这个点叫费尔马点。
费尔马点——就是到三角形的三个顶点的距离之和最短的点。 对于一个顶角不超过120度的三角形,费尔马点是对各边的张角都是120度的点。 对于一个顶角超过120度的三角形,费尔马点就是最大的内角的顶点。
如右图中,设P为三角形ABC中任意一点。
将三角形ABP绕点B逆时针旋转60度得三角形EBD,有
ED=AP,∠EDB=∠APB,BD=BP,∠DBP=60度,三角形DBP是正三角形,DP=BP。
要使PA+PB+PC最小,只要ED+DP+PC最小。
由两点之间线段最短,必须EDPC在一条直线上,
因∠PDB=∠DPB=60度,故必须∠EDB=∠BPC=120度,
即当∠APB=∠BPC=∠APC=120度时,PA+PB+PC最小。(因图片超限,详见参考资料)
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