平面向量.doc

平面向量（一）
(时间：45分钟　满分：100分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)
1．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2＋＋＝0，那么 (　　)
A． ＝ B．＝2 C．＝3 D．2＝
解析 A　由题意可得＋＝2，又2＋＋＝0，得＋＝－2，所以2＝－2，即＝.
2．已知向量a、b且＝a＋b，＝2a－3b，＝2a＋7b，则一定共线的三点是 (　　)
A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D
解析 A　∵＝a＋b，＝2a－3b，＝2a＋7b，∴A＝＋＋＝5a＋5b＝5，∴∥A，故A、B、D三点共线．
3．给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；
③λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中错误命题的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
解析 C　①错，两向量共线要看其方向，而不是起点与终点；②对，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小；③错，当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0；④错，当λ＝μ＝0时，λa＝μb，此时，a与b可以是任意向量．
4．(2013·皖南八校联考)对于非零向量ab，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 A　若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b.若a∥b，则a＝λb，a＋b＝0不一定成立，故选A.
5．(2013·郑州模拟)在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，则＝ (　　)
A.b＋c B.c－b C.b－c D.b＋c
解析 A　画图易知＝－＝b－c，＝＝(b－c)，∴＝＋＝c＋(b－c)＝b＋c.
6．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝ (　　)
A. B. C．－ D．－
解析 A　由＝2，得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，结合＝＋λ，知λ＝.
二、填空题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
7．如图所示，在平行四边形ABCD中，下列结论中正确的是 ．
①＝； ②＋＝A； ③－＝； ④＋＝0.
解析 ①显然正确；由平行四边形法则知②正确；－＝D，故③不正确；＋＝＋＝0，故④正确．【答案】 ①②④
8．设四边形ABCD中，有＝，且||＝||，则这个四边形是 ．
解析 由＝知四边形ABCD是梯形，又||＝||，所以四边形ABCD是等腰梯形．
【答案】 等腰梯形
9．在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝ (用a，b表示)．
解析 由＝3得4＝3＝3(a＋b)，＝a＋b，所以＝(a＋b)－＝－a＋b.【答案】 －a＋b
三、解答题(本大题共3小题，共40分)
10．(12分)在正六边形ABCDEF中，＝a，＝b，求，，.
解析 如图所示，连结FC交AD于点O，连结BE、EC，由平面几何知识得四边形ABOF及四边形ABCO均为平行四边形．根据向量的平行四边形法则，有＝＋＝a＋b.在▱ABCO中，＝＋＝a＋a＋b＝2a＋b，故＝2＝2a＋2b.而＝＝＝a＋b，由三角形法则得＝＋＝b＋a＋b＝a＋2b.
11.(12分)如图，▱OADB的对角线OD、AB相交于点C，线段BC上有一点M满足BC＝3BM，线段CD上有一点N满足CD＝3CN，设＝a，＝b，试用a，b表示，， .
解析 ∵BM＝BC＝BA，∴＝B＝(－)＝(a－b)，∴＝＋＝b＋(a－b)＝a＋b.∵CN＝CD，∴ON＝CD＝OD，∴＝＝(＋)＝(a＋b)．∴M＝O－O＝(a＋b)－＝a－b.
12．(16分)(2013·成都模拟)设两个非零向量a与b不共线．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
解析 (1)∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，
∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5.∴、共线，又它们有公共点，∴A、B、D三点共线．
(2)∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb.∵a、b是不共线的两个非零向量，∴∴k＝±1.
平面向量（二）
(时间：45分钟　满分：100分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)
1．设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b＝ (　　)
A．(6,3)　　　B．(7,3) C．(2,1)　　　 D．(7,2)
解析 B　a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)．
2．已知向量a＝(4,2)，b＝(x,3)，且a∥b，则x等于 (　　)
A．9 B．6 C．5 D．3
解析 B　由a∥b的充要条件得4×3－2x＝0，∴x＝6.
