深圳外国语学校2013高考考前热身理科数学试卷及答案.doc

2013深圳外国语学校综合测试
理科数学
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．共4页．满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．选择题答案的序号填涂在答题卡指定的位置上，非选择题应在答题卡上对应的位置作答. 超出答题区域书写的答案无效．
2．作选考题时，按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
参考数据：锥体的体积公式锥体，其中是锥体的底面积，是锥体的高．
第I卷（选择题 共40分）
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．设全集＜，集合，则等于
A． B． 　C． D．
2. 是虚数单位，若，则等于
A．1　 　　　　 B．　　　　　C．　　　　　D．
3．若，对任意实数都有，且，则实数的值等于
A． ； B．； C．或 D．5或1

4．在等比数列中，，公比．若，则（ ）
A．9 　 　　B．10 　　 　 C．11 　　 　 D．12

5．实数满足若目标函数取得最大值4，则实数的值为
A．2 　　　　B．3 　　　　C．4 　　　　 D．
6．某工厂将甲、乙等五名新招聘员工分配到三个不同的车间，每个车间至少分配一名员工，若甲、乙两名员工必须分到同一个车间，则不同分法的种数为
A．24　 　　 　　B．36　　　　　　　C．48　　　　　　D．60
7．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为
A． B． C． D．
8．在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即．给出如下四个结论：
①； ②； ③；
④“整数，属于同一“类”的充要条件是“”．
其中，正确结论的是 ( )
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④

第II卷（非选择题 共110分）
二、填空题：（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）
（一）必做题 (9～13题)
9．已知向量、的夹角为，且，，则________.
10. 运行如右图所示的程序框图,则输出的值为________.
11.直线与抛物线围成的图形的面积等于______.
12.已知双曲线（）的离心率为2，一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为_________.
13. 已知函数的图象关于点对称，且函数为奇函数，则下列结论：①点的坐标为；②当时，恒成立；③关于的方程有且只有两个实根。其中正确结论的题号为 。
A．①② 　　 B．②③ 　　 C． 　　 D．①②③

（二）选做题 (14～15题，考生只能从中选做一题)
14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，曲线的参数方程为；在极坐标系（以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，曲线的方程为， 则与两交点的距离为________.
D
A
C
B
E
（第15题）
15．（几何证明选讲选做题）如图, 是两圆的交点,是小圆的一条直径,和分别是和 的延长线与大圆的交点,已知,且,则________________．

三、解答题（本大题共6小题，满分80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
16．（本小题满分12分）
已知函数，
(I) 求函数的最小正周期及单调增区间；
(Ⅱ)在中，角A、B、C所对的边分别是、、，又，，的面积等于，求边长的值．

17．（本小题满分l2分）
如图,一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域.用力旋转转盘,转盘停止转动时,箭头A所指区域的数字就是每次游戏所得的分数(箭头指向两个区域的边界时重新转动),且箭头A指向每个区域的可能性都是相等的.在一次家庭抽奖的活动中,要求每个家庭派一位儿童和一位成人先后分别转动一次游戏转盘,得分情况记为(a,b)(假设儿童和成人的得分互不影响,且每个家庭只能参加一次活动).
(Ⅰ)求某个家庭得分为(5,3)的概率；
(Ⅱ)若游戏规定:一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和,且得分大于等于8的家庭可以获得一份奖品.求某个家庭获奖的概率；
(Ⅲ)若共有4个家庭参加家庭抽奖活动.在(Ⅱ)的条件下,记获奖的家庭数为X,求X的分布列及数学期望.

18．（本小题满分l4分）
如图，在矩形中，，为的中点，将沿折起，使；再过点作，且．
(Ⅰ)求证：；
(Ⅱ)求直线与所成角的正弦值；
(Ⅲ)求点到的距离．
19．（本小题满分l4分）
已知等差数列的首项为a，公差为b，等比数列的首项为b，公比为a，其中a，b都是大于1的正整数，且．
（1）求a的值；
2）若对于任意的，总存在，使得成立，求b的值；
（3）令，问数列中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由．

20．(本小题满分l4分)
如图，已知抛物线：和⊙：，过抛物线上一点
作两条直线与⊙相切于、两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心点到抛物线准线的距离为．
（1）求抛物线的方程；
（2）当的角平分线垂直轴时，求直线的斜率；
（3）若直线在轴上的截距为，求的最小值．

21．(本小题满分l4分)
设是定义在区间上的函数，其导函数为.如果存在实数和函数，其中对任意的都有，使得，则称函数具有性质.
I）设函数，（），其中为实数
①求证：函数具有性质；
②求函数的单调区间；
(II)已知函数具有性质，给定，，
设为实数，，，且，，
若，求的取值范围。

数 学(理科)参考答案
一、选择题
D B C C　A B A C
二、填空题
9．　　　 10．　　　11．　　 12．　　13．①③
14．　　　　15．
三、解答题
16、解：（1）因为 ………2分
故的最小正周期为 ………3分

即 ………5分
所以，函数的增区间为 ………6分
（2） ………8分

………10分
由余弦定理
………12分
17、 解：(Ⅰ)记事件A：某个家庭得分情况为（5，3）.

