第三节 实数域和复数域.doc

第三节 实数域和复数域
　　1．实数和实数域
　　前节所说的，用N中自然数序对作为新数——整数，用Z中整数序对作为新数——有理数，使数系扩充的方法，称为代数扩张．但这种数系扩充法，并不都是成功的；有理数向实数的扩充，就不能套用上一节所用的代数扩张法(因这种扩充，需对极限运算封闭)．
　　但是从Q扩充到R，数系扩充原则和步骤，依然与前面一致．
　　(1)定义 含有有理数域为其子域的连续域R称为实数域，R的元素称为实数．
　　如果实数域R存在，它应当是由所有有理数基本列组成的序域．
　　事实上，设R的任一元素a都是某个有理数基本列｛an｝的极限．则存在k∈N，使 |ak－a|＜1，从而 a＜1＋|ak|．
　　1＋|ak| 是有理数，有理数域是阿基米德序域，故存在n∈N，使n＞1＋|ak|．故有n＞a．
　　因此，R是阿基米德序域．
　　反之，设R是实数域，则对于任意a∈R及n∈N，存在m1，m2∈N，使

　　有上界(例如m1)．又A非空(至少-m2∈A)，故A有最大数m∈Z，于是

即

liman＝a
　　即R中任意数a都是有理数基本列的极限．
　　若R1，R2是两个实数域，则它们的元素都是有理数基本列的极限．
　　现作映射f：R1→R1，使对任意a∈R1，若liman=a，｛an｝为有理数基本列，｛an｝在R2中极限为a′，则f(a)=a′．
　　易知f是R1到R2的同构映射．因此，符合定义的实数域在同构的意义上是唯一的．
　　(2)构造 设M是所有有理数基本列的集合．在M中定义等价关系、加法、乘法及序如下：
　　对任意｛an｝，｛bn｝∈M．
　　　1°｛an｝～｛bn｝当且仅当lim(an－bn)=0；
　　　2°｛an｝＋｛bn｝＝｛an＋bn｝；
　　　3°｛an｝·｛bn ｝＝｛an·bn｝；
　　　4°｛an｝＜｛bn｝当且仅当存在有理数ε＞0，及n0∈N，使当n＞n0时，bn－an＞ε．
　　由有理数的性质知，上述基本列的加法、乘法满足结合律、交换律和分配律．所定义的基本列的序，是全序．
　　作商集M／～＝R0，在R0中定义等价类的加法、乘法及序如下：
　　对任意α，β∈R0，｛an｝∈α，｛bn｝∈β，
　　　1°若｛an＋bn｝∈γ，则规定α＋β＝γ；
　　　2°若｛an·bn｝∈ρ，则规定α·β=ρ；
　　　3°若｛an｝＜｛bn｝ ，则规定 α＜β．
　　不难验证，这样定义的运算及序与代表元的选取无关； R0中加法、乘法满足结合律、交换律和分配律．