3．(2013·兰州模拟)若已知e1、e2是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是 (　　)
A．e1与－e2 B．3e1与2e2 C．e1＋e2与e1－e2 D．e1与2e1
解析 D　e1与2e1共线，故不能作为基底．
4．已知a＝(－1，－2)，b＝(2，－3)，当ka＋b与a＋2b平行时，k的值为(　　)
A. B．－ C．－ D.
解析 D　由a＝－1，－2)，b＝(2，－3)得，ka＋b＝(2－k，－3－2k)，a＋2b＝(3，－8)．
∵(ka＋b)∥(a＋2b)，∴(2－k)×(－8)－(－3－2k)×3＝0，解得k＝.
5．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且＝2，则顶点D的坐标为(　　)
A. B. C．(3,2) D．(1,3)
解析 A　设D(x，y)，则由已知可得＝(3,1)－(－1，－2)＝(4,3)，＝(x，y)－(0,2)＝(x，y－2)，
又＝2，∴(4,3)＝2(x，y－2)，即解得，∴D.
6．(2013·山东调研)已知▱ABCD，点P为四边形内部或者边界上任意一点，向量＝x＋y，则0≤x≤，0≤y≤的概率是(　　)
A. B. C. D.
解析 A　根据平面向量基本定理，点P只要在如图所示的阴影区域AB1C1D内即可，这个区域的面积是整个四边形面积的×＝，故所求的概率是.
二、填空题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
7．已知e1＝(1,3)，e2＝(1,1)，e3＝(x，－1)，且e3＝2e1＋λe2(λ∈R)，则实数x的值是 ．
解析 e3＝2e1＋λe2＝(2＋λ，6＋λ)，∴λ＝－7，x＝－5.【答案】 －5
8．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若点A、B、C能构成三角形，则实数m应满足的条件是 ．
解析 A、B、C能构成三角形，则A、B、C三点不共线，而A、B、C三点共线时，有＝λ，即(m，m＋1)＝λ(1,2)，∴解得m＝1.∴A、B、C三点不共线时，m≠1.【答案】 m≠1
9．设向量a，b满足|a|＝2，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为 ．
解析 由题意可设a＝(－2x，－x)，(x>0)，又|a|＝2，∴4x2＋x2＝20，则x＝2，故a＝(－4，－2)．【答案】 (－4，－2)
三、解答题(本大题共3小题，共40分)
10.(12分)如图，四边形ABCD中，AC＝6，AB＝2，AD＝1，∠BAC＝30°，AD⊥AC，以向量和为基底，表示向量.
解析 如图，过点C作AD的平行线交AB的延长线于B1，作AB的平行线交AD的延长线于D1，在Rt△ACB1中，∵AC＝6，∠B1AC＝30°，∴AB1＝4.∴1＝2 A.在Rt△ACD1中，AD1＝2，∴1＝2 .∴＝1＋1＝2 ＋2 .
11．(12分)已知向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．
(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.
解析 (1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，所以解得
(2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)2b－a＝(－5,2)，∵(a＋kc)∥(2b－a)，∴2×(3＋4k)－(－5)(2＋k)＝0，∴k＝－.
12．(16分)已知O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及＝＋t，求：
(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？
(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．
解析 (1)＝＋t＝(1＋3t,2＋3t)．若P在x轴上，则2＋3t＝0，∴t＝－；若P在y轴上，只需1＋3t＝0，∴t＝－；若P在第二象限，则∴－P不能成为平行四边形．
平面向量（三）
(时间：45分钟　满分：100分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)
1．设非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，则a与a＋b的夹角为 (　　)
A．30° B.60° C．90° D.120°
解析 B　由三角形法则可知，a，b，a＋b可构成正三角形，故夹角为60°.
2．设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝ (　　)
A．(－15,12) B.0 C．－3 D.－11
解析 C　(a＋2b)·c＝(－5,6)·(3,2)＝－3.
3．(2013·绵阳模拟)已知向量a＝(1,2)，b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，则实数x的值为 (　　)
A．－7 B.9 C．4 D.－4
解析 B　因为a－b＝(1－x,4)，所以a·(a－b)＝1－x＋8＝0，解得x＝9.
