平面直角坐标基本公式.doc

2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式 优化训练

1．已知线段AB的中点在坐标原点，且A(x,2)，B(3，y)，则x＋y等于(　　)
A．5　　　　　　　　　　 B．－1
C．1 D．－5
解析：选D.由题意知，x＝－3，y＝－2，则x＋y＝－5.
2．若x轴上的点M到原点及点(5，－3)的距离相等，则M点的坐标是(　　)
A．(－2,0) B．(1,0)
C．(1.5,0) D．(3.4,0)
答案：D
3．若A(a，－ab)，B(b，ab)，则d(A，B)等于(　　)
A．|a－b| B．|a＋b|
C．|a＋b| D．|a－b|
答案：B
4．设点P在x轴上，点Q在y轴上，线段PQ的中点是M(－1,2)，则d(P，Q)＝________.
答案：25
5．已知点P到x轴和点A(－4,2)的距离都是10，则点P的坐标为________．
解析：设P(x，y)，由距离公式，得
|y|＝10(x＋4)2＋(y－2)2＝10，解得x＝2，y＝10，
∴P(2,10)．
答案：(2,10)

1．点A(2a,1)与点B(2，a)之间的距离为(　　)
A.5(a－1) B.5(1－a)
C.5|a－1| D．5(a－1)2
解析：选C.d(A，B)＝(2a－2)2＋(1－a)2＝5|a－1|.
2．已知点A(x,5)关于点C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是(　　)
A．4 B.13
C.15 D.17
解析：选D.
由题意知1＝x－22y＝5－32⇒x＝4y＝1，d＝42＋12＝17.
3．已知△ABC的顶点A(2,3)，B(8，－4)和重心G(2，－1)，则顶点C的坐标是(　　)
A．(4，－3) B．(1,4)
C．(－4，－2) D．(－2，－2)
解析：选C.设C(x，y)，则2＋8＋x3＝2，∴x＝－4.
3＋(－4)＋y3＝－1，∴y＝－2，故选C.
4．某县位于山区，居民的居住区域大致呈如图所示的五边形，近似由一个正方形和两个等腰直角三角形组成，若AB＝60 km，AE＝CD＝30 km，为了解决当地人民看电视难的问题，准备建一个电视转播台，理想方案是转播台距五边形各顶点的距离平方和最小，图中P1、P2、P3、P4是AC的五等分点，则转播台应建在(　　)