若α＞0，称α为正元；若α＜0，称α为负元．对任两正元α，β，存在n∈N，使nα＞β．
　　因此，R0是阿基米德序域.
　　(3)嵌入
　　设R1是R0中所有有理常数列｛a｝所代表的类的集合，R2是R0中其余的类所组成的集合，则R0=R1∪R2．
　　作映射f:R1→Q，使f(｛a｝)=a．则f是同构映射，因而(R1；＋，·，＜)与(Q；＋，·，＜)同构．
　　作集合R=Q∪R2，R中的运算由f的扩张决定．则R是通常所说的实数域．R2中的实数，称作无理数．有时为了方便，将正实数集合记为R＋．
　　实数集R的若干性质．
　　　1°有理数集Q在R中处处稠密 对任意两实数a，b，若a＜b，则必存在c∈Q，使a＜c＜b．
　　　2°连续统 实数集R与直线上点集R1一一对应．建立对应的方法如下：
　　在直线l上取O点为原点，OA为单位，A点所在半直线为正向，建立直线坐标系第一次，以OA为单位，从O点开始，向左、右两边等分直线，得第一批分点(与单位端点重合的点)，它们对应全体整数．
　　划分直线，得第n批分点，其中p∈N＋，p＞1， n=2， 3，…．
　　这样所得分点，连同第一批分点，对应全体有理数．
　　现令第n批分点中两个相邻分点之间(包括两端点)所有点组成之集为第n级子区间Δn，于是，直线l上每一点B，如果它不是某一批分点，它便包含于一系列子区间Δn之中，这些Δn形成一个区间套｛Δn｝：
　　实数b．这时规定B与b对应．
　　建立直线坐标系的直线 R1称为数直线，或实直线，或连续统；在它上面已不再有“洞”．
　　由于实数集R与实直线R1等价，以后不再区别R与R1．
　　3°实数表示成无尽小数形式
　　由上可知，每一个实数都可以表示成p进制无尽小数．方法如下：
　　设a为正实数，它对应R1上区间套｛Δn｝(若a为有理数，是某些区间的端点，则规定它属于右边的区间)．又令a1为Δ1左端点对应的整数(自然数)； n＞1时，Δn左端点为Δn－1中第an(an=0，1，2，…，p-1)个分点．于是得到一个唯一确定的非负整数列(a1，a2，…，an，…)(0≤ai＜p，i=1，2，3，…)．
　　反之，给出一个这样的非负整数列，可以确定唯一的一个区间套，从而唯一地确定一个实数．
　　我们将用上述方法得到的正实数a所对应的非负整数列(a1，a2，…，an，…)记作
　　　　　　　　　　　　　a1·a2a3…an…
　　并称之为实数a的p进小数表示．在同构的意义上，它与实数a是一样的，不妨写作
　　　　　　　　　　　　　a＝a1·a2a3…an…
　　对每个负实数a，-a＞0，故也可表示成无尽小数形式．
　　为方便起见，常取p=10，把实数表示成10进小数．有理数可以表示成无尽循环小数，当循环节为0时，省略尾部所有的0，成为有限小数．无理数则是无尽不循环小数．
　　4° R不是可数集
　　这只须指出单位区间I=｛x∈R＜x＜1｝不可数即可，可用著名的“对角线法”证明如下：
　　反证，假定I可数，其中数(纯10进小数)排成一列：
　　　　　　　　　　　　a1=0．a11a12a13…
　　　　　　　　　　　　a2＝0．a21a22a23…
　　　　　　　　　　　　……
an=0．an1an2an3…
　　　　　　　　　　　　　　　……
令b=0．b1b2…bn…，其中

　　显然，b∈I，但b≠an，n=1，2，3，…．这与I可数矛盾．所以I不是可数集，因此R也不是可数集．
　　*2．实数的公理化定义
　　实数域R的本质在于，它是一个连续的阿基米德序域．可以用一组公理(实数公理)将它整体地给出来．
　　设在集合R中定义了两种代数运算，加法“＋”和乘法“·”，定义了序关系“＜”，(R；＋，·，＜)满足以下公理(实数公理)：
　　Ⅰ．域公理
　　对于任意x，y，z∈R，有
　　 Ⅰ1．x＋(y＋z)＝(x＋y)＋z；
　　 Ⅰ2．x＋y＝y＋x；
　　 Ⅰ3．存在元素o∈R，使0＋x＝x；
　　 Ⅰ4．存在兀素－x∈R，使x＋(－x)＝0；
　　 (至此，(R；＋)为群)
　　 Ⅰ5．x(yz)=(xy)z；
　　 Ⅰ6．xy＝yx；
　　 Ⅰ7．x(y＋z)=xy＋xz；
　　 Ⅰ8．存在元素1∈R，使1·x=x；
　　 (至此，(R；＋，·)为具有单位元的可换环)
　　 Ⅰ9．若x≠0，则总存在元素x-1∈R，使x-1·x=1．
　　 (至此，(R；＋，·)为域)
　　 Ⅱ．序公理
　　对任意x，y，z∈R，有
　　 Ⅱ1．x＜y或x=y或y＜x，有且仅有一个成立；
　　 Ⅱ2．若x＜y，y＜z，则x＜z；
　　 (至此，(R；＜)为全序集)
　　 Ⅱ3．若x＜y，则x+z＜y+z；
　　 Ⅱ4．若0＜x，0＜y，则0＜xy；
　　 (至此，(R；＋，·，＜)为全序域)
　　 Ⅲ．阿基米德公理 对于任意R中正元0＜x，0＜y，总存在
　　n∈N，使y＜nx．
　　 (至此，(R；＋，·，＜)为阿基米德序域)
　　 Ⅳ．完备公理(柯西准则)R中基本序列在R中收敛
　　 (至此，(R；＋，·，＜)为连续的或完备的阿基米德序域)
　　公理Ⅳ又称连续公理，它有许多等价形式：
　　　1° (戴德金定理) R中任意一个分割A|B都确定唯一的一个实数，即或A中有最大数，B中无最小数；或B中有最小数，A中无最大数
　　　2° (确界存在定理) R中有上(下)界子集必有上(下)确界．
　　　3° (单调有界定理) R中单调有界数列必有极限．
　　　4° (区间套定理) R中任意闭区间套｛［an，bn］｝确定唯
→0，则存在唯一实数a∈［an，bn］，n=1，2，3，…．