4．已知向量a＝(1,1)，b＝(2，n)，若|a＋b|＝a·b，则n＝(　　)
A．－3 B.－1 C．1 D.3
解析 D　∵a＋b＝(3,1＋n)，∴|a＋b|＝.又∵a·b＝1×2＋1×n＝2＋n，∴＝2＋n，解得n＝3.
5．在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，设向量m＝(b－c，c－a)，n＝(b，c＋a)，若m⊥n，则角A的大小为 (　　)
A. B. C. D.
解析 B　∵m⊥n，∴m·n＝0，即(b－c)b＋(c－a)(c＋a)＝0，b2－bc＋c2－a2＝0，∴cos A＝＝＝，∴A＝.
6．△ABC内有一点O，满足＋＋＝0，且·＝·，则△ABC一定是 (　　)
A．钝角三角形 B.直角三角形 C．等边三角形 D.等腰三角形
解析 D　∵＋＋＝0，∴O为重心，∵·＝·，∴·＝0，即OB⊥AC，∴BA＝BC，故△ABC是等腰三角形．
二、填空题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
7．若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则a·b＋b·b的值为________．
解析 a·b＋b·b＝|a||b|cos 60°＋|b|2＝1×2×＋4＝5.【答案】 5
8．(2011·江苏高考)已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2.若a·b＝0，则实数k的值为________．
解析 由题意知：a·b＝(e1－2e2)(ke1＋e2)＝0，即ke＋e1e2－2ke1e2－2e＝0，即k＋cos－2kcos－2＝0，化简可求得k＝.【答案】
9．在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝2，则·(＋)的最小值为________．
解析 如图所示，设AO＝x，OM＝2－x，所以·(＋)＝·2＝－2x(2－x)＝2x2－4x＝2(x－1)2－2，故当x＝1时，·(＋)取最小值－2.【答案】 －2
三、解答题(本大题共3小题，共40分)
10．(12分)(2013·杭州模拟)已知平面内A、B、C三点在同一条直线上，＝(－2，m)，＝(n,1)，＝(5，－1)，且⊥，求实数m、n的值．
解析 由于A、B、C三点在同一条直线上，则∥，而＝－＝(7，－1－m)，
＝－＝(n＋2，1－m)，∴7(1－m)－(－1－m)(n＋2)＝0，即mn＋n－5m＋9＝0， ①又∵⊥，∴－2n＋m＝0. ②
联立①②，解得或
11．(12分)已知a、b、c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．
(1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标；(2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.
解析 (1)设c＝(x，y)，由c∥a和|c|＝2可得∴或∴c＝(2,4)或c＝(－2，－4)．
(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，即2a2＋3a·b－2b2＝0.∴2|a|2＋3a·b－2|b|2＝0,2×5＋3a·b－2×＝0，∴a·b＝－，∴cos θ＝＝＝－1，∵θ∈[0，π]，∴θ＝π.
