福建省南安一中高三数学上学期期末试题-理-新人教A版.doc

南安一中2012～2013学年度上学期期末考高三数学科试卷（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合A＝{x|－1＜x ≤ 2，x∈N}，集合B＝{2，3}，则A∪B等于（ ）
. {1，2，3} .{0，1，2，3} . {2} .{－1，0，1，2，3}
2．如果复数是纯虚数，则实数的值为（ ）
. . . 或 .或
3．已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4.图1是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，
则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（ ）
A．65 B．64 C．63 D．62

5.若椭圆经过点P（2，3），且焦点为F1(－2,0),F2(2,0)，
则这个椭圆的离心率等于 （ ）
A. B. C. D.
6.等差数列为一个确定的常数，则下列各个前项和中，也为确定的常数的是（ ）
A．S6 B．S11 C．S12 D．S13
7.已知p：关于x的不等式x2+2ax－a>0的解集是R，q：－1道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有 （ ）
A．24种 B．36种 C．48种 D．72种
10．现有四个函数：① ② ③ ④的图像（部分）如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图像对应的函数序号安排正确的一组是（ ）

o
x

o
x
y
o
y
x
o
x
y
x
x
y
o

A．④①②③　 B．①④③②　　 C．①④②③　　 D．③④②①

第Ⅱ卷
开始

是
输入p
结束
输出
否

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分
11.函数的最大值是 .
12．若，
则的值为 .
13．设变量满足约束条件：，
则的最小值是 .
14. 执行右边的程序框图，若，则输出的 .

15．如图，一个类似杨辉三角的递推式，则
第n行(n≥2)的第2个数为 .

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
16．(本小题满分13分) △ABC中内角A、B、C所对边分别为a、b、c，已知A＝，c＝，b＝1
(1)求a的长及B的大小；
(2)若0＜x≤B，求函数f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－的值域.

17.(本小题满分13分) 甲、乙两名同学参加一项射击游戏，两人约定，其中任何一人每射击一次，击中目标得2分，未击中目标得0分.若甲、乙两名同学射击的命中率分别为和p ，且甲、乙两人各射击一次所得分数之和为2的概率为，假设甲、乙两人射击互不影响.
(1)求p的值；
(2) 记甲、乙两人各射击一次所得分数之和为ξ，求ξ的分布列和数学期望.

18. (本小题满分13分)
如图，在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，
D
A
C
O
B
E
（1）求证：平面BCD；
（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；
（3）求点E到平面ACD的距离．

19.（本小题满分13分）已知椭圆过点，且离心率。
（1）求椭圆方程；
（2）若直线与椭圆交于不同的两点、，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围．

20．（本小题满分14分） 已知函数，其中。
（1）若是函数的极值点，求实数的值；
（2）若对任意的（为自然对数的底数）都有成立，求实数的取值范围．

21．本题有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题计分．
（1）（本小题满分7分）矩阵与变换
二阶矩阵对应的变换将向量，分别变换成向量，，直线 在的变换下所得到的直线的方程是，求直线的方程．

（2）（本小题满分7分）已知圆.
（1）写出此圆的参数方程.
（2）求圆上一点M到直线：距离的最小值.

（3）（本小题满分7分）不等式选讲
若不等式，对满足的一切实数恒成立，求实数的取值范围．

南安一中2012～2013学年度上学期期末考高三数学科参考解答（理科）
一、选择题：BADBC BCABC
二填空题： 11. 12。 1 13. -8 14. 15.
三、解答题
16(本小题满分13分)
△ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，已知A＝，c＝，b＝1 (1)求a的长及B的大小；
(2)若0＜x≤B，求函数f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－的值域.
解：(1)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccossA＝4－2cos＝1
Þ a＝1 ……4
∴B＝A＝； ……6
(2)f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－＝sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋) ……9
由(1)，0＜x≤ Þ ＜2x＋≤ Þ ≤sin(2x＋)≤1 ……12
∴函数的值域为[，2] ……13
17.(本小题满分13分)
甲、乙两名同学参加一项射击游戏，两人约定，其中任何一人每射击一次，
击中目标得2分，未击中目标得0分.若甲、乙两名同学射击的命中率分别
为和p ，且甲、乙两人各射击一次所得分数之和为2的概率为，假设
甲、乙两人射击互不影响.
(1)求p的值；
(2) 记甲、乙两人各射击一次所得分数之和为ξ，求ξ的分布列和数学期望.
(1)设“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B，则 ……1分
依题意得， ……3分
解得，故p的值为. ……5分
(2)ξ的取值分别为0，2，4. ……6分
，
，
， ……9分
∴ξ的分布列为
ξ
0
2
4
P

