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第十三章 空间向量与立体几何
一、 填空题(本大题共14小题，每题5分，共70分.不需写出解答过程，请把答案写在指定位置上)
1. 已知a＝(1，－3，8)，b＝(3，10，－4)，则a＋2b＝______.
2. 直三棱柱ABC-A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则＝______.
3. 已知点A(3，－1，0)和向量＝( 2，5 ，－3)，则点B的坐标是______.
4. 已知△ABC的三个顶点为A(２，3，３)，B(4，－3，7)，C(0，5，1)，则ＡB边上的中线长为______.
5. 已知a＝(1，1，1)，b＝(1，3，2)，c＝(7，5，λ).若a、b、c三向量共面，则实数λ等于_______.
6. 已知a，b是空间两个向量，若|a|＝3，|b|＝2，|a－b|＝，则a与b的夹角为______.
7. 已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5).则以向量，为一组邻边的平行四边形的面积S＝________.
8. 已知向量a＝(x，y，z)与b＝(2z，x＋y，－x)的对应关系是b＝f(a).若a＝(－1，0，2)，则|f(a)|＝_______.
9. 已知线段AB，BD在平面α内，BD⊥AB.线段AC⊥平面α.若AB＝a，BD＝b，AC＝c，则C、D间的距离为______.
10. 已知S是边长为1的正三角形所在的平面外一点，且SA＝SB＝SC＝1，若M、N分别是AB、SC的中点，则异面直线SM与BN所成角的余弦值是_______.
11. 直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为等腰直角三角形，已知∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，
AA１＝，E， F分别是BC、AA1的中点.则异面直线EF和A1B所成的角为_______.
12. 在正三棱锥P-ABC中，底面正△ABC的中心为O，D是PA的中点，PO＝AB＝2，则PB与平面BDC所成角的正弦值为______.
13. 在四棱锥P-ABCD中，已知底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，过点E作EF⊥PB交PB于点F. 则二面角C-PB-D的大小是______.
14. 如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1. 则点C到平面AEC1F的距离是_______.
二、 解答题(本大题共6小题，共90分.解答后写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (本小题满分14分)在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中，已知AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，且PA＝4，AD＝2，AB＝，BC＝6.求证：BD⊥平面PAC.

16. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点.
(1) 求异面直线EF和BC1所成的角；
(2) 求二面角C-AC1-B的大小.

17. (本小题满分14分)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1.P、Q分别是线段AD1和BD上的点，且D1P∶PA＝DQ∶QB＝5∶12.
(1) 求线段PQ的长；
(2) 求证:慢PQ⊥AD；
(3) 求证：PQ∥平面CDD1C1.

18. (本小题满分16分)如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1.
(1) 求二面角A-DF-B的大小；
(2) 试在线段AC上找一点P，使平面直线PF与AD所成的角为60°,并确定点P的位置.

19. (本小题满分16分)如图，四棱锥P-ABCD中，已知底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，且PD＝AD＝1，AB＝2.点E是AB上一点，求当AE等于何值时，二面角P-EC-D的平面角为.

20. (本小题满分16分)如图，已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE＝FC1＝1.
(1) 求证：E，B，F，D1四点共面；
(2) 若点G在BC上，BG＝，点M在BB1上，GM⊥BF，垂足为H，求证：EM⊥平面BCC1B1；
(3) 用θ表示截面EBFD1和平面BCC1B1所成的锐二面角的大小，求tanθ.

第十三章空间向量与立体几何
1. （7，17，0）【解析】a＋2b＝（1，－3，8）＋2×（3，10，－4）＝（7，17，0）.
2. －a＋b－c【解析】
－a＋b－c.
3. （5，4，－3）【解析】，所以＝（5，4，－3），故点B的坐标是（5，4，－3）.
4. 5【解析】AC的中点坐标为D（3，0，5），所以AB边上的中线长为| |＝
5. 6【解析】因为a、b、c三向量共面，所以可设c＝xa＋yb，则，解之得又λ＝x＋2y，故λ=6.
6.【解析】|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝|a|2－2|a||b|cos〈a，b〉＋|b|2，所以cos〈a，b〉＝，故a与b的夹角为.
7. 7【解析】∵＝（－2，－1，3），＝（1，－3，2），∴ cos∠BAC＝，∴ ∠BAC＝60°.∴ S＝||||sin60°＝7.
8. 3【解析】∵ f（a）＝（2z，x＋y，-x）＝（2×2，-1＋0，1）＝（4，-1，1），∴ |f（a）|＝.
9.【解析】解法一：连接AD，∵ AC⊥，AD，∴ AC⊥AD.在△ABD中，∵ BD⊥AB，∴ AD2＝AB2＋BD2＝a2＋b2.在△ACD中，∵ AC⊥平面，AD平面，∴ AC⊥AD，∴ CD＝.
解法二：| |2＝＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·.
∵ AC⊥平面α，AB平面α，BD平面α，∴ AC⊥BD，AC⊥AB.又∵ AB⊥BD，
∴ ·＝0，·＝0，·＝0.∴ ||2＝||2＋||2＋||2＝a2＋b2＋c2，∴ ||＝.
10.【解析】设＝a，＝b，＝c. ∴ a·b＝b·c＝a·c＝. ∵ ·＝（＋）·（－）＝（a＋b）·＝＝
||=
||=
∴ cos〈，〉＝故异面直线SM与BN所成角的余弦值为.
11.【解析】以A为坐标原点,以AB、AC、AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A1 （0，0，2）,B（2，0，0）,C（0，2，0）.∵ E、F分别是BC、AA1中点,∴ E（1，1，0），F（0，0，）.

