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相似图形(二)
知识回顾 一网打尽
一、相似多边形的定义
对应_________,对应角________的两个多边形叫做相似多边形.
二、相似三角形的定义
三边对应成_________,三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形.
三、相似三角形的性质
1. 相似三角形的对应边_________,对应角________.
2. 相似三角形的对应边的比叫做________,一般用k表示.
3. 相似三角形的对应角平分线,对应边的________线,对应边上的_______线的比等于_______比,周长之比也等于________比,面积比等于_________.
四、相似三角形的判定方法
1. 若DE∥BC(A型和X型)则______________.
2. 射影定理:若CD为Rt△ABC斜边上的高(双直角图形)
则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=________,CD2=_______,BC2=__ ____.
3. 两个角对应相等的两个三角形__________.
4. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似.
5. 三边对应成比例的两个三角形___________.
知识要点 基础练习
1.下列图形中一定相似的是( )
A.有一个角相等的两个平行四边形 B.有一个角相等的两个等腰梯形
C.有一个角相等的两个菱形 D.有一组邻边对应成比例的两平行四边形
2.下列结论不正确的是( )
A.所有的矩形都相似 B.所有的正方形都相似
C.所有的等腰直角三角形都相似 D.所有的正八边形都相似
3.五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′,若对应边AB与A′B′的长分别为50厘米和40厘米,则五边形A′B′C′D′E′与五边形ABCDE的相似比是( )
A.5∶4 B.4∶5 C.5∶2 D.2∶5
4.如果一个矩形对折后所得矩形与原矩形相似,则此矩形的长边与短边的比是( )
A.2∶1 B.4∶1 C.∶1 D.1∶
5.梯形ABCD中,AD∥BC,AD=a,BC=b,EF∥AD交AB、CD于E、F,且梯形AEFD与梯形EBCF相似,则EF等于( )
A. B. C. D.不能确定
6.如图,在△ABC中,已知∠ADE=∠B,则下列等式成立的是( )
A. B.
C. D.
7.两个相似三角形对应边上中线的比等于3:2,则对应边上的高的比为______,周长之比为________,面积之比为_________.
8.若两个相似三角形的周长的比为4:5,且周长之和为45,则这两个三角形的周长分别为__________.
9. 如图1,EFAD∽ABCD,则∠A的对应角是________,∠B的对应角是________,.
图1
10. 所有的黄金矩形都是________.
11. 两个相似多边形的对应边的比是,则这两个多边形的相似比是________.
12. 两个相似多边形的相似比是,则这两个多边形的对应对角线的比是________.
13. 在菱形ABCD和菱形A′B′C′D′中,∠A=∠A′=60°,若AB∶A′B′=1∶,则BD∶A′C′=________.
14. 以下五个命题:①所有的正方形都相似 ②所有的矩形都相似 ③所有的三角形都相似 ④所有的等腰直角三角形都相似 ⑤所有的正五边形都相似.
其中正确的命题有_______.
典型例题 方法指导
考点1 相似三角形的性质的基本应用
例题1
(09年长春)如图,在矩形中,点分别在边上,,,求的长.
变式练习 1
若三角形三边之比为3:5:7,与它相似的三角形的最长边为21㎝,则其余两边之和为( )
A.24cm B.21cm C.19cm D.9cm
考点2 根据相似三角形的对应边比例求线段的长和角度
例题2
在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,现将它折叠,使B点与C点重合,如图14-7,则折痕DE的长是多少?
变式练习2
如图 l-4-8,在ABCD中,过点B作BE⊥CD,垂足为E,连结AE,F为AE上一点,且∠BFE=∠C.
⑴ 求证:△ABF∽△EAD;
⑵ 若AB=4,∠BAE=30°,求AE的长;
⑶ 在⑴、⑵的条件下,若AD=3,求BF的长.
考点3分类讨论相似的多种情况
例题3
在△ABC和△DEF中,已知∠A=∠D,AB=4,AC=3,DE=1,当DF等于多少时,这两个三角形相似.
变式练习3
1、△ABC中,D是AB上的一点,再在 AC上取一
点 E,使得△ADE与△ABC相似,则满足这样条件的E点共有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个
2、在△ABC中,AB=12,AC=8,点D、E分别在AB、AC上,如果△ADE与△ABC能够相似,且AD=4时,试求AE的长
考点4 判定三角形相似的条件
例题4
(1)如图4—6—1,在△ABC中,DE∥BC,AD=3 cm,BD=2 cm,△ADE与△ABC是否相似________,若相似,相似比是________.