　　　6° (致密性定理) R中每个有界数列必合收敛子列．
　　　7° (聚点定理) R中有界无穷点集至少有一个聚点．
　　3．复数域
　　从实数集向复数集的扩充，又可以采用代数扩张的办法．
　　(1)定义 含有实数域R和i(i具有性质i2=-1)的最小域C，称为复数域．即
　　　1° 域(R；＋，·)是(C；＋，·)的子域；

　　　3° 若域(C′；＋，·)满足上述1°与2°，则(C；＋，·)是(C′；＋，·)的子域．
　　域C中元素叫做复数．
　　如果复数域C存在，则C具有形式
C＝｛a＋bi|a，b∈R，i2=－1｝
　　因此，所有在此定义下的复数域C是同构的．即复数域C若存在，则在同构的意义上是唯一的．
　　(2)构造 作集合
C0=｛(a，b)|a，b∈R｝
　　在C0中定义加法“＋”和乘法“·”如下：对任意实数对(a，b)，(c，d)∈C0，规定
(a，b)＋(c，d)=(a＋c，b＋d)
(a，b)(c，d)=(ac-bd，ad＋bc)
　　容易证明，(C0；＋，·)是域．
　　与前节构作整数环Z、有理数域Q不同，这里无需再定义等价关系和作商集．
　　(3)嵌入 令C0=C1∪C2，其中
C1=｛(a，0)|a∈R｝
　　C2由C0中其余元素组成．
　　作映射f：R→C1，使对每一a∈R，都有f(a)＝a，0)．易知f是(R；＋，·)到(C1；＋，·)的同构映射，故(R；＋，·)是(C0；＋，·)的子域．
　　令C＝R∪C2，C中的运算由f的扩张决定，则C就是通常所说的复数域，且由于
(0，1)(0，1)=(-1，0)
　　所以i=(0，1)，i2=-1
　　复数的性质
　　　1° 复数域是代数闭域
　　这由下面定理保证：
　　代数基本定理 复系数n次方程
xn＋an-1xn-1＋…＋a1x+a0＝0
　　在复数域C中有n个根．
　　只将二次方程x2+1=0的一个根i添入到R，就能获得任意n次复系数方程的所有的根，这真是一个数学奇迹．
　　　2° 复数域不能成为序域

　　首先，要明确全序集与序域的区别．复数集C，可以定义序＜，使(C；＜)成为全序集．例如，对于任意a1＋b1i，a2＋b2i∈C，规定a1+b1i＜*a2+b2i当且仅当a1＜a2；或a1=a2，b1＜b2．则“＜*”是C的一个全序，从而(C；＜*)是全序集．
　　但是，对于复数域C上任意序＜，(C；＋，·，＜)都不是序域．
　　事实上，只要考虑i与0的序关系即可．由于i≠0，只有0＜i或i＜0．
　　若0＜i，由实数序公理Ⅱ4，有
0＜i·i=-1
　　所以
　　　　　　　　　　　　0＜(－1)(－1)=1 (*)
　　又由序公理Ⅱ3，应有0＋1＜(－1)＋1，即1＜0，与()矛盾
　　若i＜0，则0＝i＋(-i)＜0＋(-i)=-i，同样推得矛盾．
　　因此，复数域不能成为序域，或者说作为复数域(C；＋，·)中的复数，没有大小顺序．这就是通常所说的“复数不能规定大小”的意义所在．
　　在数系的扩充过程中，数的范围不断扩大，数的结构逐渐完善，数的性质有所增加，但有时也失去一些原有性质．例如，N扩充到Z，失去了良序性等．当复数域再扩充到四元数、八元数、十六元数等等时，数的一些基本性质，如乘法交换律，甚至连乘法的结合律都要失去，与“数”的传统概念就相去很远了．因此，通常所说的数，都是指实数或复数．
第四节 代数数、超越数和作图不能问题　
　　1．代数数和超越数
　　有理系数(或整系数)多项式
　　　　　　　　　　p(x)＝anxn＋an-1xn-1＋…＋a1x＋a0 　　　　　　　　(1)
的根，称作代数数；非代数数的复数，称为超越数．以下主要讨论实代数数和实超越数．
　　一个代数数α所满足的有理系数多项式的最低次数，称作α的次
为它们满足一次方程qx-p=0．
　　代数数，而