所以某个家庭得分情况为（5，3）的概率为. ……………2分

（Ⅱ）记事件B：某个家庭在游戏中获奖，则符合获奖条件的得分包括（5，3），（5，5），（3，5）共3类情况. 所以
所以某个家庭获奖的概率为. ……………4分
(Ⅲ)由（Ⅱ）可知，每个家庭获奖的概率都是 ……5分

…………………………10分
所以X分布列为：
X
0
1
2
3
4
P

…………………………12分
18、（1）证明：折叠前，矩形中，连接，中，，，
即， ………1分
，交线为，
， ………3分
而
………4分
（2） 由（1）知， 是直线与所成的角，………6分
在中，，
………8分
故直线与所成角的正弦值为。 ………9分
（3）设点到的距离为，
且，
四边形为平行四边形，
，从而，
故点到的距离等于点到的距离， ………11分
，
作，
，交线为，
，则是D到面ABCE的距离，而 ………12分

由

………13分
点到的距离为 ………14分
19．（本小题满分14分）
解：（1）由已知，得．由，得．
因a，b都为大于1的正整数，故a≥2．又，故b≥3．…………………1分
再由，得 ．
由，故，即．
由b≥3，故，解得．…………………………………………3分
于是，根据，可得．……………………………………4分
（2）由，对于任意的，均存在，使得，则
．
又，由数的整除性，得b是5的约数．
故，b=5．
所以b=5时，存在正自然数满足题意．……………………………8分
（3）设数列中，成等比数列，由，，得
．
化简，得． （※） …………………………10分
当时，时，等式（※）成立，而，不成立．…………………11分
当时，时，等式（※）成立．………………………………………12分
当时，，这与b≥3矛盾．
这时等式（※）不成立．………………………………………………………13分
综上所述，当时，不存在连续三项成等比数列；当时，数列中的第二、三、四项成等比数列，这三项依次是18，30，50．…………………………………………14分

20、解（1）∵点到抛物线准线的距离为，
∴，即抛物线的方程为．
（2）法一：∵当的角平分线垂直轴时，点，∴，
设，，
∴， ∴ ，
∴． ．
法二：∵当的角平分线垂直轴时，点，∴，可得，，∴直线的方程为，
联立方程组，得，
∵ ∴，．
同理可得，，∴．
（3）法一：设，∵，∴，
可得，直线的方程为，
同理，直线的方程为，
∴，
，
∴直线的方程为，
令，可得，
∵关于的函数在单调递增， ∴．
法二：设点，，．
以为圆心，为半径的圆方程为， ①
⊙方程：． ②
①-②得：
直线的方程为．
当时，直线在轴上的截距，
∵关于的函数在单调递增， ∴．

21、（1）(i) ………………1分
∵时，恒成立，∴函数具有性质；……………2分
(ii)（方法一）设，与的符号相同。
当时，，，故此时在区间上递增；………………3分
当时，对于，有，所以此时在区间上递增；………4分
当时，图像开口向上，对称轴，而，
对于，总有，，故此时在区间上递增；……5分
（方法二）当时，对于，
所以，故此时在区间上递增；…………………………5分
当时，图像开口向上，对称轴，
方程的两根为：， ………………………6分
而
当时，，，故此时在区间 上递减；
同理得：在区间上递增。
综上所述，当时，在区间上递增；
当时，在上递减；在上递增…………7分
(2)（方法一）由题意，得：
又对任意的都有>0，
所以对任意的都有，在上递增。 …………8分
又。 …………9分
当时，，且，

…………11分
…………12分

……13分
综合以上讨论，得：所求的取值范围是（0，1）。…………14分
（方法二）由题设知，的导函数，其中函数对于任意的都成立。所以，当时，，从而在区间上单调递增。 …………8分
①当时，有，
，得，同理可得，所以由的单调性知、，
从而有||<||，符合题设。 …………10分
②当时，，
，于是由及的单调性知，所以||≥||，与题设不符。…………12分
③当时，同理可得，进而得||≥||，与题设不符。
因此综合①、②、③得所求的的取值范围是（0，1）。…………14分

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