12．(16分)已知|a|＝，|b|＝1，a与b的夹角为45°，求使向量(2a＋λb)与(λa－3b)的夹角是锐角的λ的取值范围．
解析 由|a|＝，|b|＝1，a与b的夹角为45°，则a·b＝|a||b|cos 45°＝×1×＝1，而(2a＋λb)·(λa－3b)＝2λa2－6a·b＋λ2a·b－3λb2＝λ2＋λ－6.设向量(2a＋λb)与(λa－3b)的夹角为θ，则cos θ＝>0，且cos θ≠1，
∴(2a＋λb)·(λa－3b)>0，得λ2＋λ－6>0，∴λ>2或λ<－3.假设cos θ＝1，则2a＋λb＝k(λa－3b)(k>0)，
∴解得k2＝－，k不存在．故使向量2a＋λb和λa－3b夹角为0的λ不存在．∴当λ>2或λ<－3时，向量(2a＋λb)与(λa－3b)的夹角是锐角．
平面向量（四）
(时间：45分钟　满分：100分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)
1．(2013·武汉质检)已知P是△ABC所在平面内一点，若＝λ＋，其中λ∈R，则点P一定在(　　)
A．△ABC的内部 B.AC边所在直线上 C．AB边所在直线上 D.BC边所在直线上
解析 B　由题意知：－＝λ，即＋＝λ，∴＝λ，即与共线，
∴点P在AC边所在直线上．
2．△ABC的三个内角成等差数列，且(＋)·＝0，则△ABC一定是(　　)
A．等腰直角三角形 B.非等腰直角三角形 C．等边三角形 D.钝角三角形
解析 C　在△ABC中，BC边的中线又是BC边的高，故△ABC为等腰三角形，又△ABC的三个内角成等差数列，所以等腰△ABC的一角为，所以△ABC一定为等边三角形．
3．河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为(　　)
A．10 m/s B.2 m/s C．4 m/s D.12 m/s
解析 B　如图所示，小船在静水中的速度为＝2 m/s.
4．(2013·济南模拟)已知点A(－2,0)、B(3,0)，动点P(x，y)满足·＝x2，则点P的轨迹是 (　　)
A．圆 B.椭圆 C．双曲线 D.抛物线
解析 D　＝(－2－x，－y)，＝(3－x，－y)，∴·＝(－2－x，－y)·(3－x，－y)＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2.即y2＝x＋6.
5．已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上，满足2＋＋＝0(其中O为坐标原点)，又||＝||，则向量在向量方向上的投影为 (　　)
A．1 B.－1 C. D.－
解析 C　由2＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝0得，＝－，即O，B，C三点共线．又||＝||＝1，故向量在向量方向上的投影为||cos＝.
6．已知圆O的半径为a，A，B是其圆周上的两个三等分点，则·等于
(　　)
A.a2 B.－a2 C.a2 D－a2
解析 B　∵||＝a，||＝a，〈，〉＝，∴·＝||·||·cos
＝a×a×＝－a2.
二、填空题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
7．已知向量a＝(sin θ，1)，b＝(1，cos θ)，则a·b的最大值为________．
解析 a·b＝sin θ＋cos θ＝2sin≤2.【答案】 2
8．若||＝2，||＝3，|＋|＝，则∠CAB＝________.
解析 |＋|2＝2＋2·＋2＝4＋2·＋9＝19，∴·＝3，cos ∠CAB＝＝＝，∴∠CAB＝60°.【答案】 60°
9．(2013·南京模拟)已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为.以a，b为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为________．
解析 ∵|a＋b|2－|a－b|2＝4a·b＝4|a||b|·cos＝4>0，∴|a＋b|>|a－b|.又|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝3，∴|a－b|＝.【答案】
三、解答题(本大题共3小题，共40分)
10．(12分)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D为BC的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB.求证：AD⊥CE.
解析 方法一：·＝·＝－||2＋·＋·＋·
＝－||2＋||||cos 90°＋||2cos 45°＋||2cos 45°＝－||2＋||2＝0，∴⊥，即AD⊥CE.
方法二：建立如图所示的直角坐标系，设A(a,0)，则B(0，a)，E(x，y)．
∵D是BC的中点，∴D.又∵＝2，即(x－a，y)＝2(－x，a－y)，
∴解得∵＝－(a,0)＝，＝＝，
∴·＝－a×＋a×＝0.∴⊥，即AD⊥CE.
11．(12分)已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4及点A(1,1)，M是C上的任意一点，点N在线段MA的延长线上，且＝2，求点N的轨迹方程．
解析 设M(x0，y0)、N(x，y)．由＝2得(1－x0,1－y0)＝2(x－1，y－1)，
∴∵点M(x0，y0)在C上，∴(x0－3)2＋(y0－3)2＝4，即(3－2x－3)2＋(3－2y－3)2＝4.∴x2＋y2＝1.∴所求点N的轨迹方程是x2＋y2＝1.
