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第六讲 初等变换与初等矩阵
一、考试内容与考试要求
考试内容
矩阵的初等变换；初等矩阵；矩阵的等价．
考试要求
（1）掌握矩阵的初等变换及用途；
（2）了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念．
二、知识要点
引入 由于初等行变换具有不改变线性方程组的解、初等变换不改变矩阵秩等特点，初等变换在线性代数课程的学习中占有重要的作用，它的应用贯穿了全课程的内容，这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算，必须十分熟练．本讲通过对初等变换这个知识点的用途进行总结，学习相关内容．
1．初等变换与初等矩阵
线性方程组的基本方法即中学课程中的消元法：用同解变换把方程组化为阶梯形方程组．线性方程组的同解变换有三种：① 交换两个方程的上下位置．② 用一个非0的常数乘某个方程．③ 把某个方程的倍数加到另一个方程上．
以上变换反映在增广矩阵上就是三种初等行变换．
（1）初等变换
矩阵有以下三种初等行变换：
① 交换两行的位置；
② 用一个非0的常数乘某一行的各元素；
③ 把某一行的倍数加到另一行上．(称这类变换为倍加变换) ．
类似地，矩阵还有相应的三种初等列变换，初等行变换与初等列变换统称初等变换．
每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵（行最简形）．
一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是惟一的，但是其非零行数和台角位置是确定的．一个矩阵用初等行变换化得的行最简形是惟一的．行最简形矩阵应用最多，它的特点是：非零行的第一个非零元素为1，且这些非零元所在的列的其他元素都是0．
注 ：表示初等变换：：表示初等行变换；：表示初等列变换；：将第行与第行进行对换，将第行各个元素的倍加到第行相应元素上；等等．
（2）矩阵的等价
矩阵之间的关系有三种情形：等价、相似与合同．其中相似与合同分别在第十四讲和第十五讲中学习，这里首先学习矩阵的等价．
定义：矩阵经有限次初等变换得矩阵，则称矩阵与等价，记为．
的充分必要条件是下列任一条件：
① 存在可逆矩阵，；
② 与有相同的秩．其中、为同型矩阵；
③ 与有相同的等价标准形；
④ 存在初等矩阵，；
矩阵经有限次初等行变换得矩阵，则称矩阵与行等价，记为；
矩阵经有限次初等列变换得矩阵，则称矩阵与列等价，记为．
等价的性质
① 反身性：
② 对称性：若，则
③ 传递性：若，，则
由上面可得矩阵可逆的充分必要条件
① ；
② 是它可表示成有限个初等矩阵的乘积；
③ 存在可逆矩阵，.
（3） 初等矩阵
　 对单位矩阵实施一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵．初等矩阵有三种：
① 交换的行（或列）得到的初等矩阵，记为或；
② 的行（或列）乘以不为零的数得到的初等矩阵，记为或；
③ 的第行（或列）乘以数加到第行（或列）上得到的初等矩阵，记为或．
（4） 初等矩阵的性质
利用行列式的性质，很明显有
① ② （） ③
由于初等矩阵的行列式不为零，故初等矩阵是可逆的，其逆为：
④ ⑤ （） ⑥
证明 ⑥
=
==
⑦ ⑧ （） ⑨
⑩ ② （） ③
证明 ⑩，其它类似可证明．
这些公式在解题时可直接用结论，不用计算．这样可简化运算，如利用有：

每一种初等变换都对应一种初等矩阵．对进行一次初等变换行（列）变换，相当于左（右）乘一个同类型的初等矩阵．
2．初等变换的用途
以初等变换的用途为例探讨这种角度的学习．这里总结了初等变换这个知识点的九种用途．
（1）求解线性方程组或的解，即：
行最简形
（2）求矩阵的逆，即：
或
（3）求矩阵方程的解，当可逆时，有：

（4）求矩阵的秩，即：

或化成行（或列）阶梯形，其中非零行（或列）的个数为秩．
（5）求向量组的最大线性无关组，即：
行最简形
从行最简形得出向量组的最大线性无关组．
（6）判断向量组的线性相关与线性无关性
由的解是非零解或惟一零解来判断向量组的线性相关与线性无关性：
n维向量组
或由向量组的秩，来判断向量组的线性相关与线性无关性：
若，向量组线性相关；若，向量组线性相关．
（7）判断向量是否可由向量组线性表示，即：
记=，需判断是否有解，即是否成立．
（8）判断向量组与的等价，即：
记=，，则时两个向量组等价．
（9）若行等价于，即，则，可求出：

或 ，则，可由求出。
（10）求矩阵特征向量
获得矩阵的特征值后，用初等变换求解齐次方程，得到特征向量．
三、基础训练
以下的例题是按上述的初等变换的用途按顺序举例的．
例1 求解线性方程组．

解

得 ，
齐次方程组的基础解系 ，=
原方程组的一个特解为，故原方程组的全部解为
++ （）
例 求解下面的线性方程组，并用基础解系表示线性方程组的全部解．　

解 这仍然是为初等变换的用途1的举例．

；，得基础解系，=．
方程组的全部解为+（）．
例2 设，求．
解 因为，可逆，且
=
有 =
例 设（，求．
解 只要，即可判断可逆．故
=

=
例3 求解矩阵方程，其中．　
解 ，，
==,
=

=
故
例4 设向量组，，的秩为2，求的值．
解 =
　　　　 ，，，．
例5 求向量组，，，
，的秩和它的一个最大无关组，并将其余向量用此最大无关组表示． 　
解 ==