　　是四次代数数，因a5是四次方程
x4-5x2＋5＝0
的根
　　有限次加、减、乘、除和开平方这五种运算而得到的数，都是代数数．
　　超越数是无理数中的非代数数．

　　人们在对代数数和超越数的认识史上，曾经有两个误解：①认为在的无理数经过四则运算与开平方而产生的．
　　但实际情况是，实数中的超越数不是很少，而是很多，比代数数要多得多；代数数也并非都能由如上方法产生出来．第一个问题发展为超越数论，第二个问题与几何作图“三大问题”相关．
　　1874年，Cantor在一篇论文中证明了，一切代数数与正整数可以建立一一对应，从而证明了超越数存在，而且还比代数数“多得多”．
　　然而人们具体认识的超越数却很少．1873年，Hermite(1822—1901)第一次证明了e是超越数．1882年，Lindemann(1852—1939)越数，列为他著名的“23个问题”的第7个．1929年，Gelfond(1906—1968)证明了eπ是超越数；1930年，Kuzmin(1891—1949)将
　　本世纪以来，超越数论有很大发展，人们已经发现了不少超越数类．例如
sin1，cos3，ln2，ln5，…
和

都是超越数(这方面最主要的结果是林德曼-外尔斯特拉斯定理：若u1，u2，…，un是不同的代数数，那么复指数eμ1，eμ2，…，eμn在代数数域上线性无关)．
　　然而，我们所认识的超越数，仍然是极少极少，连π＋e，πe是不是超越数，至今还不知道．
　　*2．π和e
　　这是两个最常见、最有用的超越数．然而人们对它们的无理性和超越性的认识却很迟．
　　圆周率π，即圆的周长与直径之比，直到18世纪初，人们还把它当作一个有理数，企图通过计算来得到它的精确值．1761年，Lambert(1728—1777)证明了π是无理数，这才打破了人们的梦想．
　　但在这之前，Euler于1744年已证明了e的无理性，Lambert是借用了与前人类似的方法．因e的级数表达式简单，证明较方便，这里只介绍e的无理性的证明．

　　取自然数n＞q，用n！乘下列级数表达式两边：

得

n！e＝an＋bn

　　因n＞1，故0＜bn＜1．即bn不可能是整数．产生矛盾．所以e是无理数．
　　π和e的超越性证明比较复杂，这里用初等方法只给出e不是二次代数数的一个证明大意，方法与上面相仿．
　　e不是二次代数数 即证明：对于任意a0，a1，a2∈Z且a0≠0，都有
a0e2＋a1e＋a2≠0
　　事实上，如果有某三个整数a0(≠0)，a1，a2使
a0e2＋a1e＋a2=0
即
　　　　　　a0e＋a1＋a2e-1=0 　　　　　　　　　　　　　　　　　(3)
将(2)代入(3)，便有

　　从而
(n-1)！Sn＝-(n-1)！Rn
　　因(n－1)！Sn为整数，故

也应为整数．
　　令A＝|a0|＋|a2|，取n＞3A．则

　　因此，(n－1)！Rn=0，(n-1)！Sn=0．由此可以导致矛盾(详见［39］)．
　　证明π是超越数，不是代数数的意义很大，它直接指出了古希腊几何问题“化圆为方”作图是不可能的．
　　3．几何作图不能问题
　　华罗庚在1952年发表过一篇题为“三分角问题”的文章①．他说：“我建议传授几何问题的人，如要谈到三分角问题，就必须把它交待清楚(即使不能严格证明)，以免引人走入歧途．”
　　作为一个数学教师，对“三等分角”等几何作图不能问题，自己首先要弄清楚．
　　古希腊数学家提出的所谓“几何作图三大问题”是
　　1 三等分任意角问题；
　　2 倍立方问题(作一立方体使其体积等于已知立方体体积2倍)；
　　3 化圆为方问题(作一正方形使其面积等于已知圆的面积)．
　　如果限于尺规作图，即只准使用圆规和不带刻度的直尺作图，那么这三个作图问题，都是作图不能问题．
　　所谓“作图不能问题”，不是没有找到作图方法的、尚未解决的作图问题，而是从理论上已经证明是不可能用尺规作图的、已经解决了的问题．
　　如何证明它们是作图不能问题呢？先看看用尺规可以作出哪些几何图形．
　　设给出一单位长线段1(用线段的长度表示该线段)，则可作出：
　　　1° 所有正整数n(长度为n的线段)；