图4—6—1 图4—6—2 图4—6—3
(2)如图4—6—2,D、E分别为△ABC中AB、AC边上的点,请你添加一个条件,使△ADE与△ABC相似,你添加的条件是_____________(只需填上你认为正确的一种情况).
(3)如图4—6—3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,作CD⊥AB于点D,则图中相似的三角形有________对,它们分别是_____________.
变式练习4
(1)下列各组图形中有可能不相似的是( )
A.各有一个角是45°的两个等腰三角形 B.各有一个角是60°的两个等腰三角形
C.各有一个角是105°的两个等腰三角形 D.两个等腰直角三角形
(2)△ABC和△A′B′C′符合下列条件,其中使△ABC和△A′B′C′不相似的是 ( )
A. ∠A=∠A′=45° ∠B=26° ∠B′=109°
B.AB=1 AC=1.5 BC=2 A′B′=4 A′C′=2 B′C′=3
C.∠A=∠B′ AB=2 AC=2.4 A′B′=3.6 B′C′=3
D.AB=3 AC=5 BC=7 A′B′= A′C′= B′C′=
(3)如图4—6—5,AB∥CD,AD与BC相交于点O,那么在下列比例式中,正确的是( )
A. B. C. D.
图4—6—5 、图4—6—6
(4)如图4—6—6,D为△ABC的边AB上一点,且∠ABC=∠ACD,AD=3 cm,AB=4 cm,则AC的长为( )
A.2 cm B. cm C.12 cm D.2 cm
(5)如图4—6—8,在△ABC中,AC是BC、DC的比例中项,则△ABC∽________,理由是________.
图4—6—8 图4—6—9 图4—6—10 图4—6—11
(6)如图4—6—9,D、E、F分别是△ABC各边的中点,则△DEF∽________,理由是________.
(7)如图4—6—10,∠BAD=∠CAE,∠B=∠D,AB=2AD,若BC=3 cm,则DE=________cm.
(8)如图4—6—11,正方形ABCD的边长为2,AE=EB,MN=1,线段MN的两端分别在CB、CD上滑动,那么当CM=________时,△ADE与△MNC相似.
(9)如图4—6—12,下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是( )
图4—6—12 图4—6—13 图4—6—14
A. B.∠B=∠ADE C. D.∠C=∠AED
(10)在□ABCD中,E在BC边上,AE交BD于F,若BE∶EC=4∶5,则BF∶FD等于( )
A.4∶5 B.5∶4 C.5∶9 D.4∶9
(11)如图4—6—13,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,CD=2,BD=1, 则AD的长是( )
A.1 B. C.2 D.4
(12)如图4—6—14,在四边形ABCD中,AC、BD相交于点O,∠ABD=∠ACD,试找出图中的相似三角形,并加以证明.
(13)(08无锡) 如图,已知是矩形的边上一点,于,
试证明.
A
F
E
B
D
C
(图6.5-12)
(14)如图6.5-12,DE∥AB,EF∥BC,AF=5cm,FB=3cm,CD=2cm,求BD的长.
考点5 相似三角形的实际应用
例题5
如图,△ABC是一块锐角三角形余料,边BC=120mm,高AD=80mm,要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB、AC上,这个正方形零件的边长是多少?
一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为:3.5cm×3.5cm,放映的荧屏的规格为2m×2m,若放映机的光源距胶片20cm时,问荧屏应拉在离镜头多远的地方,放映的图象刚好布满整个荧屏?
变式练习5
如图4—4—3,有一个半径为50米的圆形草坪,现在沿草坪的四周开辟了宽10米的环形跑道,那么:①草坪的外边缘与环形跑道的外边缘所成的两个圆相似吗?
②这两个圆的半径之比和周长之比分别是多少?它们有什么关系吗?
图4—4—3 图4—6—15 图4—6—3 图4—6—7
如图4—6—15,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一点A,再在河的这一边选定点B和点C,使得AB⊥BC,然后选定点E,使EC⊥BC,确定BC与AE的交点D,若测得BD=180米,DC=60米,EC=50米,你能知道小河的宽是多少吗?
如图4—6—3,测量小玻璃管口径的量具ABC中,AB的长是10毫米,AC被分成60等份.如果小管口DE正好对着量具上30份处(DE∥AB),那么小管口径DE的长是_____________毫米.
如图4—6—7,长梯AB斜靠在墙壁上,梯脚B距墙80 cm,梯上点D距墙70 cm,量得BD长55 cm,求梯子的长.
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