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第十三章实数-知识点总结一、算术平方根1. 算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数规定：0的算术平方根是0. 也就是，在等式 (x0)中，规定。2. 的结果有两种情况：当a是完全平方数时，是一个有限数； 当a不是一个完全平方数时，是一个无限不循环小数。3. 当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大；当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。4. 夹值法及估计一个（无理）数的大小一、 5. (x0) a是x的平方 x的平方是ax是a的算术平方根 a的算术平方根是x二、平方根1. 平方根的定义：如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根即：如果，那么x叫做a的平方根2.开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。3. 平方与开平方互为逆运算：3的平方等于9，9的平方根是3 4. 一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果；一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算5. 符号：正数a的正的平方根可用表示，也是a的算术平方根；正数a的负的平方根可用-表示6. 平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。7. a是x的平方 x的平方是ax是a的平方根 a的平方根是x三、立方根1. 立方根的定义：如果一个数x的立方等于，这个数叫做的立方根（也叫做三次方根），即如果，那么叫做的立方根2. 一个数的立方根，记作，读作：“三次根号”，其中叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。3. 一个正数有一个正的立方根；0有一个立方根，是它本身；一个负数有一个负的立方根；任何数都有唯一的立方根。4. 利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性，求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数，即。5. a是x的立方 x的立方是ax是a的立方根 a的立方根是x四、实数1. 有理数的定义：任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。2. 无理数的定义：无限不循环小数叫无理数3. 实数的定义：有理数和无理数统称为实数 4. 像有理数一样，无理数也有正负之分。例如，是正无理数，是负无理数。由于非0有理数和无理数都有正负之分，实数也可以这样分类： 5. 实数与数轴上点的关系：每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大6. 数的相反数是，这里表示任意一个实数。7. 实数的绝对值：一个正实数的绝对值是本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。8. 无限小数是有理数（） 无限小数是无理数（）有理数是无限小数（） 无理数是无限小数（） 数轴上的点都可以用有理数表示（） 有理数都可以由数轴上的点表示（） 数轴上的点都可以用无理数表示（） 无理数都可以由数轴上的点表示（） 数轴上的点都可以用实数表示（） 实数都可以由数轴上的点表示（）五、考点分析类型一、有关概念的识别例1下面几个数：，其中，无理数的个数有A、1 B、2 C、3 D、4解析：本题主要考察对无理数概念的理解和应用，其中，是无理数举一反三：【变式1】下列说法中正确的是（ ）A、的平方根是3B、1的立方根是1C、 D、是5的平方根的相反数 【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（ ）A、1.5 B、1.4 C、 D、【变式3】计算 = 类型二、计算类型题例2设，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 举一反三：【变式1】1）1.25的算术平方根是_；平方根是_.2） -27立方根是_. 3）_， _，_.【变式2】求下列各式中的 （1） （2）（3）类型三、数形结合 例3. 点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为，则A，B两点的距离为_解析：在数轴上找到A、B两点，举一反三：【变式1】如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数是（ ）A B C D类型四、实数非负性的应用例4已知求的值。【变式1】已知那么的值为_类型五、易错题例5判断下列说法是否正确（1）的算术平方根是-3 （ ）（2）的平方根是15 （ ）（3）当x=0或2时，（ ） （4）是分数 （ ）例题：1. 9的算术平方根是（ ）A3 B.3 C. 3 D. 812. 16的平方根是（ ）A4 B.4 C. 4 D. 2563. 下列各数中，不是无理数的是（ ）A. B. 0.5 C. 2 D. 0.1511511154. 下列说法正确的是（ ） A. 有理数只是有限小数 B. 无理数是无限不循环小数 C. 无限小数是无理数 D. 带根号的数都是无理数5. 下列说法错误的是（ ） A. 1的平方根是1 B. 1的立方根是1 C. 是2的算术平方根 D.=36. 和数轴上的点一一对应的是（ ）A整数B有理数 C无理数D实数7. 下列说法正确的是（ ）A. 的立方根是4 B.的平方根是C.2的立方根是 D.0.1的立方根是0.0018. 下列式子中，正确的是（ ） A B. C. D. 9.计算结果是（）A、B、C、2D、10若，则a-b .A 4 B-4 C 6 D-6二.填空题11.0的算术平方根是 ；12. -= . = 13、的平方根是 14. -1的相反数是 15、 = 16. 比较大小：-_-(填“”或“”)17一个数的立方根等于它本身，则这个数是 18. 大于小于的整数是 ；19. 如果一个数的平方根是和，则这个数为 ；20、若，都是无理数，且，则，的值可以是 。（填一组）三.解答题:21. 求下列各式的值: ; ; ; ; 22.将下列各数的序号填在相应的集合里.， ， 3.14， 0.45， 3.030030003， 0， ， ， 有理数集合： ；无理数集合： ；正实数集合： ；整数集合： ；23. 计算 +35 （精确到0.01） 24、已知； （1）求； （2）求的值25、如图，两点的坐标分别是，点的坐标为（1）；将向下平移个单位，得到，画出（2）写出的坐标？ （3）求的面积 1、下列说法正确的是( )A、的平方根是 B、表示6的算术平方根的相反数C、 任何数都有平方根 D、一定没有平方根2、若，则 3、若，则的取值范围是 ；，则的取值范围是 4、已知，求的平方根是 5、已知 求 的值 6、7、8、若为实数，则下列命题正确的是（ ）A、 B、C、 D、 9、 若 成立,则x的取值范围是( ) A.x2 B. x2 C. 0 x 2 D.任意实数 10 、若 =4-x成立,则x的取值范围是( ) A.x4 B. x4 C. 0 x 4 D.任意实数 例1 求下列各数的算术平方根100 0.0001 0 2.要使代数式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. （四）非负数的算术平方根表示为_，225的算术平方根是_，0的算术平方根是_1、2、 的算术平方根是_, 的算术平方根_3、 若是49的算术平方根，则=（ ）A. 7 B. 7 C. 49 D.494、 若，则的算术平方根是（ ）A. 49 B. 53 C.7 D .练一练：求下列数的平方根100 0.25 0总结归纳：1、 正数有两个平方根，它们互为相反数2、 0的平方根是03、 负数没有平方根讨论：平方根与算术平方根之间有什么关系？总结：1、平方根与算术平方根之间的区别定义不同：如果，那么叫做的平方根。一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，是0本身；负数没有平方根。如果，并且，那么叫做的算术平方根。一个正数的算术平方根只有一个，非负数的算术平方根一定是非负数表示方法不同：正数的平方根表示为；正数的算术平方根为平方根等于本身的数是0；算术平方根等于本身的数是0或12、平方根与算术平方根之间的联系 二者有着包含关系：平方根中包含算术平方根，算术平方根是平方根中的非负的那一个存在条件相同，非负数才有平方根和算术平方根0的平方根和0的算术平方根都是0应用迁移，巩固提高例1 说出下列各数的平方根0.04 例2 说出下列各数的平方根各是什么？64 0 点评：要从根本之处理解一个数的平方根的运算，从平方根的概念入手，同时要知道，只有非负数才有平方根例3 计算