第十三章实数.docx

第十三章实数----知识点总结
一、算术平方根
1. 算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根．a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数．
规定：0的算术平方根是0.
也就是，在等式 (x≥0)中，规定。
2. 的结果有两种情况：当a是完全平方数时，是一个有限数；
当a不是一个完全平方数时，是一个无限不循环小数。
3. 当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大；
当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。
4. 夹值法及估计一个（无理）数的大小
一、 5. x≥0) <—>
a是x的平方 x的平方是a
x是a的算术平方根 a的算术平方根是x
二、平方根
1. 平方根的定义：如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根．即：如果，那么x叫做a的平方根．
2.开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。
3. 平方与开平方互为逆运算：3的平方等于9，9的平方根是3
4. 一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果；
一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算
5. 符号：正数a的正的平方根可用表示，也是a的算术平方根；
正数a的负的平方根可用-表示．
6. 平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：
区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；
联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。
7. <—>
a是x的平方 x的平方是a
x是a的平方根 a的平方根是x
三、立方根
1. 立方根的定义：如果一个数x的立方等于，这个数叫做的立方根（也叫做三次方根），即如果，那么叫做的立方根
2. 一个数的立方根，记作，读作：“三次根号”，
其中叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。
3. 一个正数有一个正的立方根；
0有一个立方根，是它本身；
一个负数有一个负的立方根；
任何数都有唯一的立方根。
4. 利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性，求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数，即。
5. <—>
a是x的立方 x的立方是a
x是a的立方根 a的立方根是x
四、实数
1. 有理数的定义：任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。
2. 无理数的定义：无限不循环小数叫无理数
3. 实数的定义：有理数和无理数统称为实数

4. 像有理数一样，无理数也有正负之分。例如，，是正无理数，，，是负无理数。由于非0有理数和无理数都有正负之分，实数也可以这样分类：

5. 实数与数轴上点的关系：
每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，
数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数，
实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。
与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大
6. 数的相反数是，这里表示任意一个实数。
7. 实数的绝对值：一个正实数的绝对值是本身；
一个负实数的绝对值是它的相反数；
0的绝对值是0。
8. 无限小数是有理数（×） 无限小数是无理数（×）
有理数是无限小数（×） 无理数是无限小数（√）
数轴上的点都可以用有理数表示（×） 有理数都可以由数轴上的点表示（√）
数轴上的点都可以用无理数表示（×） 无理数都可以由数轴上的点表示（√）
数轴上的点都可以用实数表示（√） 实数都可以由数轴上的点表示（√）
五、考点分析
类型一、有关概念的识别
例1．下面几个数：，其中，无理数的个数有
　　A、1　　　 B、2　　　 C、3 　　　D、4
解析：本题主要考察对无理数概念的理解和应用，其中，是无理数
　　举一反三：
【变式1】下列说法中正确的是（ ）
A、的平方根是±3　B、1的立方根是±1　C、 D、是5的平方根的相反数
【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（ ）
　　　A、1.5　　　 B、1.4　　　 C、 　　　D、
【变式3】计算 =
类型二、计算类型题
例2．设，则下列结论正确的是（ ）
　　A. 　　　　　　B.
　C. 　　　　　　D.
　举一反三：
【变式1】1）1.25的算术平方根是__________；平方根是__________.2） -27立方根是__________. 3）___________， ___________，___________.
【变式2】求下列各式中的
　　 （1） 　　　（2）　　　　（3）

类型三、数形结合
例3. 点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为，则A，B两点的距离为______
解析：在数轴上找到A、B两点，
举一反三：
【变式1】如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数是（ ）．
　　　　　　A． B． C． D．
类型四、实数非负性的应用
例4．已知求的值。