……12分
∴Eξ= ……13分
D
A
C
O
B
E
18如图，在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，
（Ⅰ）求证：平面BCD；
（Ⅱ）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；
（Ⅲ）求点E到平面ACD的距离．
解:方法一：⑴．证明：连结OC
………… 1分
A
C
D
O
B
E
Ｍ
，． ……… 2分
在中，由已知可得
而，
即 ………………… 4分
∴平面． …………………………… 5分
⑵．解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为
BC的中点知，
∴　直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角，……………7分
在中，
是直角斜边AC上的中线，∴
∴， ……………………… 8分
∴异面直线AB与CD所成角的余弦值为． ………………………… 9分
⑶．解：设点E到平面ACD的距离为． ， ………………………………………………12分
在中，,
,而，．
∴， ∴点E到平面ACD的距离为 …13分
方法二：⑴．同方法一．
⑵．解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则

A
C
D
O
B
E
y
z
x
， …………… 8分
∴ 异面直线AB与CD所成角的余弦值为．…… 9分
⑶．解：设平面ACD的法向量为则
，
∴，令得是平面ACD的一个法向量．…11分
又 ∴点E到平面ACD的距离 ．…13分
19（本小题满分13分）已知椭圆过点，且离心率。
（1）求椭圆方程；
（2）若直线与椭圆交于不同的两点、，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围。
解：（Ⅰ）由题意椭圆的离心率
∴椭圆方程为 ……2分
又点在椭圆上 ∴椭圆的方程为 ……4分
（Ⅱ）设
由
消去并整理得 ……6分
∵直线与椭圆有两个交点
，即 ……8分
又
中点的坐标为 ……10分
设的垂直平分线方程：
在上
即
……12分
将上式代入得
即或
的取值范围为 ………13分
20．（本小题满分14分）
已知函数，其中。
（1）若是函数的极值点，求实数的值；
（2）若对任意的（为自然对数的底数）都有成立，求实数的取值范围。
1）解法1：∵，其定义域为，
∴．
∵是函数的极值点，∴，即．
∵，∴．
经检验当时，是函数的极值点，
∴．　 ……4分
解法2：∵，其定义域为，
∴．
令，即，整理，得．
∵，
∴的两个实根（舍去），，
当变化时，，的变化情况如下表：

—
0
＋

极小值

依题意，，即，
∵，∴． ……4分
（2）解：对任意的都有≥成立等价于对任意的都有≥．
当［1，］时，．
∴函数在上是增函数．
∴． ……6分
∵，且，． ……7分
①当且［1，］时，，
∴函数在［1，］上是增函数，
∴.
由≥，得≥，又，∴不合题意． ……9分
②当1≤≤时，
若1≤＜，则，
若＜≤，则．
∴函数在上是减函数，在上是增函数．
∴.
由≥，得≥，
又1≤≤，∴≤≤． ……11分
③当且［1，］时，，
∴函数在上是减函数．
∴.
由≥，得≥，又，∴． ……13分
综上所述，的取值范围为． ……14分

21、本题有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题计分．
（1）（本小题满分7分）矩阵与变换
二阶矩阵对应的变换将向量，分别变换成向量，，直线 在的变换下所得到的直线的方程是，求直线的方程．
（1）解：设，则由题知所以
，解得，所以。 ……（3分）
设点是直线上任一点，在变换下对应的点为，那么
即。 ……（5分）
因为，即，
因此直线的方程是。 ……（7分）
（2）（本小题满分7分）坐标系与参数方程
已知圆. （1）写出此圆的参数方程.
（2）求圆上一点M到直线：距离的最小值.
解：（1）此圆的参数方程为: ……(2)分
（2）直线的直角坐标方程为：. ……(4)分
圆的圆心坐标为，半径，
圆心到直线的距离 …… (6)分
因此点M到直线距离的最小值 …… (7分)
（3）（本小题满分7分）不等式选讲
若不等式，对满足的一切实数恒成立，求实数的取值范围．
解:由柯西不等式, …… (3分)
即,当且仅当 (4分)
即时, 取得最大值.3． ……(5分)
不等式,对满足的一切实数恒成立,只需解得或,或．即实数的取值范围是． ……(7分)

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