相似图形第10讲.doc

相似图形（二）
知识回顾 一网打尽
一、相似多边形的定义
对应_________，对应角________的两个多边形叫做相似多边形．
二、相似三角形的定义
三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形．
三、相似三角形的性质
1. 相似三角形的对应边_________，对应角________．
2. 相似三角形的对应边的比叫做________，一般用k表示．
3. 相似三角形的对应角平分线，对应边的________线，对应边上的_______线的比等于_______比，周长之比也等于________比，面积比等于______．
四、相似三角形的判定方法
1. 若DE∥BC（A型和X型）则______________．
2. 射影定理：若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形）
则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=________，CD2=_______，BC2=__ ____．

3. 两个角对应相等的两个三角形__________．
4. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似．
5. 三边对应成比例的两个三角形___________．

知识要点 基础练习
1.下列图形中一定相似的是( )
A.有一个角相等的两个平行四边形 B.有一个角相等的两个等腰梯形
C.有一个角相等的两个菱形 D.有一组邻边对应成比例的两平行四边形
2.下列结论不正确的是( )
A.所有的矩形都相似 B.所有的正方形都相似
C.所有的等腰直角三角形都相似 D.所有的正八边形都相似
3.五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，若对应边AB与A′B′的长分别为50厘米和40厘米，则五边形A′B′C′D′E′与五边形ABCDE的相似比是( )
A.5∶4 B.4∶5 C.5∶2 D.2∶5
4如果一个矩形对折后所得矩形与原矩形相似，则此矩形的长边与短边的比是( )
A.2∶1 B.4∶1 C.∶1 D.1∶
5.梯形ABCD中，AD∥BC，AD=a，BC=b，EF∥AD交AB、CD于E、F，且梯形AEFD与梯形EBCF相似，则EF等于( )
A. B. C. D.不能确定
6．如图，在△ABC中，已知∠ADE=∠B，则下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．

7．两个相似三角形对应边上中线的比等于3：2，则对应边上的高的比为______，周长之比为________，面积之比为_________．
8．若两个相似三角形的周长的比为4：5，且周长之和为45，则这两个三角形的周长分别为__________．
9. 如图1，EFAD∽ABCD，则∠A的对应角是________，∠B的对应角是________，.

图1
10. 所有的黄金矩形都是________.
11. 两个相似多边形的对应边的比是，则这两个多边形的相似比是________.
12. 两个相似多边形的相似比是，则这两个多边形的对应对角线的比是________.
13. 在菱形ABCD和菱形A′B′C′D′中，∠A=∠A′=60°，若AB∶A′B′=1∶，则BD∶A′C′=________.
14. 以下五个命题：①所有的正方形都相似 ②所有的矩形都相似 ③所有的三角形都相似 ④所有的等腰直角三角形都相似 ⑤所有的正五边形都相似.
其中正确的命题有_______.
典型例题 方法指导
考点1 相似三角形的性质的基本应用
例题1
（09年长春）如图，在矩形中，点分别在边上，，，求的长．

变式练习 1
若三角形三边之比为3：5：7，与它相似的三角形的最长边为21㎝，则其余两边之和为（ ）
A．24cm B．21cm C．19cm D．9cm

考点2 根据相似三角形的对应边比例求线段的长和角度
例题2
在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，现将它折叠，使B点与C点重合，如图14－7，则折痕DE的长是多少？

变式练习2
如图 l－4－8，在ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连结AE，F为AE上一点，且∠BFE＝∠C．
⑴ 求证：△ABF∽△EAD；
⑵ 若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长；
⑶ 在⑴、⑵的条件下，若AD=3，求BF的长.

考点3分类讨论相似的多种情况
例题3
在△ABC和△DEF中，已知∠A=∠D，AB=4，AC=3，DE=1，当DF等于多少时，这两个三角形相似．

变式练习3
1、△ABC中，D是AB上的一点，再在 AC上取一
点 E，使得△ADE与△ABC相似，则满足这样条件的E点共有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
2、在△ABC中,AB=12,AC=8，点DE分别在AB、AC上，如果△ADE与△ABC能够相似，且AD=4时，试求AE的长

考点4 判定三角形相似的条件
例题4
（1）如图4—6—1，在△ABC中，DE∥BC，AD=3 cm，BD=2 cm,△ADE与△ABC是否相似________，若相似，相似比是________.

