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第十三章空间向量与立体几何(含答案).doc

1、第十三章 空间向量与立体几何一、 填空题(本大题共14小题,每题5分,共70分.不需写出解答过程,请把答案写在指定位置上)1. 已知a(1,3,8),b(3,10,4),则a2b_.2. 直三棱柱ABC-A1B1C1中,若a,b,c,则_.3. 已知点A(3,1,0)和向量( 2,5 ,3),则点B的坐标是_.4. 已知ABC的三个顶点为A(,3,),B(4,3,7),C(0,5,1),则B边上的中线长为_.5. 已知a(1,1,1),b(1,3,2),c(7,5,).若a、b、c三向量共面,则实数等于_.6. 已知a,b是空间两个向量,若|a|3,|b|2,|ab|,则a与b的夹角为_.7.

2、 已知空间三点A(0,2,3),B(2,1,6),C(1,1,5).则以向量,为一组邻边的平行四边形的面积S_.8. 已知向量a(x,y,z)与b(2z,xy,x)的对应关系是bf(a).若a(1,0,2),则|f(a)|_.9. 已知线段AB,BD在平面内,BDAB.线段AC平面.若ABa,BDb,ACc,则C、D间的距离为_.10. 已知S是边长为1的正三角形所在的平面外一点,且SASBSC1,若M、N分别是AB、SC的中点,则异面直线SM与BN所成角的余弦值是_.11. 直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为等腰直角三角形,已知BAC90,ABAC2,AA,E, F分别是BC、AA1的中点

3、.则异面直线EF和A1B所成的角为_.12. 在正三棱锥P-ABC中,底面正ABC的中心为O,D是PA的中点,POAB2,则PB与平面BDC所成角的正弦值为_.13. 在四棱锥P-ABCD中,已知底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD,PDDC,E是PC的中点,过点E作EFPB交PB于点F. 则二面角C-PB-D的大小是_.14. 如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的,其中AB4,BC2,CC13,BE1. 则点C到平面AEC1F的距离是_.二、 解答题(本大题共6小题,共90分.解答后写出文字说明、证明过程或演算步骤)15. (本小题满分14分)在底面为

4、直角梯形的四棱锥P-ABCD中,已知ADBC,ABC90,PA平面ABCD,且PA4,AD2,AB,BC6.求证:BD平面PAC.16. (本小题满分14分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABBCAA1,ABC90,点E、F分别是棱AB、BB1的中点.(1) 求异面直线EF和BC1所成的角;(2) 求二面角C-AC1-B的大小.17. (本小题满分14分)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1.P、Q分别是线段AD1和BD上的点,且D1PPADQQB512.(1) 求线段PQ的长;(2) 求证:慢PQAD;(3) 求证:PQ平面CDD1C1.18. (本小题满分16分)如图

5、,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB,AF1.(1) 求二面角A-DF-B的大小;(2) 试在线段AC上找一点P,使平面直线PF与AD所成的角为60,并确定点P的位置.19. (本小题满分16分)如图,四棱锥P-ABCD中,已知底面ABCD是矩形,PD平面ABCD,且PDAD1,AB2.点E是AB上一点,求当AE等于何值时,二面角P-EC-D的平面角为.20. (本小题满分16分)如图,已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为3的正方体,点E在AA1上,点F在CC1上,且AEFC11.(1) 求证:E,B,F,D1四点共面;(2) 若点G在BC上,BG,点M在BB1上,GM

6、BF,垂足为H,求证:EM平面BCC1B1;(3) 用表示截面EBFD1和平面BCC1B1所成的锐二面角的大小,求tan.第十三章空间向量与立体几何1. (7,17,0)【解析】a2b(1,3,8)2(3,10,4)(7,17,0).2. abc【解析】abc.3. (5,4,3)【解析】,所以(5,4,3),故点B的坐标是(5,4,3).4. 5【解析】AC的中点坐标为D(3,0,5),所以AB边上的中线长为| |5. 6【解析】因为a、b、c三向量共面,所以可设cxayb,则,解之得又x2y,故=6.6.【解析】|ab|2a22abb2|a|22|a|b|cosa,b|b|2,所以cosa

7、,b,故a与b的夹角为.7. 7【解析】(2,1,3),(1,3,2), cosBAC, BAC60. S|sin607.8. 3【解析】 f(a)(2z,xy,-x)(22,-10,1)(4,-1,1), |f(a)|.9.【解析】解法一:连接AD, AC,AD, ACAD.在ABD中, BDAB, AD2AB2BD2a2b2.在ACD中, AC平面,AD平面, ACAD, CD.解法二:| |2|2|2|2222. AC平面,AB平面,BD平面, ACBD,ACAB.又 ABBD, 0,0,0. |2|2|2|2a2b2c2, |.10.【解析】设a,b,c. abbcac. ()()(a

