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暑期专题辅导材料二

复习〔第五章 平面向量〕
二. 知识要点：
1. 向量的概念：向量是既有大小，又有方向的量。向量的大小〔长度〕叫做向量的模，模是非负数，可以比拟大小，但由于方向不能比拟大小，所以，向量不可以比拟大小，这是数量与向量的最大差异。
2. 向量的表示方法：
〔1〕几何表示法。向量可以用有向线段表示，如：A→B

3. 零向量与单位向量：
零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0。
单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量。
4. 平行向量、相等向量、共线向量。
平行向量〔共线向量〕：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。规定0与任一向量平行，平行向量也叫做共线向量。
相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。任意两个相等的非零向量都可以用同一条有向线段表示。
5. 向量的加法：
法。
注意：〔1〕两个向量的和仍为向量。
〔2〕对于零向量与任一向量a有a+0=0+a=a。
6. 向量的加法法那么
〔1〕三角形法那么：〔首尾连接〕
〔2〕平行四边形法那么：〔共起点〕
7. 向量的加法运算律。
〔1〕交换律：a+b=b+a
〔2〕结合律：a+(b+c)=(a+b)+c
8. 相反向量：与a长度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量，记作-a。
零向量的相反向量为零向量。
相反向量性质：

9. 向量的减法：向量a加上向量b的相反向量叫做a与b的差。记

求两个向量差的运算叫做向量的减法。
10. 实数与向量的积：
实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：

11. 实数与向量的积的运算律：

12. 一个向量与非零向量共线的充要条件：
向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b=λa。
13. 平面向量的根本定理：如果e1、e2是平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面
把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
14. 向量坐标的概念。
假设i，j分别是与平面直角坐标系内x轴，y轴方向相同的单位向量，且a=xi+yj，那么x叫a在x轴上的坐标，y叫a在y轴上的坐标〔不要说成横坐标，纵坐标〕。记作a=(x,y)。
15. 相等向量坐标的关系。
与向量a=〔x，y〕相等的所有向量的坐标均为〔x，y〕。
16. 向量坐标公式

17. 向量的和、差及实数与向量的积的坐标公式：

18. 向量共线定理：
向量a与非零向量b共线的充要条件是：有且只有一个实数λ，使a=λb。
19. 平行向量的坐标关系：

20. 点分有向线段所成的比的概念。

21. 分点坐标公式。

此公式叫定比分点坐标公式。在此公式中，〔x1，y1〕，(x2，y2)，〔x，y〕分别表示起点，终点，分点的坐标。
22. 中点坐标公式

此即为线段的中点坐标公式。
23. 三角形重心坐标公式。

24. 向量的夹角的概念
叫做a，b的夹角。
注意：〔1〕两个非零向量的夹角的范围为：

25. a与b的数量积的概念
两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，那么数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积〔内积〕，记作a·b。
注意：〔1〕a与b的数量积的结果是一个实数〔可为正数、负数或零〕。

26. b在a方向上的投影。

注意：〔1〕b在a方向上的投影不是向量而是一个实数，它的符号取决于θ角的范围。
〔2〕a在b方向上的投影|a|cosθ。
27. a·b的几何意义

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积，也等于b的长度|b|与a在b方向上的投影|a|cosθ的乘积。
28. 数量积的重要性质
设a，b均为非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角〔那么a与b的夹角也为θ〕，由数量积的定义可得如下五条重要性质：

33. 在平移向量a及平移前后函数图象的解析式y=f(x)，y=g(x)三者之中，知道了两个能求出第三个。
  34. 正弦定理：

余弦定理：

例1. 设a、b是非零向量，且a与b不平行，求证a+b与a-b不平行。
分析：如果结论不成立，即(a+b)//(a-b)，将会得到什么样的结果呢？因为两个向量共线，必定存在一个实数λ，使一个向量的λ倍恰好等于另一个向量。由此得到的关于a、b的等式就能推出与题设矛盾。
解：

小结：命题由否认形式出现，通常可考虑用反证法来证明。因为此题难度不大，所以也可直接利用向量平行的充要条件验证。如，

例2.

