平面直角坐标基本公式.doc

2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式 优化训练

1．已知线段AB的中点在坐标原点，且A(x,2)，B(3，y)，则x＋y等于(　　)
A．5　　　　　　　　　　 B．－1
C．1 D．－5
解析：选D.由题意知，x＝－3，y＝－2，则x＋y＝－5.
2．若x轴上的点M到原点及点(5，－3)的距离相等，则M点的坐标是(　　)
A．(－2,0) B．(1,0)
C．(1.5,0) D．(3.4,0)
答案：D
3．若A(a，－ab)，B(b，ab)，则d(A，B)等于(　　)
A．|a－b| B．|a＋b|
C．|a＋b| D．|a－b|
答案B
4．设点P在x轴上，点Q在y轴上，线段PQ的中点是M(－1,2)，则d(P，Q)＝________.
答案：25
5．已知点P到x轴和点A(－4,2)的距离都是10，则点P的坐标为________．
解析：设P(x，y)，由距离公式，得
|y|＝10(x＋4)2＋(y－2)2＝10，解得x＝2，y＝10，
∴P(2,10)．
答案：(2,10)

1．点A(2a,1)与点B(2，a)之间的距离为(　　)
A.5(a－1) B.5(1－a)
C.5|a－1| D．5(a－1)2
解析：选C.d(A，B)＝(2a－2)2＋(1－a)2＝5|a－1|.
2．已知点A(x,5)关于点C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是(　　)
A．4 B.13
C.15 D.17
解析：选D.
由题意知1＝x－22y＝5－32⇒x＝4y＝1，d＝42＋12＝17.
3．已知△ABC的顶点A(2,3)，B(8，－4)和重心G(2，－1)，则顶点C的坐标是(　　)
A．(4，－3) B．(1,4)
C．(－4，－2) D．(－2，－2)
解析：选C.设C(x，y)，则2＋8＋x3＝2，∴x＝－4.
3＋(－4)＋y3＝－1，∴y＝－2，故选C.
4．某县位于山区，居民的居住区域大致呈如图所示的五边形近似由一个正方形和两个等腰直角三角形组成，若AB＝60 km，AE＝CD＝30 km，为了解决当地人民看电视难的问题，准备建一个电视转播台，理想方案是转播台距五边形各顶点的距离平方和最小，图中P1、P2、P3、P4是AC的五等分点，则转播台应建在(　　)

