高考数学各地名校试题解析分类汇编（一）7立体文.doc

各地解析分类汇编:立体几何
1.【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试文】设是平面内两条不同的直线，是平面外的一条直线，则“，”是“”的( )
A.充要条件 B.充分而不必要的条件
C.必要而不充分的条件 D.既不充分也不必要的条件
【答案】C
【解析】若直线相交，则能推出，若直线不相交，则不能推出，所以“，”是“”的必要不充分条件，选C.
2 【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考文】已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为的正方形，主视图与左视图是边长为的正三角形，则其全面积是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知，该几何体为正四棱锥，底面边长为2，侧面斜高为2，所以底面积为，侧面积为，所以表面积为，选B.
3 【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考文】四面体中，则四面体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】分别取AB,CD的中点E,F，连结相应的线段，由条件可知，球心在上，可以证明为中点，
，,所以，球半径，所以外接球的表面积为，选A.
4 【山东省聊城市东阿一中2013届高三上学期期初考试 】设直线m、n和平面,下列四个命题中，正确的是 （ ）
A. 若 B. 若
C. 若 D. 若
【答案】D
【解析】因为选项A中，两条直线同时平行与同一个平面，则两直线的位置关系有三种，选项B中，只有Mm,n相交时成立，选项C中，只有m垂直于交线时成立，故选D
5 【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测 （文）】一个简单几何体的主视图，左视图如图所示，则其俯视图不可能为
①长方形；②直角三角形；③圆；④椭圆.其中正确的是
A.① B.② C.③ D.④
【答案】C
【解析当俯视图为圆时，由三视图可知为圆柱，此时主视图和左视图应该相同，所以俯视图不可能是圆，选C.
6 【云南省玉溪一中2013届高三第三次月考文】 已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（ ）

A．16 B．4 C．8 D．2
【答案】B
【解析】由三视图可知该几何体是三棱锥，且三棱锥的高为1，底面为一个直角三角形，由于底面斜边上的中线长为1，则底面的外接圆半径为1，顶点在底面上的投影落在底面外接圆的圆心上，由于顶点到底面的距离，与底面外接圆的半径相等则三棱锥的外接球半径R为1，则三棱锥的外接球表面积，选B.
7 【山东省兖州市2013届高三9月入学诊断检测 文】设是直线，a，β是两个不同的平面
A. 若∥a，∥β，则a∥β B. 若∥a，⊥β，则a⊥β
C. 若a⊥β，⊥a，则⊥β D. 若a⊥β, ∥a，则⊥β
【答案】B
【解析】根据线面垂直的判定和性质定理可知，选项B正确。
8 【山东省兖州市2013届高三9月入学诊断检测 文】某几何体的三视图如下图所示，它的体积为( )

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由三视图可知该组合体是半个球体和一个倒立圆锥体的组合体，球的半径为3，圆锥的底面半径为3，高为4，那么根据体积公式可得组合体的体积为，选C.
9 【云南省昆明一中2013届高三新课程第一次摸底测试文】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

A． B． C． D．32
【答案】B
【解析】根据三视图可知，这是一个四棱台，，，所以表面积为，选B.
10 【云南省昆明一中2013届高三新课程第一次摸底测试文】如图， 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，对角线B1D与平面
A1BC1相交于点E，则点E为△A1BC1的
A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心
【答案】D
【解析】如图，,所以,且为的中点，选D.
11 【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测 （文）】对于直线m，n和平面，有如下四个命题：
（1）若 （2）若
（3）若 （4）若
其中真命题的个数是
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】A
【解析】（1）错误。（2）当时，则不成立。（3）不正确。当有，又所以有，所以只有（4）正确。选A.
12 【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）文】一个几何体的三视图如图1所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积为正视图
1 1
1
侧视图
俯视图

A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】由三视图可知，此几何体为三棱锥，如图 ，其中正视图为，是边长为2的正三角形，，且，底面为等腰直角三角形，，所以体积为，故选B．
13 【天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考文】如图，是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图，则该几何体的体积是
A. 24 B. 12 C. 8 D. 4

【答案】B
【解析】由三视图可知，该几何体是有两个相同的直三棱柱构成，三棱柱的高为4，三棱柱的底面三角形为直角三角形，两直角边分别为，所以三角形的底面积为，所以三棱柱的体积为，所以该几何体的体积为，选B.
14 【山东省临沂市2013届高三上学期期中考试 数学文】某几何体的正视图和侧视图均如右图，则该几何体的俯视图不可能有是