分析：〔1〕注意c2=|c|2，根据向量数量积的定义及运算律先求出c2；

解：

小结：第〔2〕题把题中的向量a的起点设为原点，在图中旋转容易理解，但实际上与起点的位置无关。解题的思路能推广到一般情况。另外，结合图形可知n>1，从而在二元二次方程组的解中选取适合题意的解。

例3.

分析：

解：

小结：直接用代数的方法求此题中的函数最值很困难，一般情况下转化为几何模型求解。这里借助向量计算，本质上还是几何模型，但运算简捷了。

例4. 如下图，P、Q是△ABC的边BC上两点，且BP=QC。
求证：

证明：

小结：

例5.

解：

小结：

例6.
解法一：

解法二：

小结：在采用定比分点公式解题时，起点、终点、分点及相应的比值λ都是相对的，它们的位置关系可以根据问题的特点作适当调整。

例7.

解法一：

解法二：

由定比分点公式，可得：

小结：此题是向量坐标表示的典型题，方法一主要是运用假设向量相等，那么其坐标相等这一原那么来解，思路清晰，易于理解，方法二主要运用定比分点公式求点的坐标，此题关形式，从而分别求出λ。
例8.

解：

小结：本例为2002年高考题〔21〕题第〔1〕小题，主要考查向量的数量积的坐标表示及等差数列根底知识等。

例9.
解法一：

解法二：

小结：从本例可以看出，如果把函数图像的解析式从一种形式变为另一种形式有两种方法，这两种方法实质相同，都应对此深刻理解。

综合练习
一. 选择题
1. 以下说法中正确的选项是〔 〕
A. 两个长度相等的向量一定相等，
B. 相等的向量起点必相同
C. 共线，那么A、B、C、D四点必在同一直线上
D. 相等的向量一定是平行向量
2. 向量
A. 充分不必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 非充分也非必要条件
3. 为非零向量，且，那么〔 〕
A. 方向相同
B.
C.
D. 以上都不对
4. 化简的结果是〔 〕
A. B. C. D.
5. 假设，那么向量=〔 〕
A. B. C. D.
6. 在四边形ABCD中，，，其中、不共线，那么四边形ABCD为〔 〕
A. 平行四边形 B. 矩形 C. 梯形 D. 菱形
7. 假设三点共线，那么〔 〕
A. B.
C. D.
8. 与向量平行的向量是〔 〕
A. B.
C. D.
9. 两点分有向线段所成的比
A. B.
C. D.
10. 点P分
A. B. C. D.
11. 的三个值分别是〔 〕
A.
B.
C.
D. 以上答案都不对
12. 假设把一个函数的图象按平移后得到函数的图象，那么原函数的解析式为〔 〕
A.
B.
C.
D.

二. 填空题
13. 假设，那么的夹角为________________。
14. ，那么k=___________
15. _____
16. ___________

三. 解答题
17. 设，，假设A、B、D三点共线，试求k的值。

18. 向量，且，求x的值。

19. ，求的夹角。

20. 平面内有向量，点C为直线上的一动点，〔1〕当取最小值时，求的坐标。〔2〕当点C满足〔1〕时，求的值。

【参考答案】
一. 选择题
1. D 2. B 3. A 4. B 5. B
6. C 7. B 8. A 9. A 10. C
11. C 12. D

二. 填空题
13. 14.
15. 16.

三. 解答题
17. 设是两个不共线向量，，，假设A、B、D三点共线，试求k的值。
解：

18. 向量，且，求x的值。
解：

19. ，求的夹角。
解：

20. 平面内有向量，点C为直线上的一动点，〔1〕当取最小值时，求的坐标。〔2〕当点C满足〔1〕时，求的值。
解：〔1〕设

〔2〕