初等变换与等价矩阵.doc

第六讲 初等变换与初等矩阵
一、考试内容与考试要求
考试内容
矩阵的初等变换；初等矩阵；矩阵的等价．
考试要求
（1）掌握矩阵的初等变换及用途；
（2）了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念．
二、知识要点
引入 由于初等行变换具有不改变线性方程组的解、初等变换不改变矩阵秩等特点，初等变换在线性代数课程的学习中占有重要的作用，它的应用贯穿了全课程的内容，这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算，必须十分熟练．本讲通过对初等变换这个知识点的用途进行总结，学习相关内容．
1．初等变换与初等矩阵
线性方程组的基本方法即中学课程中的消元法：用同解变换把方程组化为阶梯形方程组．线性方程组的同解变换有三种：① 交换两个方程的上下位置．② 用一个非0的常数乘某个方程．③ 把某个方程的倍数加到另一个方程上．
以上变换反映在增广矩阵上就是三种初等行变换．
（1）初等变换
矩阵有以下三种初等行变换：
① 交换两行的位置；
② 用一个非0的常数乘某一行的各元素；
③ 把某一行的倍数加到另一行上．(称这类变换为倍加变换) ．
类似地，矩阵还有相应的三种初等列变换，初等行变换与初等列变换统称初等变换．
每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵（行最简形）．
一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是惟一的但是其非零行数和台角位置是确定的．一个矩阵用初等行变换化得的行最简形是惟一的．行最简形矩阵应用最多，它的特点是：非零行的第一个非零元素为1，且这些非零元所在的列的其他元素都是0．
注 ：表示初等变换：：表示初等行变换；：表示初等列变换；：将第行与第行进行对换，将第行各个元素的倍加到第行相应元素上；等等．
（2）矩阵的等价
矩阵之间的关系有三种情形：等价、相似与合同．其中相似与合同分别在第十四讲和第十五讲中学习，这里首先学习矩阵的等价．
定义：矩阵经有限次初等变换得矩阵，则称矩阵与等价，记为．
的充分必要条件是下列任一条件：
① 存在可逆矩阵，；
② 与有相同的秩．其中、为同型矩阵；
③ 与有相同的等价标准形；
④ 存在初等矩阵，；
矩阵经有限次初等行变换得矩阵，则称矩阵与行等价，记为；
矩阵经有限次初等列变换得矩阵，则称矩阵与列等价，记为．
等价的性质
① 反身性：
② 对称性：若，则
③ 传递性：若，，则
由上面可得矩阵可逆的充分必要条件
① ；
② 是它可表示成有限个初等矩阵的乘积；
③ 存在可逆矩阵，.
（3） 初等矩阵
　 对单位矩阵实施一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵．初等矩阵有三种：
① 交换的行（或列）得到的初等矩阵，记为或；
② 的行（或列）乘以不为零的数得到的初等矩阵，记为或；
③ 的第行（或列）乘以数加到第行（或列）上得到的初等矩阵，记为或．
（4） 初等矩阵的性质
利用行列式的性质，很明显有
① ② （） ③
由于初等矩阵的行列式不为零，故初等矩阵是可逆的，其逆为：
④ ⑤ （） ⑥
证明 ⑥
=
==
⑦ ⑧ （） ⑨
⑩ ② （） ③
证明 ⑩，其它类似可证明．
这些公式在解题时可直接用结论，不用计算．这样可简化运算，如利用有：

每一种初等变换都对应一种初等矩阵．对进行一次初等变换行（列）变换，相当于左（右）乘一个同类型的初等矩阵．
2．初等变换的用途
以初等变换的用途为例探讨这种角度的学习．这里总结了初等变换这个知识点的九种用途．
（1）求解线性方程组或的解，即：
行最简形
（2）求矩阵的逆，即：
或
（3）求矩阵方程的解，当可逆时，有：

（4）求矩阵的秩，即：

或化成行（或列）阶梯形，其中非零行（或列）的个数为秩．
（5）求向量组的最大线性无关组，即：
行最简形
从行最简形得出向量组的最大线性无关组．
（6）判断向量组的线性相关与线性无关性
由的解是非零解或惟一零解来判断向量组的线性相关与线性无关性：
n维向量组
或由向量组的秩，来判断向量组的线性相关与线性无关性：
若，向量组线性相关；若，向量组线性相关．
（7）判断向量是否可由向量组线性表示，即：
记=，需判断是否有解，即是否成立．
（8）判断向量组与的等价，即：
记=，，则时两个向量组等价．
（9）若行等价于，即，则，可求出：

或 ，则，可由求出。
（10）求矩阵特征向量
获得矩阵的特征值后，用初等变换求解齐次方程，得到特征向量．
三、基础训练
以下的例题是按上述的初等变换的用途按顺序举例的．
例1 求解线性方程组．

解

得 ，
齐次方程组的基础解系 ，=
原方程组的一个特解为，故原方程组的全部解为
++ （）
例 求解下面的线性方程组，并用基础解系表示线性方程组的全部解．　

解 这仍然是为初等变换的用途1的举例．

；，得基础解系，=．
方程组的全部解为+（）．
例2 设，求．
解 因为，可逆，且
=
有 =
例 设（，求．
解 只要，即可判断可逆．故
=

=
例3 求解矩阵方程，其中．　
解 ，，
==,
=

=
故
例4 设向量组，，的秩为2，求的值．
解 =
　　　　 ，，，．
例5 求向量组，，，
，的秩和它的一个最大无关组，并将其余向量用此最大无关组表示． 　
解 ==