图4—6—1 图4—6—2 图4—6—3
（2）如图4—6—2，D、E分别为△ABC中AB、AC边上的点，请你添加一个条件，使△ADE与△ABC相似，你添加的条件是_____________（只需填上你认为正确的一种情况）.
（3）如图4—6—3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，作CD⊥AB于点D，则图中相似的三角形有________对，它们分别是_____________.
变式练习4
（1）下列各组图形中有可能不相似的是（ ）
A.各有一个角是45°的两个等腰三角形 B.各有一个角是60°的两个等腰三角形
C.各有一个角是105°的两个等腰三角形 D.两个等腰直角三角形
（2）△ABC和△A′B′C′符合下列条件，其中使△ABC和△A′B′C′不相似的是 （ ）
A. ∠A=∠A′=45° ∠B=26° ∠B′=109°
B.AB=1 AC=1.5 BC=2 A′B′=4 A′C′=2 B′C′=3
C.∠A=∠B′ AB=2 AC=2.4 A′B′=3.6 B′C′=3
D.AB=3 AC=5 BC=7 A′B′= A′C′= B′C′=
（3）如图4—6—5，AB∥CD，AD与BC相交于点O，那么在下列比例式中，正确的是（ ）
A. B. C. D.

图4—6—5 、图4—6—6
（4）如图4—6—6，D为△ABC的边AB上一点，且∠ABC=∠ACD，AD=3 cm,AB=4 cm，则AC的长为（ ）
A.2 cm B. cm C.12 cm D.2 cm
（5）如图4—6—8，在△ABC中，AC是BC、DC的比例中项，则△ABC∽________,理由是________.

图4—6—8 图4—6—9 图4—6—10 图4—6—11
（6）如图4—6—9，D、E、F分别是△ABC各边的中点，则△DEF∽________,理由是________.
（7）如图4—6—10，∠BAD=∠CAE，∠B=∠DAB=2AD，若BC=3 cm,则DE=________cm.
（8）如图4—6—11，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端分别在CB、CD上滑动，那么当CM=________时，△ADE与△MNC相似.
（9）如图4—6—12，下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是（ ）

图4—6—12 图4—6—13 图4—6—14
A. B.∠B=∠ADE C. D.∠C=∠AED
（10）在□ABCD中，E在BC边上，AE交BD于F，若BE∶EC=4∶5，则BF∶FD等于（ ）
A.4∶5 B.5∶4 C.5∶9 D.4∶9
（11）如图4—6—13，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，CD=2，BD=1， 则AD的长是（ ）
A.1 B. C.2 D.4
（12）如图4—6—14，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，∠ABD=∠ACD，试找出图中的相似三角形，并加以证明.

（13）（08无锡） 如图，已知是矩形的边上一点，于，
试证明．

A
F
E
B
D
C
（图6.5-12）

（14）如图6.5-12，DE∥AB，EF∥BC，AF=5cm，FB=3cm，CD=2cm，求BD的长.

考点5 相似三角形的实际应用
例题5
如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？

一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：3.5cm×3.5cm，放映的荧屏的规格为2m×2m，若放映机的光源距胶片20cm时，问荧屏应拉在离镜头多远的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏？

变式练习5
如图4—4—3，有一个半径为50米的圆形草坪，现在沿草坪的四周开辟了宽10米的环形跑道，那么：①草坪的外边缘与环形跑道的外边缘所成的两个圆相似吗？
②这两个圆的半径之比和周长之比分别是多少？它们有什么关系吗？

图4—4—3 图4—6—15 图4—6—3 图4—6—7

如图4—6—15，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一点A，再在河的这一边选定点B和点C，使得AB⊥BC，然后选定点E，使EC⊥BC，确定BC与AE的交点D，若测得BD=180米，DC=60米，EC=50米，你能知道小河的宽是多少吗？

如图4—6—3，测量小玻璃管口径的量具ABC中，AB的长是10毫米，AC被分成60等份.如果小管口DE正好对着量具上30份处（DE∥AB），那么小管口径DE的长是_____________毫米.

如图4—6—7，长梯AB斜靠在墙壁上，梯脚B距墙80 cm，梯上点D距墙70 cm，量得BD长55 cm，求梯子的长.

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