　　　3° 上述各种数的和、差、积、商及算术平方根．

　　如果一个几何图形可以用尺规作出，那么一定是从已知线段(设为
和、差、积、商、开平方的有限步复合运算产生的“多层平方根数”．例 　

其中a，b，A是较低层平方根数或有理数．
　　每一个这样的“多层平方根数”，都是一个n次整系数方程(1)或有理方程
　　xn＋a1xn-1＋…＋an-1x＋an＝0，ai∈Q (4)
的根．反之，方程(4)如果有这样“多层平方根数”的根x=α，则α是由方程(4)的系数经过有限步四则运算和开平方运算产生的代数数．
　　设方程(4)的系数域为F0=Q，它的根是“多层平方根数”，所在生成的扩域：

x4-5x2＋5＝0

　　于是a5∈F2．
　　为解决几何作图问题，我们先证明
　　定理 Q上三次方程
x3＋a1x2＋a2x+a3=0 　　　(5)
的一个根若为“多层平方根数”，则一定有有理根．
　　证 设(5)有一个根x1是“多层平方根数”：

　　其中a，b，A∈Fk-1，k≥1．
　　(6)代入(5)：

　　整理得

x3=-a1-x1-x2=a1-2a
也是(5)的根
　　如果a∈Q，则定理已经证明．若a∈Fk-1≠Q，那么又令a=a′　
　　因此，方程(5)有根

x1或x2，即

　　由此定理得
　　推论 如果三次方程(5)没有有理根，那么这个方程的根不是有理数域上的多层平方根数，因而不能尺规作图．
　　利用这一推论，很容易解决“几何作图三大难题”．
　　4．“几何作图三大难题”的解答
　　(1)三等分角问题
　　设给定角A，相当于给出了cosA所对应的单位圆上余弦线
　　由于

4x3-3x-cosA＝0
的根．特别地，当A=60°时，cos20°是方程
　　　　　　　　　　　　　　　　　8x3－6x－1=0 　　　　　　(8)
的根．
　　方程(8)没有有理根．事实上，令y2x，(8)变成
　y3-3y-1＝0 　　　　　　　　(9)

p3－3q2p＝q3
即
　　　　　　　　　　　　　p(p2－3q2)=q3　　　　　　　　　　(10)
从而p|q3，但(|p|，|q|)=1，故p=±1．
　　同样，由(10)有q|p3，又得q=±1．
　　从而(9)若有有理根，则只能为 y=±1．经检验，y=±1均不是(9)的根．所以方程(9)，从而(8)，没有有理根．由上段推论，

　　(2)倍立方问题
　　设已知立方体棱长为1，2倍体积的立方体校长为x，则有
　　　　　　　　　　　　　x3＝2 或 x3－2=0 　　　　　　　　(11)

　　同上可证，(11)也无有理根，因此，它的根不能尺规作出．
　　方程(8)和(11)都至少有一个实根，显然它们都是代数数，但却不是“多层平方根数”．这说明：代数数并不都能用有理数的多层平方根来表示．
　　(3)化圆为方问题
　　设给定圆半径为1，则其面积为π．设正方形边长为x，面积为x2，与圆面积相等，得方程
　　　　　　　　　　x2＝π 或 x2－π=0 　　　　　　　　　　(12)

　　有代数数根，当然更没有有理数域上的“多层平方根数”根，所以它的根不能尺规作出．
　　至此，三个几何作图不能问题，均化为二次或三次方程有理根的判定问题，从而得到彻底解决．
研究与思考题
　　1．试说明在数的扩充过程中，从N→C的每一步，数的性质增加了什么？减少了什么？
　　2．试证明：有理数域Q是最小的无限域；实数域R是最小的完备域．
　　3．从Q到R的扩充，与数的其他几次扩充，在方法上有何不同？原因何在？
　　4．证明：实数集R中实数项基本列｛rn｝不再定义出新数．
　　5．证明：代数数集A构成实数域R的子域．又问，超越数集T是否也构成R的子域？
　　6．作图不能问题的含义是什么？希腊“几何作图三大难题”是怎样解决的？
　　7．“复数不能规定大小”的含义是什么？
　　8．能否用尺规作图方法，作出正七边形？为什么？