自然数平方和公式的推导与证明.doc

※自然数之和公式的推导
法计算1，2，3，…，n，…的前n项的和：
由   1   +   2   + … + n-1   +  n
     n   +  n-1  + … +  2    +  1   
  （n+1）+（n+1）+ … +（n+1）+（n+1）
可知
上面这种加法叫“倒序相加法”
※等差数列求和公式的推导
　　一般地，称为数列的前n项的和，用表示，即
　　1、  思考：受高斯的启示，我们这里可以用什么方法去求和呢？
思考后知道，也可以用“倒序相加法”进行求和。
我们用两种方法表示：
   ①
②
由①+②，得  

    由此得到等差数列的前n项和的公式
对于这个公式，我们知道：只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求等差数列前n项和了。
　　2、  除此之外，等差数列还有其他方法（读基础教好学生要介绍）
当然，对于等差数列求和公式的推导，也可以有其他的推导途径。例如：

   =
                       =
                       =
                       =
　　这两个公式是可以相互转化的。把代入中，就可以得到
引导学生思考这两个公式的结构特征得到：第一个公式反映了等差数列的任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质。第二个公式反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于n的“二次函数”，可以与二次函数进行比较。这两个公式的共同点都是知道和n，不同点是第一个公式还需知道，而第二个公式是要知道d，解题时还需要根据已知条件决定选用哪个公式。

自然数平方和公式的推导与证明（一）
12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6，在高中数学中是用数学归纳法证明的一个命题，没有给出其直接的推导过程。其实，该求和公式的直接推导并不复杂，也没有超出初中数学内容。
   一、 设：S=12+22+32+…+n2
另设：S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2，此步设题是解题的关键，一般人不会这么去设想。有了此步设题，
第一：S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2中的12+22+32+…+n2=S，(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以展开为(n2+2n+12)+( n2+2×2n+22) +( n2+2×3n+32)+…+( n2+2×nn+n2)=n3+2n(1+2+3+…+n)+ 12+22+32+…+n2，即
S1=2S+n3+2n(1+2+3+…+n)………………………………………………..(1)
第二：S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以写为：
S1=12+32+52…+ (2n-1)2+22+42+62…+(2n)2，其中：
22+42+62…+(2n)2=22(12+22+32+…+n2)=4S……………………………………..(2)
12+32+52…+(2n-1)2=(2×1-1)2+(2×2-1)2+(2×3-1) 2+…+ (2n-1) 2
= (22×12-2×2×1+1) +(22×22-2×2×2+1)2+(22×32-2×2×3+1)2+…+ (22×n2-2×2×n+1)2
=22×12+22×22+22×32+…+22×n2-2×2×1-2×2×2-2×2×3-…-2×2×n+n
=22×(12+22+32+…+n2)-2×2 (1+2+3+…+n)+n
=4S-4(1+2+3+…+n)+n……………………………………………………………..(3)
由(2)+ (3)得：S1=8S-4(1+2+3+…+n)+n…………………………………………..(4)
由(1)与(4)得：2S+ n3+2n(1+2+3+…+n) =8S-4(1+2+3+…+n)+n
即：6S= n3+2n(1+2+3+…+n)+ 4(1+2+3+…+n)-n
      = n[n2+n(1+n)+2(1+n)-1]
      = n(2n2+3n+1)
      = n(n+1)(2n+1)
   S= n(n+1)(2n+1)/ 6
亦即：S=12+22+32+…+n2= n(n+1)(2n+1)/6……………………………………(5)
以上可得各自然数平方和公式为n(n+1)(2n+1)/6，其中n为最后一位自然数。
由(5)代入(2)得自然数偶数平方和公式为2n(n+1)(2n+1)/3，其中2n为最后一位自然数。
由(5)代入(3)得自然数奇数平方和公式为n(2n-1)(2n+1)/3，其中2n-1为最后一位自然数。
二、由自然数平方和公式推导自然数立方和公式
设S=13+23+33+…+n3……………………………………………………….(1)
有S=n3+(n-1)3+(n-2)3+…+13……………………………………………...(2)
由(1)+ (2)得：2S=n3+13+(n-1)3+23+(n-2)3+33+…+n3+13
                =(n+1)(n2-n+1)
                    +
               (n+1)[(n-1)2-2(n-1)+22)
                    +
               (n+1)[(n-2)2-3(n-2)+32)