【变式1】已知那么的值为___________
类型五、易错题
例5．判断下列说法是否正确
（1）的算术平方根是-3 （ ）　　　（2）的平方根是±15 （ ）
（3）当x=0或2时，　（ ）　　 （4）是分数 （ ）
例题：
1. 9的算术平方根是（ ）
A．3 B.－3 C. ±3 D. 81
2. 16的平方根是（ ）
A．4 B.－4 C. ±4 D. 256
3. 下列各数中，不是无理数的是（　　 ）
A. B. 0.5 C. 2　 D. 0.151151115…
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 有理数只是有限小数 B. 无理数是无限不循环小数
C. 无限小数是无理数 D. 带根号的数都是无理数
5. 下列说法错误的是（ ）
A. 1的平方根是±1 B. –1的立方根是–1
C. 是2的算术平方根 D.=–3
6. 和数轴上的点一一对应的是（　 　）
A　整数　　　B　有理数　 　C　无理数　　　D　实数
7. 下列说法正确的是（ ）
A. 的立方根是4 B.的平方根是
C.2的立方根是 D.0.1的立方根是0.001
8. 下列式子中，正确的是（ ）
A． B. C. D.
9.计算结果是（　　）
A、 B、 C、2 D、
10．若，，则a-b＝﹙ ﹚.
A． 4 B．-4 C． 6 D．-6
二.填空题
11.0的算术平方根是 ；
12. -= . =
13、的平方根是
14. -1的相反数是
15、 =
16. 比较大小：-______-(填“＞”或“＜”)
17．一个数的立方根等于它本身，则这个数是
18. 大于小于的整数是 ；
19. 如果一个数的平方根是和，则这个数为 ；
20、若，都是无理数，且，则，的值可以是 。（填一组）
三.解答题:
21. 求下列各式的值:
①; ②; ③ ; ④;

22.将下列各数的序号填在相应的集合里.
， ， 3.14， －0.45， 3.030030003…， 0， ，－， ，
有理数集合：{ …}；
无理数集合：{ …}；
正实数集合：{ …}；
整数集合： { …}；
23. 计算
① ② ③+3—5

④ ⑤

⑥ （精确到0.01） ⑦

24、已知； （1）求； （2）求的值

25、如图，两点的坐标分别是，，点的坐标为．
（1）；将向下平移个单位，得到，画出
（2）写出的坐标？ （3）求的面积

1、下列说法正确的是( )
A、的平方根是 B、表示6的算术平方根的相反数
C、 任何数都有平方根 D、一定没有平方根
2、若，则
3、若，则的取值范围是 ；，则的取值范围是
4、已知，求的平方根是
5、已知 求 的值

6、

7、

8、若为实数，则下列命题正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、
9、 若 成立,则x的取值范围是( )
A.x≤2 B. x≥2 C. 0 ≤x ≤ 2 D.任意实数
10 、若 =4-x成立,则x的取值范围是( )
A.x≤4 B. x≥4 C. 0 ≤x ≤ 4 D.任意实数
例1 求下列各数的算术平方根
⑴100 ⑵ ⑶0.0001 ⑷0 ⑸
2.要使代数式有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
（四）非负数的算术平方根表示为___，225的算术平方根是____，0的算术平方根是____
1、
2、 的算术平方根是_____, 的算术平方根____
3、 若是49的算术平方根，则=（ ）
A. 7 B. －7 C. 49 D.－49
4、 若，则的算术平方根是（ ）
A. 49 B. 53 C.7 D .
练一练：求下列数的平方根
⑴100 ⑵ ⑶0.25 ⑷ ⑸ 0
总结归纳：
1、 正数有两个平方根，它们互为相反数
2、 0的平方根是0
3、 负数没有平方根
讨论：平方根与算术平方根之间有什么关系？
总结：1、平方根与算术平方根之间的区别
⑴定义不同：如果，那么叫做的平方根。一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，是0本身；负数没有平方根。
如果，并且，那么叫做的算术平方根。一个正数的算术平方根只有一个，非负数的算术平方根一定是非负数
⑵表示方法不同：正数的平方根表示为；正数的算术平方根为
⑶平方根等于本身的数是0；算术平方根等于本身的数是0或1
2、平方根与算术平方根之间的联系
⑴二者有着包含关系：平方根中包含算术平方根，算术平方根是平方根中的非负的那一个
⑵存在条件相同，非负数才有平方根和算术平方根
⑶0的平方根和0的算术平方根都是0
㈢应用迁移，巩固提高
例1 说出下列各数的平方根
⑴0.04 ⑵ ⑶ ⑷
例2 说出下列各数的平方根各是什么？
⑴64 ⑵0 ⑶ ⑷ ⑸ ⑹
点评：要从根本之处理解一个数的平方根的运算，从平方根的概念入手，同时要知道，只有非负数才有平方根
例3 计算
⑴ ⑵ ⑶ ⑷