类型1,当λ≠1时,对于此种类型的递推关系,可变形为a n+1+p×qn+1=λ(a n+p·qn)得到{a n+p·qn }为一等比数列 例6:已知数列{a n}满足a n+1=3a n+2n,且a 1=1,求通项a n 解:由于a n+1=3a n+2n可变形为a n+1+2n+1=3(a n+2n) ∴{ a n+2n }是首项为a 1+2=3,公比为3的等比数列 ∴a n+2n=3n ∴a n=3n-2n 练习6:①已知a n+1=2 a n+3n,且a 1=2,求通项a n 答:a n=3n-2n-1 ②已知a n+1=4 a n+3×2n+1,a 1=1,求通项a n 答:a n=7×4n-1-3×2n 7、a =λa n型 对于此种类型的递推关系,两边取对数,即化为类型③ 例7:已知a =4a n,且a 1=1,求通项a n 解:由a =4a n 两边取对数得2log a n+1=log a n+2 ∴log a n+1=log a n+1 从而可得log a n+1-2=(log a n-2) ∴{ log a n-2}是首项为-2,公比为的等比数列 ∴log a n-2=-2×()n-1 ∴a n=2 练习7:已知a =3a n,且a 1=9,求通项a n 答:a n=3 8、含a n+1a n与a n+1±a n型 对于形如a n=的递推数列,总能取倒,化为类型3,进而求出通项a n 例:已知3a n a n-1+a n-a n-1=0,a 1=,求通项a n 解:由3a n a n-1+a n-a n-1=0,得a n= 取倒得==+3 ∴-=3 ∴{}是首项为=2,公差为3的等差数列 ∴=2+(n-1)×3=3 n-1 ∴a n= 练习8:①已知3a n a n-1+a n+a n-1=0,a 1=,求通项a n 答:a n= ②已知a n=,a 1=2,求通项a n 答:a n= 9、a n-1=型 对于此种递推关系,当b=0时,此即类型8,当b≠0时,可两边同加上常数λ,化为类型8 例9:数列{ a n }中,已知a 7=4,且a n+1=,求数列{ a n }的最小项与最大项 解:设a n+1+λ= 令,得λ=-2 ∴a n+1-2 = ∴==- ∴{}等差 ∴=+(n-7)×(-)= ∴a n=2+=2- ∴a 9最大,a 9=12,a 10最小,a 10=-8 练习9:①数列{ a n }中,已知a 5=6,a n+1=,求通项a n 答:a n=3+= ②数列{ a n }中,已知a 5=6,a n+1 a n-a n+1-7 a n+16=0,求通项a n 答:a n= 10、a n+2=p a n+1+q a n型 对此种类型的递推关系,可设a n+2+λa n+1=μ(a n+1+λa n),其中λ、μ满足,从而得到数列{ a n+1+λa n}为一等比数列,进而求出数列{a n}的通项公式 例10(数学必修⑤P696)已知数列{a n}中,a 1=5,a 2=2,a n=2 a n-1+3 a n-2(n≥3),试求数列{a n}的通项公式 解:设a n+λa n-1=μ(a n-1+λa n-2) 有,解得 或 当时,有a n+ a n-1=3(a n-1+ a n-2) 此时,数列{a n+1+a n}是首项为a 2+a 1=7,公比为3的等比数列 ∴a n+1+a n=7×3n-1      ① 当时,有a n-3 a n-1=-(a n-1-3 a n-2) 此时,{ a n+1-3a n}是首项为a 2-3a 1=-13,公比为-1的等比数列 ∴a n+1-3a n=-13×(-1)n-1       ② ①-②得a n=[7×3n-1+13×(-1)n-1 ] 我们看到,由,得到两组解 或 ,以上,我们求通项时用λ,μ的两组值。事实上对于λ,μ的任何一组值,都可独立地求得其通项公式 对于,我们可得到a n+1+a n=7×3n-1,此即类型6, 设a n+1+p×3n+1=-(a n+p×3n) 比较得,p=-,从而有a n+1-×3n+1=-(a n-×3n) ∴数列{ a n-×3n }是首项为a 1-×3=,公比为-1的等比数列 ∴a n-×3n=×(-1)n-1  于是a n=×3n+×(-1)n-1 =[7×3n-1+13×(-1)n-1 ] 对于,我们可得到a n+1-3a n=-13×(-1)n-1 ,此即类型6 设a n+1+p×(-1)n+1=3[a n +p×(-1)n] 比较得,p=,从而有a n+1+×(-1)n+1=3[a n +×(-1)n] ∴数列{ a n +×(-1)n }是首项为a 1-=,公比为3的等比数列 ∴a n +×(-1)n=×3n-1 于是a n=×3n-1-×(-1)n=[7×3n-1+13×(-1)n-1] 练习10:①数列{a n}中,a 1=3,a 2=3,a n=a n-1+6 a n-2(n≥3),试求通项a n 答:a n=[8×3n-1+7×(-2)n-1] ②试求斐波那契数列,a 1=a 2=1,a n+2=a n+1+a n的通项公式 答:a n=[] 练习②解答: 设a n+2+λa n+1=μ(a n+1+λa n) 则 或 当λ=,μ=时 有:a n+2+ a n+1=(a n+1+ a n) ∴{ a n+1+ a n }是首项为a 2+ a 1=,公比为的等比数列 ∴a n+1+ a n=()n ① 当λ=,μ=时 有:a n+2- a n+1=(a n+1- a n) ∴{ a n+1- a n}是首项为a 2- a 1=,公比为的等比数列 a n+1- a n=()n    ② 由①-②得 a n=[] 8
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