∴＝（－2，0，2），＝（－1，－1，）.设与的夹角为θ，∴ cosθ＝＝.∵ 0≤θ≤π，∴ θ＝.∴ 异面直线EF和A1B所成的角为.
12.【解析】以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
因为△ABC是正三角形，故y轴平行于BC，又PO＝AB＝2，则P（0，0，2），A,B,因为D是PA的中点，所以D.

所以＝（0，－2，0），＝.设n＝（x，y，z）是平面BDC的一个法向量，则n·＝0且n·＝0，即化简得取x＝，则y＝0，z＝－2.所以平面BDC的一个法向量是n0＝（，0，－2）.因为＝，所以cos〈，n0〉＝.由于和n0所成的角与PB与平面BDC所成的角互余，所以PB与平面BDC所成角的正弦值为
13. 【解析】如图建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC＝a.则A（a，0，0），P（0，0，a），E

可求得F∴＝＝
由·＝0，得FD⊥PB.又EF⊥PB，∴ ∠EFD是二面角C-PB-D的平面角，∴ cos∠EFD＝，∵ 0≤∠EFD≤π，∴ ∠EFD＝.∴ 二面角C-PB-D大小为.
14.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，4，0），A（2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），C1（0，4，3）.

∴ =(0,4,1), =(-2,0,2).设n1为平面AEC1F的法向量，显然n1不垂直于平面ADF，故可设n1＝（x，y，1），由∴∴ n1=.
又＝（0，0，3），设与n1的夹角为α，则cosα＝
∴ C到平面AEC1F的距离d=||cosα＝.
15. 如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系， 则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，6，0），D（0，2，0），P（0，0，4）.

∴＝（0，0，4），＝（2，6，0），＝（－2，2，0），∴ ·＝0，·＝0.∴ BD⊥AP，BD⊥AC.又∵ PA∩AC＝A，PA平面PAC，AC平面PAC，∴ BD⊥平面PAC.
16. （1） 建立如图所示的直角坐标系B-xyz，设AB=2， 则E（0，1，0），F（0，0，1），B（0，0，0），C1（2，0，2）.∴ EF＝（0，0，1）－（0，1，0）＝（0，－1，1），＝（2，0，2），

∴ cos〈，〉＝，∴ 异面直线EF和BC1所成的角是60°.
（2） 由图形可知，平面ACC1的法向量为n1＝（1，1，0），设平面ABC1的法向量为n2＝（x，y，z）.∵＝（0，2，0），＝（2，0，2），∴令x＝1，得n2＝（1，0，－1）.∴ cos〈n1，n2〉＝∴ n1与n2的夹角为60°，∴ 二面角C-AC1-B为60°.
17. （1） 以D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

∵ 正方体的棱长为1，∴ D（0，0，0），D1（0，0，1），B（1，1，0），A（1，0，0）.∵ P、Q分别是线段AD1和BD上的点，且D1P∶PA＝DQ∶QB＝5∶12，∴ PQ∴ ∴＝||＝.
（2） ∵ ＝（1，0，0），∴ ·＝0，∴ PQ⊥AD.
（3） ∵ PQ⊥AD,AD⊥平面CDD1C1，且PQ平面CDD1C1.∴ PQ∥平面CDD1C1.
18. （1） 以C为坐标原点，CD、CB、CE所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则E（0，0，1），D（，0，0），B（0，，0），A（，，0）.由图象知，平面ADF的法向量t＝（1，0，0）.＝（，－，0），＝（，0，1）.设平面DFB的法向量n＝（a，b，c），则n·＝0，n·＝0，所以令a＝1，则n＝(1，1，－).cos〈n，t〉＝，故二面角A-DF-B的大小为60°.
（2） 设P（a，a，0）（0≤a≤），则＝（－a，－a，1），＝（0，，0），因为PF与AD所成的角为60°，所以cos60°＝，解得a＝或a=（舍去）.故存在满足条件的点P，且P为AC的中点.
19. 如图，以D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系.则P（0，0，1），C（0，2，0）.

设E（1，y0，0）（0≤y0≤2），则＝（－1，2－y0，0），=(0,2,-1),设平面PEC的法向量为n1＝（x，y，z）.所以令y=1，则n1＝（（2－y0），1，2）,而平面ECD的法向量为n2＝（0，0，1），因为二面角P-EC-D的平面角θ＝〈n1，n2〉＝， 所以cosθ＝解得y0＝2－或y0=2+（舍去）.所以当AE＝2－时，二面角P-EC-D的平面角为.
20. （1） 以B为坐标原点，BA、BC、BB1所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则＝（3，0，1），＝（0，3，2），＝（3，3，3），所以＝＋，故，，共面.又它们有公共点B，所以E，B，F，D1四点共面.

（2） G，设M（0，0，z），则＝.而＝（0，3，2），由题设知·＝－·3＋z·2＝0，得z＝1.∴ BM=1=AE.∴ EM∥AB.∵ AB⊥平面BCC1B1，∴ EM⊥平面BCC1B1.
（3） 设平面EBFD1的法向量为n=（x,y,3），于是n⊥，n⊥. 而＝（3，0，1），＝（0，3，2），得n·＝3x＋3＝0，n·＝3y＋6＝0，解得x＝－1，y＝－2，所以n＝（－1，-2，3）.又平面BCC1B1的法向量为=（3，0，0），所以n和的夹角等于θ或π-θ.（θ为锐角）于是cosθ＝ 故tanθ＝.

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