【答案】D
【解析】因为该几何体的正视图和侧视图是相同的，而选项D的正视图和和侧视图不同。
15 【北京四中2013届高三上学期期中测验数学（文）】设为两个平面，为两条直线，且，有如下两个命题：
①若；②若. 那么（ ）
A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题
C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题
【答案】D
【解析】若，则或异面，所以①错误。同理②也错误，所以选D.
16 【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）文】．正三棱锥内接于球，且底面边长为，侧棱长为2，则球的表面积为 ．
【答案】
【解析】如图，设三棱锥的外接球球心为O，半径为r，BC=CD=BD=，AB=AC=AD=2，，M为正的中心，则DM=1，AM=，OA=OD=r，所以，解得，所以．
17 【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测 （文）】在正三棱锥S-ABC中，侧面SAB、侧面SAC、侧面SBC两两垂直，且侧棱，则正三棱锥外接球的表面积为____________.
【答案】
【解析】因为侧面SAB、侧面SAC、侧面SBC两两垂直，所以把正三棱锥补成一个正方体，则正方体的体对角线等于外接球的直径，正方体的体对角线长，设外接球的半径为，则，所以外接球的表面积为.
18 【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试文】某四面体的三视图如上图所示，该四面体四个面的面积中最大的是

【答案】10
【解析】由三视图还原几何体如下图，8,6,，10显然面积的最大值为10．该四面体四个面的面积中最大的是PAC，面积为10。
19 【山东省临沂市2013届高三上学期期中考试 数学文】如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=1，则四面体A—EFB的体积V等于 。
【答案】
【解析】连结BD交AC与O,则OA为四面体A—EFB的高且,,所以。
20 【北京四中2013届高三上学期期中测验数学文）】湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为12 cm，深2 cm的空穴，则该球的半径是______cm，表面积是______cm².
【答案】10，400π
【解析】设球的半径为r，画出球与水面的位置关系图，如图：
由勾股定理可知，，解得r =10.所以表面积为。
21 【北京四中2013届高三上学期期中测验数学（文）】某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是______.

【答案】
【解析】由三视图可知，该几何体为直三棱柱，所以体积为。
22 【北京四中2013届高三上学期期中测验数学（文）】（本小题满分13分）
如图，正三棱柱中，D是BC的中点，
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）求三棱锥的体积.
【答案】 （Ⅰ）证明：∵ABC—A1B1C1是正三棱柱，
∴BB1⊥平面ABC，
∴BD是B1D在平面ABC上的射影
在正△ABC中，∵D是BC的中点，
∴AD⊥BD，
根据三垂线定理得，AD⊥B1D
（Ⅱ）解：连接A1B，设A1B∩AB1 = E，连接DE.
∵AA1=AB ∴四边形A1ABB1是正方形，
∴E是A1B的中点，
又D是BC的中点
∴DE∥A1C. ………………………… 7分
∵DE平面AB1D，A1C平面AB1D，
∴A1C∥平面AB1D. ……………………9分
（Ⅲ） ……13分
23 【山东省济南外国语学校2013届高三上学期期中考试 文科】（本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB。
（1） 求证：CE⊥平面PAD；
（11）若PA=AB=1，AD=3，CD=，∠CDA=45°，求四棱锥P-ABCD的体积.
【答案】(1)证明:因为PA⊥平面ABCD,CE平面ABCD,所以PA⊥CE,
因为AB⊥AD,CE∥AB,所以CE⊥AD,又PAAD=A,所以CE⊥平面PAD…………5分
(2)解:由(1)可知CE⊥AD,在直角三角形ECD中,DE=CD,CE=CD.
又因为AB=CE=1,AB∥CE,所以四边形ABCE为矩形,所以
==,又PA⊥平面ABCD,PA=1,所以四棱锥P-ABCD的体积等于………….12分
24 【山东省聊城市东阿一中2013届高三上学期期初考试 】（本小题满分14分）
如图，正三棱柱中，为
的中点，为边上的动点.
（Ⅰ）当点为的中点时，证明DP//平面；
（Ⅱ）若，求三棱锥的体积.
A1
B1
C
B
P
A
C1
D
·

【答案】

25 【云南省玉溪一中2013届高三第三次月考文】（本小题满分12分）如图，在长方体，中，，点在棱AB上移动.
（1）证明：；
（2）当为的中点时，求点到面的距离.

