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期数 0511 SXG3 048
学科：理科数学 年级：高三 编稿老师：毕 伟
审稿老师：杨志勇
[同步教学信息]
预 习 篇
预习篇三十五 高三理科数学总复习十二
2、 ——反函数
【考试大纲的要求】
了解反函数的概念及互为反函数的图像间的关系，会求一些简单函数的反函数．
【基础知识概要】
一、反函数的概念
一般地，式子y=f(x)表示y是自变量x的函数，设它的定义域为A，值域为C，我们从式子y=f(x)中解出x，得到式子x=(y). 如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x=(y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x=就表示x是自变量y的函数，这样的函数x=叫做函数y=f(x)的反函数，记作x=，即
x==.
从反函数的概念可知，如果函数y = f(x)有反函数，那么函数y = f(x
3、)也是其反函数的反函数，即它们互为反函数.
二、互为反函数的函数图象之间的关系
（1）互为反函数的两个函数具有相同的单调性，它们的图像关于直线y=x对称.
（2）奇函数的反函数也是奇函数.
（3）反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，反函数的定义域不能由其解析式来求，而应该是原函数的值域．
【典型例题解析】
例1函数的反函数是（ ）
A． B．
C． D．
解：∵，∴，∴，即
由得，，即．
∵，∴，∴原函数的反函数为．
评析：求函数的反函数的程序是：①求原函数的值域；②由解出得； ③将与互换得，并注明其
4、定义域．
例2 求函数的反函数.
解：（1）时，由，得 当，即时，
（2）时，由，得
∵，∴，得
由（1），（2）可知，所求的反函数为
评析：求分段函数的反函数应在每一段求得函数的反函数．
例3 设函数的反函数为，则（ ）
A．2 B．-2 C．3 D．-1
解：令，则点（a,10）在函数的图像上，互为反函数的图像关于直线y=x对称．所以，点（10，a）在函数的图像上，故，解得．
故选A．
评析：函数与反函数的关系实质上是自变量与因变量的地位的互换，即原函数的自变量和因变量分别是其反函数的因变量和
5、自变量，本题就是利用这个地位互换的关系，由得出而求解的．
例4设函数是函数的反函数，则使的取值范围是 ．
解法一：由得．
∵，∴，即，解得．
故所求取值范围是．
解法二：∵反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，
∴求的取值范围转化为求函数在的值域．
∵，∴函数在为增函数，
∴函数在的值域为．
故所求取值范围是．
【强化训练】
同步落实[※级]
一、选择题
1．函数的反函数是（ ）
(A) (B)
(C) (D)
2．在下列区间中，使不存在反函数的区间是（ ）
(A)
6、 (B)
(C) (D)
二、填空题
3．已知函数的反函数是它自身，= ；
4．已知函数，则 ；
同步检测[※※级]
一、选择题
1．函数的反函数的定义域是（ ）
(A) (B)
(C) (D)
2．已知点在函数的图象上，则下列各点中必在其反函数的图象上的点是（ ）
(A)
7、 (B)
(C) (D)
二、填空题
3．函数的值域为 .
4．已知，则= .
三、解答题
5．已知函数有反函数，且点既在的图象上，又在它的反函数的图象上，求a，b的值.
6．已知是R上的奇函数.
（1）求a的值；
（2）求的反函数；
（3）对任意给定的正数，解关于x的不等式.
参考答案
同步落实[※级]
一、1．C 2．B
二、3．0 4．
同步检测[※※级]
一、1．D 2．D
二、3． 4．
三、5．解：若点在的反函数的图象上，则点在的图象上，即有
解得
6．解：（1）∵是R上的奇函数，
∴，∴.
（2）当时，，设，则，
∴，，
∴，∴.
又，∴，∴=
（3）由得 ，
∴，而，∴且，
∴当时，得，此时原不等式的解集为；
当时，得，此时原不等式的解集为.
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