A．P1处 B．P2处
C．P3处 D．P4处
解析：选A.以AB为x轴，AE为y轴建立直角坐标系，则A(0,0)，B(60,0)，C(30,30)，D(30,60)，E(0,30)，设点P(x，y)，则f(x，y)＝|AP|2＋|BP|2＋|CP|2＋|DP|2＋|EP|2＝x2＋y2＋(x－60)2＋y2＋(x－30)2＋(y－30)2＋(x－30)2＋(y－60)2＋x2＋(y－30)2＝5x2＋5y2－240x－240y＋10800＝5(x－24)2＋5(y－24)2＋5040.
当x＝y＝24时，f(x，y)有最小值，此时点P为(24,24)与点P1重合．
5．若平行四边形的三个顶点为(3，－2)，(5,2)，(－1,4)，则第四个顶点不可能是(　　)
A．(9，－4) B．(1,8)
C．(－3,0) D．(1，－3)
解析：选D.设第四个顶点为(x，y)，然后分三种情况讨论．若(3，－2)，(5,2)是一条对角线的两端点，则有3＋52＝－1＋x2，－2＋22＝4＋y2，∴x＝9，y＝－4，即第四个顶点为(9，－4)；若(5,2)，(－1,4)为一条对角线的两端点，则第四个顶点为(1,8)；若(3，－2)，(－1,4)为一条对角线的两端点，则第四个顶点为(－3,0)．
6．点A(2,0)，B(4,2)，若|AB|＝2|AC|，则C点坐标为(　　)
A．(－1,1) B．(－1,1)或(5，－1)
C．(－1,1)或(1,3) D．无数多个
解析：选D.设C(x，y)，则(4－2)2＋(2－0)2
＝2(x－2)2＋(y－0)2，
即(x－2)2＋y2＝2.∴存在无数多个C点．
7．点A(－1,2)关于原点的对称点到点(3，m)的距离是25，则m的值是________．
解析：点(－1,2)关于原点的对称点为(1，－2)，
∴(1－3)2＋(－2－m)2＝25，解得m＝2或－6.
答案：2或－6
8．已知△ABC的三个顶点的坐标为A(3，2)、B(0,1)、C(0,3)，则此三角形的形状是________．
解析：∵|AB|＝(3－0)2＋(2－1)2＝2，
|AC|＝(3－0)2＋(2－3)2＝2，
|BC|＝(0－0)2＋(1－3)2＝2，
∴|AB|＝|AC|＝|BC|.
∴△ABC为等边三角形．
答案：等边三角形
9．已知点A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，当|AB|取得最小值时，实数a的值是________．
解析：|AB|2＝(5－a－1)2＋(2a－1－a＋4)2
＝2a2－2a＋25
＝2(a－12)2＋492
∴a＝12时，|AB|最小．
答案：12
2．1．2　平面直角坐标系中的基本公式一、选择题
1．已知点A(－3,4)和B(0，b)，且|AB|＝5，则b等于(　　)
A．0或8 B．0或－8
C．0或6 D．0或－6
2．已知线段AB的中点在坐标原点，且A(x,2)，B(3，y)，则x＋y等于(　　)
A．5 B．－1 C．1 D．－5
3．以A(1,5)，B(5,1)，C(－9，－9)为顶点的三角形是(　　)
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．无法确定
4．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于(　　)
A．5 B．4
C．2 D．2
5．已知点A(1,2)，B(3,1)，则到A，B两点距离相等的点的坐标满足的条件是(　　)
A．4x＋2y＝5 B．4x－2y＝5
C．x＋2y＝5 D．x－2y＝5
6．已知A(－3,8)，B(2,2)，在x轴上有一点M，使得|MA|＋|MB|最短，则点M的坐标是(　　)
A．(－1,0) B．(1,0)
C． D．二、填空题
7．已知点A(x,5)关于点C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是________．
8．点M到x轴和到点N(－4,2)的距离都等于10，则点M的坐标为______________．
9．等腰三角形ABC的顶点是A(3,0)，底边长|BC|＝4，BC边的中点是D(5,4)，则此三角形的腰长为_________________________________________________________________．
三、解答题
10．已知A(6,1)、B(0，－7)、C(－2，－3)．
(1)求证：△ABC是直角三角形；
(2)求△ABC的外心的坐标．
11．求证：三角形的中位线长度等于底边长度的一半．
能力提升
12．求函数y＝＋的最小值．
13．求证：＋＋
＋≥2．
2．1．2　平面直角坐标系中的基本公式1．A　[由＝5，解得b＝0或8．]
2．D　3．B
4．C　[设A(a,0)，B(0，b)，则＝2，＝－1，
解得a＝4，b＝－2，∴|AB|＝2．]
5．B　[设到A、B距离相等的点P(x，y)，
则由|PA|＝|PB|得，
4x－2y＝5．]
6．B
　[(如图)
A关于x轴对称点为
A′(－3，－8)，
则A′B与x轴的交点即为M，
求得M坐标为(1,0)．]
7．
解析　由题意知解得
∴d＝＝．
8．(2,10)或(－10,10)
解析　设M(x，y)，
则|y|＝＝10．
解得或．
9．2
解析　|BD|＝|BC|＝2，
|AD|＝＝2．
在Rt△ADB中，
由勾股定理得腰长|AB|＝＝2．

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．
1．关于位移向量说法正确的是（ ）的大小是数轴上A、B两点到原点距离之差的绝对值。
2．化简等于（ ）　B．零位移　C．　 D．
3． 若，（其中），向量的最小值（ ） B．0C． D．
4．数轴上到，两点距离之和等于1的点的集合为（ ）
5．方程的解为（ ） B． C． D．
6．已知，，则的垂直平分线方程为（ ） B．
C． D．
7．以为顶点的三角形是（ ）在同一直线上，则实数的值是（ ）到距离最短的点是（ ））
10．轴上点到两点距离的最小值为（ ） C．5 D．17
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．
11．若点与点的距离为5，则 ．
12．若，点是的垂直平分线上一点，则___________．
13．若，则___ __．
14．直线上的两点的横坐标分别为，则两点间的距离为____________；直线上的两点的纵坐标分别为，则两点间的距离为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)．
15．（12分）已知点，在轴上找一点使得，并求出的值．
16．（12分）已知点与间的距离为，求的值．
17．（12分）已知点P (x, y)，则求①关于y轴的对称点；②关于x轴的对称点；③关于原点的对称点；④关于直线y = x的对称点；⑤关于直线y=－x的对称点(－y, －x)．
18．（12分）判断下列A（－1，－1），B（0，1），C（1，3）三点是否共线，并给出证明．
19．（14分）用坐标法证明三角形的中位线长为其对应边长的一半．
20．（14分）已知一条曲线在x轴的上方，它上面的每一点到点A（0，2）的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程．
参考答案
一、BCDDA BBCAC．
二、11．0或8；12．；13．；14．，；
三、15．解：设，则有
； ；
由 可得；
解得，从而得，且.
16．解： 由 又由
即，得或.
17．解： ①(－x, y)；②(x, －y)；③(－x, －y)；④(y, x)；⑤(－y, －x).
18．解：三点共线. ； ；
；则，所以三点共线.