【答案】解：以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则…………2分

（1）………………6分
（2）因为为的中点，则，从而，
，设平面的法向量为，则
也即，得，从而，所以点到平面的距离为
………………………………………………12分
26 【山东省聊城市东阿一中2013届高三上学期期初考试 】本小题满分12分）如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直．∥，，，．

（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）线段上是否存在点，使// 平面？若存在，求出；若不存在，说明理由．

【答案】解：（1）证明：取中点，连结，．
因为，所以．
因为四边形为直角梯形，，，
所以四边形为正方形，所以．
所以平面． 所以 ． ………………4分
（2）解法1：因为平面平面，且
所以BC⊥平面
则即为直线与平面所成的角
设BC=a，则AB=2a，，所以
则直角三角形CBE中，
即直线与平面所成角的正弦值为． ………………8分
解法2：因为平面平面，且 ，
所以平面，所以．
由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为三角形为等腰直角三角形，所以，设，
则．
所以 ，平面的一个法向量为．
设直线与平面所成的角为，
所以 ，
即直线与平面所成角的正弦值为． ………8分
（3）解：存在点，且时，有// 平面．
证明如下：由 ，，所以．
设平面的法向量为，则有
所以 取，得．
因为 ，且平面，所以 // 平面．
即点满足时，有// 平面． ………………12分
27 【山东省兖州市2013届高三9月入学诊断检测 文】(本小题满分12分)如图，几何体是四棱锥，△为正三角形，.
(1)求证：；
(2)若∠，M为线段AE的中点，求证：∥平面.

【答案】(I)设中点为O，连接OC，OE，则由知，，…………2分

又已知，所以平面OCE. …………４分
所以，即OE是BD的垂直平分线，
所以.…………６分

(II)取AB中点N，连接，
∵M是AE的中点，∴∥，…………８分

∵△是等边三角形，∴.
由∠BCD＝120°知，∠CBD＝30°，所以∠ABC＝60°+30°＝90°，即，
所以ND∥BC，…………1０分
所以平面MND∥平面BEC，故DM∥平面BEC. …………12分
28 【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试文】（本题满分12分）
如图所示，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，
QA＝AB＝PD.
(1)证明：PQ⊥平面DCQ；
(2)求棱锥Q－ABCD的体积与棱锥P－DCQ的体积的比值．

【答案】(1)证明：由条件知PDAQ为直角梯形．
因为QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD.
又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，
所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC.
在直角梯形PDAQ中可得DQ＝PQ＝PD，则PQ⊥QD.
所以PQ⊥平面DCQ.
(2)解：设AB＝a.
由题设知AQ为棱锥Q－ABCD的高，所以棱锥Q－ABCD的体积V1＝a3.
由(1)知PQ为棱锥P－DCQ的高，而PQ＝a，△DCQ的面积为a2，
所以棱锥P－DCQ的体积V2＝a3.
故棱锥Q－ABCD的体积与棱锥P－DCQ的体积的比值为1:1.
29 【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测 （文）】（本小题满分12分）
如图所示，在四棱锥P—ABCD中，平面平面ABCD，AB//DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=8，.
（1）设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；
（2）求四棱锥P—ABCD的体积.
【答案】

30 【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）文】（本小题满分12分）如图5，已知三棱锥中，⊥，为的中点，为的中点，且△为正三角形．A
B
M
C
D
P

（1）求证：⊥平面；
（2）若，，求点到平面的距离．
【答案】（Ⅰ）证明：如图4，∵△PMB为正三角形，
且D为PB的中点，∴MD⊥PB．
又∵M为AB的中点，D为PB的中点，
∴MD//AP，∴AP⊥PB．
图4
又已知AP⊥PC，∴AP⊥平面PBC，
∴AP⊥BC，又∵AC⊥BC，，
∴BC⊥平面APC， …………………………………………………………………（6分）
（Ⅱ）解：记点B到平面MDC的距离为h，则有.
∵AB=10，∴MB=PB=5，又BC=3，，，
∴．
又，．
在中，，
又，，
，
即点B到平面MDC的距离为． ……………………………………………（12分）
31 【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测 （文）】（本小题满分12分）
如图，在多面体ABC—A1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，AC=AB=1，A1C=A1B，B1C1//BC，.
（I）求证：面；
（II）求证：AB1//面A1C1C.
【答案】

32 【天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考文】如图，为等边三角形，为矩形，平面平面，，、、分别为、、中点，。

（1）求与平面所成角；
（2）求证：；
（3）求多面体的体积。
【答案】解：（1）取中点，连、
∵平面平面，交线为
∵正
∵
平面
即为所求。

（2）∵正
∵是中点

∵平面平面，交线为

平面 平面

平面
（3）

33 【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考文】（本小题满分12分）
如图所示，在棱长为2的正方体中，、分别为、的中点．
（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求三棱锥的体积．
【答案】解: （Ⅰ）以D为原点建立如图空间直角坐标系，则
从而
因为
所以

（Ⅱ）