8、b)|=|= cos,故异面直线SM与BN所成角的余弦值为.11.【解析】以A为坐标原点,以AB、AC、AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A1 (0,0,2),B(2,0,0),C(0,2,0). E、F分别是BC、AA1中点, E(1,1,0),F(0,0,).(2,0,2),(1,1,).设与的夹角为, cos. 0, . 异面直线EF和A1B所成的角为.12.【解析】以O为坐标原点,OA所在直线为x轴,OP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.因为ABC是正三角形,故y轴平行于BC,又POAB2,则P(0,0,2),A,B,因为D是PA的中点,所以

9、D.所以(0,2,0),.设n(x,y,z)是平面BDC的一个法向量,则n0且n0,即化简得取x,则y0,z2.所以平面BDC的一个法向量是n0(,0,2).因为,所以cos,n0.由于和n0所成的角与PB与平面BDC所成的角互余,所以PB与平面BDC所成角的正弦值为13. 【解析】如图建立空间直角坐标系,D为坐标原点,设DCa.则A(a,0,0),P(0,0,a),E可求得F由0,得FDPB.又EFPB, EFD是二面角C-PB-D的平面角, cosEFD, 0EFD, EFD. 二面角C-PB-D大小为.14.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(2,4,0),A(

10、2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3). =(0,4,1), =(-2,0,2).设n1为平面AEC1F的法向量,显然n1不垂直于平面ADF,故可设n1(x,y,1),由 n1=.又(0,0,3),设与n1的夹角为,则cos C到平面AEC1F的距离d=|cos.15. 如图,以A为坐标原点建立空间直角坐标系, 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,6,0),D(0,2,0),P(0,0,4).(0,0,4),(2,6,0),(2,2,0), 0,0. BDAP,BDAC.又 PAACA,PA平面PAC,AC平面PAC, BD平面PAC.16. (1) 建

11、立如图所示的直角坐标系B-xyz,设AB=2, 则E(0,1,0),F(0,0,1),B(0,0,0),C1(2,0,2). EF(0,0,1)(0,1,0)(0,1,1),(2,0,2), cos, 异面直线EF和BC1所成的角是60.(2) 由图形可知,平面ACC1的法向量为n1(1,1,0),设平面ABC1的法向量为n2(x,y,z).(0,2,0),(2,0,2),令x1,得n2(1,0,1). cosn1,n2 n1与n2的夹角为60, 二面角C-AC1-B为60.17. (1) 以D为坐标原点,DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 正方体的棱长

12、为1, D(0,0,0),D1(0,0,1),B(1,1,0),A(1,0,0). P、Q分别是线段AD1和BD上的点,且D1PPADQQB512, PQ |.(2) (1,0,0), 0, PQAD.(3) PQAD,AD平面CDD1C1,且PQ平面CDD1C1. PQ平面CDD1C1.18. (1) 以C为坐标原点,CD、CB、CE所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则E(0,0,1),D(,0,0),B(0,0),A(,0).由图象知,平面ADF的法向量t(1,0,0).(,0),(,0,1).设平面DFB的法向量n(a,b,c),则n0,n0,所以令a1,则n(1,

13、1,).cosn,t,故二面角A-DF-B的大小为60.(2) 设P(a,a,0)(0a),则(a,a,1),(0,0),因为PF与AD所成的角为60,所以cos60,解得a或a=(舍去).故存在满足条件的点P,且P为AC的中点.19. 如图,以D为坐标原点,DA、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系.则P(0,0,1),C(0,2,0).设E(1,y0,0)(0y02),则(1,2y0,0),=(0,2,-1),设平面PEC的法向量为n1(x,y,z).所以令y=1,则n1(2y0),1,2),而平面ECD的法向量为n2(0,0,1),因为二面角P-EC-D的平面角n1,n

14、2, 所以cos解得y02或y0=2+(舍去).所以当AE2时,二面角P-EC-D的平面角为.20. (1) 以B为坐标原点,BA、BC、BB1所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则(3,0,1),(0,3,2),(3,3,3),所以,故,共面.又它们有公共点B,所以E,B,F,D1四点共面.(2) G,设M(0,0,z),则.而(0,3,2),由题设知3z20,得z1. BM=1=AE. EMAB. AB平面BCC1B1, EM平面BCC1B1.(3) 设平面EBFD1的法向量为n=(x,y,3),于是n,n. 而(3,0,1),(0,3,2),得n3x30,n3y60,解得x1,y2,所以n(1,-2,3).又平面BCC1B1的法向量为=(3,0,0),所以n和的夹角等于或-.(为锐角)于是cos 故tan.44

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