1、《2.2.2 圆的参数方程》导学案2
学习目标
1.能用曲线的参数方程去研究曲线的性质．
2.会用参数法解决圆锥曲线中的最值、定值等问题.
知识梳理
1．圆的参数方程
圆的参数方程的常见形式为(α为参数)．其中，参数α的几何意义是以圆心A(a，b)为顶点，且与x轴同向的射线按逆时针方向旋转到圆上一点P所在半径成的角．
思考探究
1．椭圆的参数方程与圆的参数方程有什么区别和联系？
【提示】 椭圆＋＝1(a＞b＞0)和圆x2＋y2＝r2普通方程都是平方和等于1的形式，故参数方程都运用了三角代换法，只是参数方程的常数不同．
学习过程
例题精解
例题1 在圆x2＋2x＋
2、y2＝0上求一点，使它到直线2x＋3y－5＝0的距离最大．
【自主解答】 圆的方程x2＋2x＋y2＝0可化为(x＋1)2＋y2＝1，所以设圆的参数方程为
设P(－1＋cos θ，sin θ)，则点P到直线2x＋3y－5＝0的距离为
d＝
＝
＝(其中sin α＝，
cos α＝)．
当sin(θ＋α)＝－1，θ＋α＝，
即θ＝－α时，d取到最大值，此时x＝－1＋cos θ＝－1－，y＝sin θ＝－，
即点P(－1－，－)即为所求．
例题2已知点P(x，y)在圆x2＋y2＝1上，求x2＋2xy＋3y2的最大值和最小值．
【解】 圆x2＋y2＝1的参数方程为(α为参
3、数)．
∴x2＋2xy＋3y2＝cos2α＋2cos αsin α＋3sin2α
＝＋sin 2α＋3×
＝2＋sin 2α－cos 2α＝2＋sin(2α－)．
则当α＝kπ＋(k∈Z)时，x2＋2xy＋3y2取最大值为2＋，
当α＝kπ－(k∈Z)时，x2＋2xy＋3y2取最小值为2－.
课堂作业
1．已知圆的方程为x2＋y2＝4x，则它的参数方程是
________．
【解析】 x2＋y2＝4x可化为(x－2)2＋y2＝4，
∴圆心为(2,0)，半径r＝2.
∴参数方程为(θ为参数，0≤θ＜2π)．
【答案】 (θ为参数，0≤θ＜2π)
2．点P(x，y
4、)在圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上运动，则3x＋4y的最大值为________，的最小值为________．
【解析】 设x＝1＋cos θ，y＝1＋sin θ，
所以3x＋4y＝7＋3cos θ＋4sin θ＝7＋5sin(θ＋α)(其中sin α＝，cos α＝)，
所以当sin(θ＋α)＝1时，3x＋4y取到最大值12.
设t＝＝，则sin θ－tcos θ＝t－1，
从而sin(θ－α)＝t－1(其中sin α＝，cos α＝)，＝sin(θ－α)，
所以≤1，解得t≥0，即的最小值为0.
【答案】 12 0
课后检测
1．当x2＋y2＝4时，求u＝x2＋
5、2xy－y2的最值．
【解】 设(0≤θ<2π)，于是
u＝x2＋2xy－y2
＝4cos2θ＋8cos θsin θ－4sin2θ
＝4cos 2θ＋4sin 2θ
＝8sin(2θ＋)．
所以，当θ＝，x＝，y＝1时，或θ＝，x＝－，y＝－1时，umax＝8；
当θ＝，x＝－1，y＝时，或θ＝，x＝1，y＝－时，umin＝－8.
2．若x，y满足(x－1)2＋(y＋2)2＝4，求2x＋y的最值．
【解】 令x－1＝2cos θ，y＋2＝2sin θ，则有
x＝2cos θ＋1，y＝2sin θ－2，
故2x＋y＝4cos θ＋2＋2sin θ－2
＝4cos θ＋2
6、sin θ＝2sin(θ＋φ)(tan φ＝2)．
∴－2≤2x＋y≤2.
即2x＋y的最大值为2，最小值为－2.
3．过点P(－3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线(t为参数)相交于A、B两点．求线段AB的长．
【解】 直线的参数方程为(s为参数)，
曲线(t为参数)可以化为
x2－y2＝4.
将直线的参数方程代入上式，得
s2－6s＋10＝0.
设A、B对应的参数分别为s1，s2，
∴s1＋s2＝6，s1s2＝10.
AB＝|s1－s2|＝＝2.
4．已知直线C1：(t为参数)，圆C2：(θ为参数)，
(1)当α＝时，求C1与C2的交点坐标；
(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点，当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．
【解】 (1)当α＝时，C1的普通方程为y＝(x－1)，C2的普通方程为x2＋y2＝1.
联立方程组解得C1与C2的交点为(1,0)，(，－)．
(2)C1的普通方程为xsin α－ycos α－sin α＝0.
A点坐标为(sin2α，－cos αsin α)，故当α变化时，P点轨迹的参数方程为
(α为参数)，
P点轨迹的普通方程为(x－)2＋y2＝，
故P点的轨迹是圆心为(，0)，半径为的圆．
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