第十三章空间向量与立体几何(含答案).doc

第十三章 空间向量与立体几何一、 填空题(本大题共14小题，每题5分，共70分.不需写出解答过程，请把答案写在指定位置上)1. 已知a(1，3，8)，b(3，10，4)，则a2b_.2. 直三棱柱ABC-A1B1C1中，若a，b，c，则_.3. 已知点A(3，1，0)和向量( 2，5 ，3)，则点B的坐标是_.4. 已知ABC的三个顶点为A(，3，)，B(4，3，7)，C(0，5，1)，则B边上的中线长为_.5. 已知a(1，1，1)，b(1，3，2)，c(7，5，).若a、b、c三向量共面，则实数等于_.6. 已知a，b是空间两个向量，若|a|3，|b|2，|ab|，则a与b的夹角为_.7. 已知空间三点A(0，2，3)，B(2，1，6)，C(1，1，5).则以向量，为一组邻边的平行四边形的面积S_.8. 已知向量a(x，y，z)与b(2z，xy，x)的对应关系是bf(a).若a(1，0，2)，则|f(a)|_.9. 已知线段AB，BD在平面内，BDAB.线段AC平面.若ABa，BDb，ACc，则C、D间的距离为_.10. 已知S是边长为1的正三角形所在的平面外一点，且SASBSC1，若M、N分别是AB、SC的中点，则异面直线SM与BN所成角的余弦值是_.11. 直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为等腰直角三角形，已知BAC90，ABAC2，AA，E， F分别是BC、AA1的中点.则异面直线EF和A1B所成的角为_.12. 在正三棱锥P-ABC中，底面正ABC的中心为O，D是PA的中点，POAB2，则PB与平面BDC所成角的正弦值为_.13. 在四棱锥P-ABCD中，已知底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC，E是PC的中点，过点E作EFPB交PB于点F. 则二面角C-PB-D的大小是_.14. 如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB4，BC2，CC13，BE1. 则点C到平面AEC1F的距离是_.二、 解答题(本大题共6小题，共90分.解答后写出文字说明、证明过程或演算步骤)15. (本小题满分14分)在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中，已知ADBC，ABC90，PA平面ABCD，且PA4，AD2，AB，BC6.求证：BD平面PAC.16. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABBCAA1，ABC90，点E、F分别是棱AB、BB1的中点.(1) 求异面直线EF和BC1所成的角；(2) 求二面角C-AC1-B的大小.17. (本小题满分14分)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1.P、Q分别是线段AD1和BD上的点，且D1PPADQQB512.(1) 求线段PQ的长；(2) 求证:慢PQAD；(3) 求证：PQ平面CDD1C1.18. (本小题满分16分)如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB，AF1.(1) 求二面角A-DF-B的大小；(2) 试在线段AC上找一点P，使平面直线PF与AD所成的角为60,并确定点P的位置.19. (本小题满分16分)如图，四棱锥P-ABCD中，已知底面ABCD是矩形，PD平面ABCD，且PDAD1，AB2.点E是AB上一点，求当AE等于何值时，二面角P-EC-D的平面角为.20. (本小题满分16分)如图，已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AEFC11.(1) 求证：E，B，F，D1四点共面；(2) 若点G在BC上，BG，点M在BB1上，GMBF，垂足为H，求证：EM平面BCC1B1；(3) 用表示截面EBFD1和平面BCC1B1所成的锐二面角的大小，求tan.第十三章空间向量与立体几何1. （7，17，0）【解析】a2b（1，3，8）2（3，10，4）（7，17，0）.2. abc【解析】abc.3. （5，4，3）【解析】，所以（5，4，3），故点B的坐标是（5，4，3）.4. 5【解析】AC的中点坐标为D（3，0，5），所以AB边上的中线长为| |5. 6【解析】因为a、b、c三向量共面，所以可设cxayb，则，解之得又x2y，故=6.6.【解析】|ab|2a22abb2|a|22|a|b|cosa，b|b|2，所以cosa，b，故a与b的夹角为.7. 7【解析】（2，1，3），（1，3，2）， cosBAC， BAC60. S|sin607.8. 3【解析】 f（a）（2z，xy，-x）（22，-10，1）（4，-1，1）， |f（a）|.9.【解析】解法一：连接AD， AC，AD， ACAD.在ABD中， BDAB， AD2AB2BD2a2b2.在ACD中， AC平面，AD平面， ACAD， CD.解法二：| |2|2|2|2222. AC平面，AB平面，BD平面， ACBD，ACAB.又 ABBD， 0，0，0. |2|2|2|2a2b2c2， |.10.【解析】设a，b，c. abbcac. （）（）（ab）|=|= cos，故异面直线SM与BN所成角的余弦值为.11.