蓝田县洩湖中学王锦锋.doc

蓝田县洩湖中学  王锦锋
瞬时变化率(教案)
项 目
内 容

教
学
目
标
知识与
技能
1、理解函数瞬时变化率的概念。
2、会求简单函数y＝f（x）在x＝x0处的瞬时变化率。

过程与
方法
1、让学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，体会瞬时变化率所蕴涵的逼近思想，以及利用已知探索未知的思考方法。
2、通过设计一系列的问题，让学生经历由提出问题到解决问题的过程，让学生在做题中学习、领悟数学，培养学生学习数学的信心。
情感态度与价值观
以丰富的实际问题作背景，让学生经历由提出问题到解决问题的过程认识到研究瞬时变化率的价值与必要性，体会数学思想方法的无比魅力，培养学生学习数学的兴趣。
教学
重点
1、让学生理解瞬时变化率的概念；
2、会求简单函数y＝f（x）在x＝x0处的瞬时变化率。
教学
难点
1、由平均变化率引入瞬时变化率；
2、对瞬时变化率概念的理解。
教学思想方法与
手段
教学思想方法：（1）由提出问题到解决问题的过程，让学生在做题中学习数学，领悟数学。（2）在教学中灌输研究问题的思路与方法：由特殊到一般，再由一般到特殊。
教学手段：多媒体辅助教学。
教
学
设计
复
习
提
问
同学们，上一节课我跟大家一起围绕我们提出的问题，学习了平均变化率，下面我们首先回顾一下上节课学习的内容。
问题一：已知函数y＝f（x），自变量x从x1变为x2时，函数y＝f（x）的平均变化率如何表示？它的几何意义又是什么？
问题二：平均变化率反映变化的快慢。请联系实际谈一谈研究平均变化率的价值与意义。

创
设 情
境
习题：（1）已知函数f（x）=–x2 +4x，求自变量从x1=1变到x2 =3的 平均变化率。
（2）已知一物体作直线运动，其运动的位移S(单位：m)与时间t(单位：s)满足：S（t）=–t2 +4t, 求t1=1到t2 =3这段时间的平均速度。

提出
问题
引入
新课
问题三：，同学们，由前面习题的结果，请思考下面几个问题：
（1）物体在这段时间内是静止的吗？
（2）你认为我们用平均速度描述物体的运动状态有问题吗？
（3）你认为怎样才能更精确地描述物体的运动状态？
（4）你认为我们生活中还有哪些地方用到瞬时速度？

教
学
设
计

新
课
学
习
一、瞬时变化率
为了解决同学们提出的问题，我们对上一节课的例1作进一步的研究：
例1：已知物体运动的位移S（m）与时间t（s）满足关系：S（t）＝2t＋2t2，求：
（1）物体从第1秒到第3秒这段时间内的平均速度；
（2）物体从t1秒到t2秒这段时间内的平均速度；
（3）物体从t1=2秒到t2=2+ △t秒这段时间内的平均速度；
（4）t=2秒时的瞬时速度；
（5）物体从t1= t0秒到t2= t0+△t秒这段时间内的平均速度；
（6）t= t0秒时的瞬时速度。（注：（1）、（2）上节课已经研究过，（3）、（4）、（5）、（6）是本节课研究的内容。此四个问题设置小台阶，让学生一步一个台阶往上走。
然后由特殊到一般引入瞬时变化率的概念：
一般地，对于一个函数y＝f（x），在自变量x从x0到x0+△x的变化过程中，平均变化率为： ，当△x趋于0时，平均变化率趋于的值称为函数y＝f（x）在x=x0点的瞬时变化率。表示为：
对瞬时变化率的理解：瞬时变化率刻画的是函数在某一点处变化的快慢。对于一些实际问题，瞬时变化率富于不同的实际意义。例如：对于物体运动的位移S（m）与时间t（s）的函数S（t）在t= t0时的瞬时变化率即为t= t0时的瞬时速度。
二、例题分析
例1、已知函数，求：（1）x=2时函数的瞬时变化率；（2）x= x0时函数的瞬时变化率；（3）x=1时函数的瞬时变化率。
三、课堂练习：
习题一、已知某物体运动的位移S（m）与时间t（s）满足关系：S（t）＝t2＋2，求物体在下列各时的瞬时速度：
（1）t=0，（2）t=4，（3）t= t0，（4）t秒时。