                    +
                    .
                    .
                    .
                    +
               (n+1)(12-n(n-n+1)(n-n+1+ n2)
即2S=( n+1)[2(12+22+32+…+n2)-n-2(n-1) -3(n-2)-…-n (n-n+1)] ………………...(3)
由12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/ 6代入(2)得：
2S=(n+1)[2n(n+ 1)(2n+1)/6-n-2n-3n-…nn+2×1+3×2+…+n(n-1)]
  =(n+1)[2n(n+1)(2n+1)/6-n(1+2+3+…n)+(1+1)×1+(2+1)×2+…+(n-1+1)(n-1)]
  =(n+1)[2n(n+1)(2n+1)/6-n2 (1+n)/2+12+1+22+2+…+(n-1)2+ (n-1)]
  =(n+1)[2n(n+1)(2n+1)/6-n2(1+n)/2+12+22+…+(n-1)2+1 +2+…+ (n-1)] ……...(4)
由12+22+…+(n-1)2= n(n+1)(2n+1)/6-n 2，1+2+…+(n-1)=n(n-1)/2代入(4)得
   2S=(n+1)[3n(n+1)(2n+1)/6-n2+n(n-1)/2
     =n2(n+1)2/2
即S=13+23+33+…+n3= n2(n+1)2/4
结论：自然数的立方和公式为n2(n+1)2/4，其中n为自然数。
三、自然数偶数立方和公式推导
设S=23+43+63+…+(2n)3
有S=23(13+23+33+…+n3)=8n2(n+1)2/4=2n2(n+1) 2
结论：自然数偶数的立方和公式为2n2(n+1)2，其中2n为最后一位自然偶数。
四、自然数奇数立方和公式推导
设S=13+23+33+…+(2n) 3
由自然数的立方和公式为n2n+1)2/4，其中n为自然数代入左边
有n2(2n+1)2=23+43+63+…+(2n) 3+13+33+53…+(2n-1)3
                 =2n2(n+1)2+13+33+53…+(2n-1)3
移项得：13+33+53…+(2n-1)3 =n2(2n+1)2-2n2(n+1)2
                                     =n2(2n2-1)
结论：自然数奇数的立方和公式为n2(2n2-1)，其中2n-1为最后一位自然奇数，即n的取值。
自然数平方和公式的推导与证明（二）
这里的自然数指的是不包含0的传统自然数。
1^2+2^2+3^2+4^2+.......n^2=? （n^2表示n×n＝n2为了好打字）
一、推导
1、直接推导：
1+2+3+4+……+n=(1+n)*n/2
       +          +
  2+3+4+……+n=(2+n)*(n-1)/2
       +          +
    3+4+……+n=(3+n)*(n-2)/2
       +          +
       .          .
       .          .
  (i+1)+……+n=(n+i+1)*(n-i)/2    (i=0,……,n-1)
       ||         ||
       S   =   (2*n^3+3*n^2+n-2S)/4
两边求一下得所求S
此法较为直观正规
2、用其他的公式推导：
容易证明1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 +...+ nx(n+1)=1/3xn(n+1)(n+2)(数学归纳法易证，而左式可写成
1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 + nx(n+1)=(1x1 + 2x2 + ... +  nxn)+(1+2+...+n)
于是
1x1 + 2x2 + ... +  nxn=1/3xn(n+1)(n+2)-1/2xn(n+1)=1/6xn(n+1)(2n+1)
3、二项式推导：
2^3=1^3+3*1^2+3*1+1
3^3=2^3+3*2^2+3*2+1
4^3=3^3+3*3^2+3*3+1
.......
(n+1)^3=n^3+3*n^2+3^n+1

sum up both sides substract common terms:
(n+1)^3=3*b+3*(n+1)*n/2+n+1==> solve for b
b=1^2+2^2+...+n^2
此法需要较强的基本功，属奥妙之作
4、立方差公式推导（此法高中生都能看懂吧）

5、用现成恒等式推导

二、证明
1、数学归纳法
1^2+2^2+3^2……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
当n=1时,显然成立.
设n=k时也成立,即:
1^2+2^2+3^2+……+k^2=k(k+1)(2k+1)/6
那么当n=k+1时,等式的左边等于:
1^2+2^2+3^2+……+k^2+(k+1)^2
=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)^2
=(k+1)[k(2k+1)/6+(k+1)]
=(k+1)[2k^2+k+6k+6]/6
=(k+1)(k+2)(2k+3)/6
而等式的右边等于:(当n=k+1时)
(k+1)(k+1+1)(2k+2+1)/6
=(k+1)(k+2)(2k+3)/6
即当n=k+1时,等式左边等于等式的右边
所以对于一切n,等式都成立
此法给初中和小学生讲是没法了，现在的教育之痛，用某小学老师的话来说，小学生的题是出给家长作的，呜～，砖家当道啊，有没有满足他们拔苗助长嗜好的奥数方法呢
2、图形法
计算12＋22＋32＋42。
根据平方的含义和乘法的含义，我们可以将这个算式改写：12=1×1=1、22=2×2=2＋2、32=3×3=3＋3＋3、42=4×4=4＋4＋4＋4，则12＋22＋32＋42=1＋2＋2＋3＋3＋3＋4＋4＋4＋4。把这10个加数排写在一个三角形内（图1），计算这个算式的和，就是计算这个三角形内所有数的和。（其实学生如果会算自然数n项和，下面的说明就可省了，不过想个个学生成高斯，结果个个搞死了，呵呵）

我们对图1进行两次“复制”，得到两个和图1完全相同的三角形，把其中一个逆时针旋转60°得到图2，另一个顺时针旋转60°得到图3。

先把图2和图3重合，得到图4。图4中，重合的两个图形相对应位置的两个数相加，它们的和有什么规律呢？我们发现，从上往下看，第一行两个数的和是8，第二行两个数的和都是7，第三行两个数的和都是6，第四行两个数的和都是5。再把图4和图1重合，得到图5。

从 图中可以看出，每个圆圈中都有三个数，这三个数的和都是9，9=2×4＋1。而10=1＋2＋3＋4=(1＋4)×4÷2。图5中所有数的和应是图1中所 有数的和的3倍，所以图1中所有数的和=9×10÷3=（2×4＋1）×(1＋4)×4÷2÷3=4× (1＋4)×（2×4＋1）×1/6。即12＋22＋32＋42=4× (1＋4)×（2×4＋1）×1/6。
观察这个算式，用同样的思考方法，我们可推出这样的结论：
12＋22＋32＋42＋……＋n2=n× (1＋n)×（2×n＋1）×1/6
这个不是证明的过程对小学生来说算是证明吧。