【解析】以A为坐标原点,以AB、AC、AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A1 （0，0，2）,B（2，0，0）,C（0，2，0）. E、F分别是BC、AA1中点, E（1，1，0），F（0，0，）.（2，0，2），（1，1，）.设与的夹角为， cos. 0， . 异面直线EF和A1B所成的角为.12.【解析】以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.因为ABC是正三角形，故y轴平行于BC，又POAB2，则P（0，0，2），A,B,因为D是PA的中点，所以D.所以（0，2，0），.设n（x，y，z）是平面BDC的一个法向量，则n0且n0，即化简得取x，则y0，z2.所以平面BDC的一个法向量是n0（，0，2）.因为，所以cos，n0.由于和n0所成的角与PB与平面BDC所成的角互余，所以PB与平面BDC所成角的正弦值为13. 【解析】如图建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DCa.则A（a，0，0），P（0，0，a），E可求得F由0，得FDPB.又EFPB， EFD是二面角C-PB-D的平面角， cosEFD， 0EFD， EFD. 二面角C-PB-D大小为.14.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，4，0），A（2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），C1（0，4，3）. =(0,4,1), =(-2,0,2).设n1为平面AEC1F的法向量，显然n1不垂直于平面ADF，故可设n1（x，y，1），由 n1=.又（0，0，3），设与n1的夹角为，则cos C到平面AEC1F的距离d=|cos.15. 如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系， 则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，6，0），D（0，2，0），P（0，0，4）.（0，0，4），（2，6，0），（2，2，0）， 0，0. BDAP，BDAC.又 PAACA，PA平面PAC，AC平面PAC， BD平面PAC.16. （1） 建立如图所示的直角坐标系B-xyz，设AB=2， 则E（0，1，0），F（0，0，1），B（0，0，0），C1（2，0，2）. EF（0，0，1）（0，1，0）（0，1，1），（2，0，2）， cos， 异面直线EF和BC1所成的角是60.（2） 由图形可知，平面ACC1的法向量为n1（1，1，0），设平面ABC1的法向量为n2（x，y，z）.（0，2，0），（2，0，2），令x1，得n2（1，0，1）. cosn1，n2 n1与n2的夹角为60， 二面角C-AC1-B为60.17. （1） 以D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 正方体的棱长为1， D（0，0，0），D1（0，0，1），B（1，1，0），A（1，0，0）. P、Q分别是线段AD1和BD上的点，且D1PPADQQB512， PQ |.（2） （1，0，0）， 0， PQAD.（3） PQAD,AD平面CDD1C1，且PQ平面CDD1C1. PQ平面CDD1C1.18. （1） 以C为坐标原点，CD、CB、CE所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则E（0，0，1），D（，0，0），B（0，0），A（，0）.由图象知，平面ADF的法向量t（1，0，0）.（，0），（，0，1）.设平面DFB的法向量n（a，b，c），则n0，n0，所以令a1，则n(1，1，).cosn，t，故二面角A-DF-B的大小为60.（2） 设P（a，a，0）（0a），则（a，a，1），（0，0），因为PF与AD所成的角为60，所以cos60，解得a或a=（舍去）.故存在满足条件的点P，且P为AC的中点.19. 如图，以D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系.则P（0，0，1），C（0，2，0）.设E（1，y0，0）（0y02），则（1，2y0，0），=(0,2,-1),设平面PEC的法向量为n1（x，y，z）.所以令y=1，则n1（2y0），1，2）,而平面ECD的法向量为n2（0，0，1），因为二面角P-EC-D的平面角n1，n2， 所以cos解得y02或y0=2+（舍去）.所以当AE2时，二面角P-EC-D的平面角为.20. （1） 以B为坐标原点，BA、BC、BB1所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则（3，0，1），（0，3，2），（3，3，3），所以，故，共面.又它们有公共点B，所以E，B，F，D1四点共面.（2） G，设M（0，0，z），则.而（0，3，2），由题设知3z20，得z1. BM=1=AE. EMAB. AB平面BCC1B1， EM平面BCC1B1.（3） 设平面EBFD1的法向量为n=（x,y,3），于是n，n. 而（3，0，1），（0，3，2），得n3x30，n3y60，解得x1，y2，所以n（1，-2，3）.又平面BCC1B1的法向量为=（3，0，0），所以n和的夹角等于或-.（为锐角）于是cos 故tan.44