=2，为一个最大线性无关组，，，．
例6 设=，=，=．（1）问为何值时，向量组线性相关？
（2）问为何值时，向量组线性无关？（3）当向量组线性相关，将表示成的线性组合．
解 利用向量组的秩判断．设，则

（1）当时，向量组线性相关．
（2）当时，向量组线性无关．
（3）当线性相关时，即，有

所以．
例7 设有三维向量
, ,,
问取何值时，（1） b可由线性表示, 且表达式惟一; （2） b可由线性表示, 但表达式不惟一;（3） b不能由线性表示.
解 设，将分量代入得到方程组

记，对增广矩阵作初等行变换
=
（1）若，即，则，方程组有惟一解，所以b可由惟一线性表示．
（2）若，则=1，方程组有无穷多解，即b可由线性表示，但表示法不惟一．
（3）若，则，，方程组无解，即b不能由线性表示．
例8 已知向量组（I）：=，=；（II）：=，=，=，
证明（I）组与（II）组等价．
解 记，，有

，
=2，故（I）组与（II）组等价．
例9 求矩阵的特征值和特征向量．
解 ====0
特征值为：，．
当时，用初等行变换求得，特征向量是，．
当时，用初等行变换求得，特征向量是（为常数且不同时为零）．
四、综合训练
例6.1 下列矩阵中，那些是行最简形？
（1） （2） （3）
解 ，非零行的第一个非零元素为1，且这些非零元所在的列的其他元素都是0，故是行最简形．
不是，但为行最简形．
例6.2 设A、B为同阶可逆矩阵, 则
(A) AB = BA (B) 存在可逆矩阵P, 使
(C) 存在可逆矩阵C, 使 (D) 存在可逆矩阵P和Q, 使
解 (D)正确。
因为A可逆, 存在可逆使：
因为B可逆, 存在可逆使：
所以=，于是有

令, ，即.
(A) (B) (C) (D)
解 (D)正确．因为进行初等列变换，相当于右乘一个同类型的初等矩阵，故有题设，有
=，
于是 =
故选 (D)．
例6.4 设, , , 设有P2P1A = B, 则P2 =（ ）．
(A) (B) (C) (D)
解 (B)正确。由于左乘一个初等矩阵，相当于进行一个同类型的初等行变换， P1A表示互换A的第一、二行. B表示A先互换第一、二行, 然后将互换后的矩阵的第一行乘以(－1)加到第三行. 所以P2 = ，故选(B).
例6.5（数一，97，5分）设是n阶可逆矩阵，将的第行和第行交换后得到的矩阵记为．(1) 证明可逆；(2) 求．
解 (1) 由于将的第行和第行交换后得到矩阵，故，于是有，故可逆．
(2) ===．
例6.6（数一，05，4分）设是3阶可逆矩阵，交换的1，2行得，则
（A）交换的1，2列得到 （B）交换的1，2行得到
（C）交换的1，2列得到 （D）交换的1，2行得到
解 （C）正确。由于交换的1，2行得，故存在初等矩阵，有，则

即，交换的1，2列得到，故选（C）．
例6.7 （数三，04，4分）设阶矩阵与等价，则必有
(A) 当时， (B) 当时，
(C) 当时， (D) 当时，
解 (D)正确。因为矩阵与等价，即经初等矩阵得，与等价的充分必要条件是与有相同的秩．当，，，所以(D)正确．
经初等变换其行列式的值不一定相等或保持变号，故(A) 、(B)不正确．
当，=，而C)不正确．
例6.8 设A, B都是n阶方阵, 试证明: .
解 用初等变换将化为分块上或下三角矩阵．
因为
即
这一步借助了左乘一个初等矩阵相当于进行初等行变换，只是这里矩阵是分块矩阵．
所以
有
所以
例6.9设为阶可逆方阵，求证=
解 令，想法把写成两个分块三角矩阵的乘积．
将的第1列的（-1）倍加到第2列（右乘一个初等矩阵，相当于进行一个同类型的初等列变换），即

=
=
由于

所以 =
注 这道题是第五讲的例5.5．在这用初等矩阵的性质进行求解显的不简单，但学生应对这种方法有所了解．
例6.10 设是矩阵，，其秩，则（ ）正确．
（1）存在阶可逆阵，使
（2）存在阶不可逆阵，使
（3）齐次线性方程组只有零解
（4）非齐次线性方程组一定有无穷多解
解（4）正确. 证明：非齐次方程的系数增广矩阵的秩满足

于是，未知元个数，从而方程必有无穷多解.
不正确的情形用反例说明：
（1）不正确. 因P是可逆矩阵，表示对A进行有限次初等行变换化为，举反例：取，显然，对A作任何的初等行变换均不能变成为.
（2）不正确.反例：取，设若存在一个2阶矩阵
使，即

比较上式两矩阵的对应元素，得，故对于上述矩阵A，不存在不可逆的2阶矩阵，使
（3）不正确.反例：取则显然是它的非零解.
15