=2，为一个最大线性无关组，，，．
例6 设=，=，=．（1）问为何值时，向量组线性相关？
（2）问为何值时，向量组线性无关？（3）当向量组线性相关，将表示成的线性组合．
解 利用向量组的秩判断．设，则

（1）当时，向量组线性相关．
（2）当时，向量组线性无关．
（3）当线性相关时，即，有

所以．
例7 设有三维向量
, ,,
问取何值时，（1） b可由线性表示, 且表达式惟一; （2） b可由线性表示, 但表达式不惟一;（3） b不能由线性表示.
解 设，将分量代入得到方程组

记，对增广矩阵作初等行变换
=
（1）若，即，则，方程组有惟一解，所以b可由惟一线性表示．
（2）若，则=1，方程组有无穷多解，即b可由线性表示，但表示法不惟一．
（3）若，则，，方程组无解，即b不能由线性表示．
例8 已知向量组（I）：=，=；（II）：=，=，=，
证明（I）组与（II）组等价．
解 记，，有

，
=2，故（I）组与（II）组等价．
例9 求矩阵的特征值和特征向量．
解 ====0
特征值为：，．
当时，用初等行变换求得，特征向量是，．
当时，用初等行变换求得，特征向量是（为常数且不同时为零）．
四、综合训练
例6.1 下列矩阵中，那些是行最简形？
（1） （2） （3）
解 ，非零行的第一个非零元素为1，且这些非零元所在的列的其他元素都是0，故是行最简形．
不是，但为行最简形．
例6.2 设A、B为同阶可逆矩阵, 则
(A) AB = BA (B) 存在可逆矩阵P, 使
(C) 存在可逆矩阵C, 使 (D) 存在可逆矩阵P和Q, 使
解 (D)正确。
因为A可逆, 存在可逆使：
因为B可逆, 存在可逆使：
所以=，于是有

令, ，即.
(A) (B) (C) (D)
解 (D)正确．因为进行初等列变换，相当于右乘一个同类型的初等矩阵，故有题设，有
=，
于是 =
故选 (D)．
例6.4 设, , , 设有P2P1A = B, 则P2 =（ ）．
(A) (B) (C) (D)
解 (B)正确。由于左乘一个初等矩阵，相当于进行一个同类型的初等行变换， P1A表示互换A的第一、二行. B表示A先互换第一、二行, 然后将互换后的矩阵的第一行乘以(－1)加到第三行. 所以P2 = ，故选(B).
例6.5（数一，97，5分）设是n阶可逆矩阵，将的第行和第行交换后得到的矩阵记为．(1) 证明可逆；(2) 求．
解 (1) 由于将的第行和第行交换后得到矩阵，故，于是有，故可逆．
(2) ===．
例6.6（数一，05，4分）设是3阶可逆矩阵，交换的1，2行得，则
（A）交换的1，2列得到 （B）交换的1，2行得到
（C）交换的1，2列得到 （D）交换的1，2行得到
解 （C）正确。由于交换的1，2行得，故存在初等矩阵，有，则

即，交换的1，2列得到，故选（C）．
例6.7 （数三，04，4分）设阶矩阵与等价，则必有
(A) 当时， (B) 当时，
(C) 当时， (D) 当时，
解 (D)正确。因为矩阵与等价，即经初等矩阵得，与等价的充分必要条件是与有相同的秩．当，，，所以(D)正确．
经初等变换其行列式的值不一定相等或保持变号，故(A) 、(B)不正确．
当，=，而，，(C)不正确．
例6.8 设A, B都是n阶方阵, 试证明: .
解 用初等变换将化为分块上或下三角矩阵．
因为
即
这一步借助了左乘一个初等矩阵相当于进行初等行变换，只是这里矩阵是分块矩阵．
所以
有
所以
例6.9设为阶可逆方阵，求证=
解 令，想法把写成两个分块三角矩阵的乘积．
将的第1列的（-1）倍加到第2列（右乘一个初等矩阵，相当于进行一个同类型的初等列变换），即

=
=
由于

所以 =
注 这道题是第五讲的例5.5．在这用初等矩阵的性质进行求解显的不简单，但学生应对这种方法有所了解．
例6.10 设是矩阵，，其秩，则（ ）正确．
（1）存在阶可逆阵，使
（2）存在阶不可逆阵，使
（3）齐次线性方程组只有零解
（4）非齐次线性方程组一定有无穷多解
解（4）正确. 证明：非齐次方程的系数增广矩阵的秩满足

于是，未知元个数，从而方程必有无穷多解.
不正确的情形用反例说明：
（1）不正确. 因P是可逆矩阵，表示对A进行有限次初等行变换化为，举反例：取，显然，对A作任何的初等行变换均不能变成为.
（2）不正确.反例：取，设若存在一个2阶矩阵
使，即

比较上式两矩阵的对应元素，得，故对于上述矩阵A，不存在不可逆的2阶矩阵，使
（3）不正确.反例：取则显然是它的非零解.
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