四、问题解决
下面请同学们与我一起回顾一下上节课开始时提出的两个问题：
问题一、若一个物体作匀加速直线运动，初速度v0=2米/秒，加速度a=10米/秒2。问：
（1）t秒时物体的速度是多少？
（ v(t)=2+10t ）
（2）t秒内物体的平均速度是多少？
( )
（3）t秒内物体运动的位移是多少？
（ s(t)=2t+5t2 ）

教
学
设计

新
课
学
习
问题二、 反过来，若我们知道一个物体运动的位移S（m）与时间t（s）满足关系：S（t）＝2t＋5t2，那么我们是否能够知道物体在任何一段时间内的平均速度？是否能够知道物体在任何一个时刻的瞬时速度？以及是否能够判断物体是以初速度v0＝2米/秒，加速度a＝10米/秒2作匀加速直线运动呢?
例2、已知一个物体运动的位移（m）与时间t（s）满足关系S（t）＝2t＋5 t2，
（1）求物体在t=t0时的瞬时速度；
（2）求物体在t=0的瞬时速度；
（3）求物体t时刻的瞬时速度；
（4）求物体t时刻运动的加速度，并判断物体作什么运动？

课堂小
结

1、 函数瞬时变化率的概念。
2、对函数瞬时变化率的理解：
函数y＝f（x）在x＝x0处的瞬时变化率为 ：
对于不同的实际问题，瞬时变化率富于不同的实际意义，例如：（1）对于位移关于时间的函数St），S（t）在t＝t0时的瞬时变化率表示t＝t0时的瞬时速度；（2）对于速度关于时间的函数V(t)，V(t)在t＝t0时的瞬时变化率表示t＝t0时的瞬时加速度-------。
3、会求函数y＝f（x）在x＝x0处的瞬时变化率。
咀嚼回味渴求新知
同学们，通过前面两节课的学习，请同学们谈一谈你的感触与体会。
学生交流之后，教师指出：通过这两节课，我们由提出问题到解决问题的过程，同学们应该能够初步体会微积分思想方法的魅力。“欲穷千里目，更上一层楼。”随着同学们以后学习的不断深入，你们一定能够更加深刻地领悟微积分的精髓。到那时，同学们一定会拍案叫绝，为微积分的奇妙的思想方法所折服。恩格斯曾这样评价微积分：“它是人类精神的最高胜利”。在数学发展史上，微积分被认为是继欧氏几何后的又一个具有划时代意义的伟大创造，被誉为“数学史上的里程碑”。它在物理、化学、生物、天文、地理以及经济等各个科学领域中都有非常广泛而重要的应用。请同学们回去上网搜索，了解微积分的相关知识，以及对此作出重大贡献的科学家。
教学设计
课
后
作
业

1、已知函数f（x）＝x2－3x
（1）求f（x）在x＝x0处的瞬时变化率。
（2）求f（x）在x＝1处的瞬时变化率。
（3）求f（x）在x＝3处的瞬时变化率。
2、已知一个物体运动的位移（m）与时间t（s）满足关系S（t）＝2t– t2，
（1）求物体在t=t0时的瞬时速度；
（2）求物体在t=0的瞬时速度；
（3）求物体t时刻的瞬时速度；
（4）求物体t时刻运动的加速度，并判断物体作什么运动？
思考题 ：平均变化率的几何意义是：连接两点（x1,f(x1 )）,(x2 ,f(x2))的直线的斜率。那么瞬时变化率的几何意义是什么呢？