A．P1处 B．P2处
C．P3处 D．P4处
解析：选A.以AB为x轴，AE为y轴建立直角坐标系，则A(0,0)，B(60,0)，C(30,30)，D(30,60)，E(0,30)，设点P(x，y)，则f(x，y)＝|AP|2＋|BP|2＋|CP|2＋|DP|2＋|EP|2＝x2＋y2＋(x－60)2＋y2＋(x－30)2＋(y－30)2＋(x－30)2＋(y－60)2＋x2＋(y－30)2＝5x2＋5y2－240x－240y＋10800＝5(x－24)2＋5(y－24)2＋5040.
当x＝y＝24时，f(x，y)有最小值，此时点P为(24,24)与点P1重合．
5．若平行四边形的三个顶点为(3，－2)，(5,2)，(－1,4)，则第四个顶点不可能是(　　)
A．(9，－4) B．(1,8)
C．(－3,0) D．(1，－3)
解析：选D.设第四个顶点为(x，y)，然后分三种情况讨论．若(3，－2)，(5,2)是一条对角线的两端点，则有3＋52＝－1＋x2，－2＋22＝4＋y2，∴x＝9y＝－4，即第四个顶点为(9，－4)；若(5,2)，(－1,4)为一条对角线的两端点，则第四个顶点为(1,8)；若(3，－2)，(－1,4)为一条对角线的两端点，则第四个顶点为(－3,0)．
6．点A(2,0)，B(4,2)，若|AB|＝2|AC|，则C点坐标为(　　)
A．(－1,1) B．(－1,1)或(5，－1)
C．(－1,1)或(1,3) D．无数多个
解析：选D.设C(x，y)，则(4－2)2＋(2－0)2
＝2(x－2)2＋(y－0)2，
即(x－2)2＋y2＝2.∴存在无数多个C点．
7．点A(－1,2)关于原点的对称点到点(3，m)的距离是25，则m的值是________．
解析：点(－1,2)关于原点的对称点为(1，－2)，
∴(1－3)2＋(－2－m)2＝25，解得m＝2或－6.
答案：2或－6
8．已知△ABC的三个顶点的坐标为A(3，2)、B(0,1)、C(0,3)，则此三角形的形状是________．
解析：∵|AB|＝(3－0)2＋(2－1)2＝2，
|AC|＝(3－0)2＋(2－3)2＝2，
|BC|＝(0－0)2＋(1－3)2＝2，
∴|AB|＝|AC|＝|BC|.
∴△ABC为等边三角形．
答案：等边三角形
9．已知点A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，当|AB|取得最小值时，实数a的值是___．
解析：|AB|2＝(5－a－1)2＋(2a－1－a＋4)2
＝2a2－2a＋25
＝2(a－12)2＋492
∴a＝12时，|AB|最小．
答案：12
2．1．2　平面直角坐标系中的基本公式一、选择题
1．已知点A(－3,4)和B(0，b)，且|AB|＝5，则b等于(　　)
A．0或8 B．0或－8
C．0或6 D．0或－6
2．已知线段AB的中点在坐标原点，且A(x,2)，B(3，y)，则x＋y等于(　　)
A．5 B．－1 C．1 D．－5
3．以A(1,5)，B(5,1)，C(－9，－9)为顶点的三角形是(　　)
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．无法确定
4．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于(　　)
A．5 B．4
C．2 D．2
5．已知点A(1,2)，B(3,1)，则到A，B两点距离相等的点的坐标满足的条件是(　　)
A．4x＋2y＝5 B．4x－2y＝5
C．x＋2y＝5 D．x－2y＝5
6．已知A(－3,8)，B(2,2)，在x轴上有一点M，使得|MA|＋|MB|最短，则点M的坐标是(　　)
A．(－1,0) B．(1,0)
C． D．二、填空题
7．已知点A(x,5)关于点C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是______．
8．点M到x轴和到点N(－4,2)的距离都等于10，则点M的坐标为______________．
9．等腰三角形ABC的顶点是A(3,0)，底边长|BC|＝4，BC边的中点是D(5,4)，则此三角形的腰长为_________________________________________________________________．
三、解答题
10．已知A(6,1)、B(0，－7)、C(－2，－3)．
(1)求证：△ABC是直角三角形；
(2)求△ABC的外心的坐标．
11．求证：三角形的中位线长度等于底边长度的一半．
能力提升
12．求函数y＝＋的最小值．
13．求证：＋＋
＋≥2．
2．1．2　平面直角坐标系中的基本公式1．A　[由＝5，解得b＝0或8．]
2．D　3．B
4．C　[设A(a,0)，B(0，b)，则＝2，＝－1，
解得a＝4，b＝－2，∴|AB|＝2．]
5．B　[设到A、B距离相等的点P(x，y)，
则由|PA|＝|PB|得，
4x－2y＝5．]
6．B
　[(如图)
A关于x轴对称点为
A′(－3，－8)，
则A′B与x轴的交点即为M，
求得M坐标为(1,0)．]
7．
解析　由题意知解得
∴d＝＝．
8．(2,10)或(－10,10)
解析　设M(x，y)，
则|y|＝＝10．
解得或．
9．2
解析　|BD|＝|BC|＝2，
|AD|＝＝2．
在Rt△ADB中，
由勾股定理得腰长|AB|＝＝2．

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．
1．关于位移向量说法正确的是（ ）的大小是数轴上A、B两点到原点距离之差的绝对值。
2．化简等于（ ）　B．零位移　C．　 D．
3． 若，（其中），向量的最小值（ ） B．0C． D．
4．数轴上到，两点距离之和等于1的点的集合为（ ）
5．方程的解为（ ） B． C． D．
6．已知，，则的垂直平分线方程为（ ） B．
C． D．
7．以为顶点的三角形是（ ）在同一直线上，则实数的值是（ ）到距离最短的点是（ ））
10．轴上点到两点距离的最小值为（ ） C．5 D．17
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．
11．若点与点的距离为5，则 ．
12．若，点是的垂直平分线上一点，则___________．
13．若，则___ __．
14．直线上的两点的横坐标分别为，则两点间的距离为____________；直线上的两点的纵坐标分别为，则两点间的距离为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)．
15．（12分）已知点，在轴上找一点使得，并求出的值．
16．（12分）已知点与间的距离为，求的值．
17．（12分）已知点P (x, y)，则求①关于y轴的对称点；②关于x轴的对称点；③关于原点的对称点；④关于直线y = x的对称点；⑤关于直线y=－x的对称点(－y, －x)．
18．（12分）判断下列A（－1，－1），B（0，1），C（1，3）三点是否共线，并给出证明．
19．（14分）用坐标法证明三角形的中位线长为其对应边长的一半．
20．（14分）已知一条曲线在x轴的上方，它上面的每一点到点A（0，2）的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程．
参考答案
一、BCDDA BBCAC．
二、11．0或8；12．；13．；14．，；
三、15．解：设，则有
； ；
由 可得；
解得，从而得，且.
16．解： 由 又由
即，得或.
17．解： ①(－x, y)；②(x, －y)；③(－x, －y)；④(y, x)；⑤(－y, －x).
18．解：三点共线. ； ；
；则，所以三点共线.