12．(16分)已知长方形ABCD，AB＝3，BC＝2，E为BC中点，P为AB上一点．
(1)利用向量知识判定点P在什么位置，∠PED＝45°；(2)若∠PED＝45°，求证：P、D、C、E四点共圆．
解析 (1)如图，建立平面直角坐标系，则C(2,0)，D(2,3)，E(1,0)，
设P(0，y)，∴＝(1,3)，＝(－1，y)(y>0)，∴||＝，||＝，·＝3y－1，代入cos 45°＝，解得y＝2.∴点P在靠近点A的AB的三等分处．
(2)当∠PED＝45°时由(1)知P(0,2)，∴＝(2,1)，＝(－1,2)，∴·＝0，∴∠DPE＝90°，又∠DCE＝90°，∴D、P、E、C四点共圆．
平面向量（五）
(时间：45分钟　满分：100分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)
1．(2013·济南模拟)复数(i是虚数单位)的实部是 (　　)
A. B.－ C. D.－
解析 A　＝＝＝－i，∴复数的实部是.
2．复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为 (　　)
A．第一象限 B.第二象限 C．第三象限 D.第四象限
解析 D　z＝＝，故选D.
3．已知＝b＋i(a，b∈R)其中i为虚数单位，则a＋b等于(　　)
A．－1 B.1 C．2 D.3
解析 B　∵＝b＋i，∴a＋2i＝－1＋bi.∴a＝－1，b＝2.∴a＋b＝1.
4．(2012·广东高考)设i为虚数单位，则复数＝(　　)
A．6＋5i B.6－5i C．－6＋5i D.－6－5i
解析 D　＝＝＝－6－5i.
5．i为虚数单位，则＝(　　)

A．－i B.－1 C． D.1
解析 C　∵＝＝i，∴＝i2 013＝i.
6．设z的共轭复数是，若z＋＝4，z·＝8，则＝ (　　)
A． B.－i C．±1 D.±i
解析 D　设z＝a＋bi(a，b∈R)，∵z＋＝2a＝4，∴a＝2，又∵z·＝a2＋b2＝8，∴b＝±2，∴＝±i.
二、填空题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
7．(2012·湖南高考)已知复数z＝(3＋i)2(i为虚数单位)，则|z|＝________.解析 ∵z＝(3＋i)2＝8＋6i，∴|z|＝＝10.【答案】 10
8．(2013·贵阳模拟)已知复数z满足|z|＝5，且(3－4i)z是纯虚数，则＝________.
解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，∵(3－4i)z＝(3－4i)(a＋bi)＝3a＋4b＋(3b－4a)i为纯虚数，∴又a2＋b2＝25，解得或∴z＝－4＋3i或z＝4－3i，∴＝－4－3i或＝4＋3i.【答案】 －4－3i或4＋3i
9．1＋i＋i2＋i3＋…＋i2 011＝________.解析 1＋i＋i2＋…＋i2 011＝＝0.【答案】 0
三、解答题(本大题共3小题，共40分)
10．(12分)计算：(1)；(2)；(3)＋.
解析 (1)＝＝＝(－3＋i)i＝－1－3i.
(2)＝＝＝＝＋i.
(3)∵＝＝i，∴＝i6＝－1.又＝＝i，∴＋＝－1＋i.
11．(12分)已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，z1·z2是实数，求z2.
解析 (z1－2)(1＋i)＝1－i⇒z1＝2－i，设z2＝a＋2i，a∈R，则z1z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.∵z1z2∈R，∴4－a＝0，∴a＝4，∴z2＝4＋2i.
12．(16分)若复数z满足|z－3|≤，求|z－(1＋4i)|的最大值和最小值．
解析 |z－3|≤表示以(3,0)为圆心，为半径的圆及其内部的点，|z－(1＋4i)|表示上述点到(1,4)的距离，而(1,4)、(3,0)两点之间的距离为＝2，∴|z－(1＋4i)|max＝2＋＝3，|z－(1＋4i)|min＝2－＝.

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