蓝田县洩湖中学王锦锋.doc

蓝田县洩湖中学  王锦锋
瞬时变化率(教案)
项 目
内 容

教
学
目
标
知识与
技能
1、理解函数瞬时变化率的概念。
2、会求简单函数y＝f（x）在x＝x0处的瞬时变化率。

过程与
方法
1、让学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，体会瞬时变化率所蕴涵的逼近思想，以及利用已知探索未知的思考方法。
2、通过设计一系列的问题，让学生经历由提出问题到解决问题的过程，让学生在做题中学习、领悟数学，培养学生学习数学的信心。
情感态度与价值观
以丰富的实际问题作背景，让学生经历由提出问题到解决问题的过程，认识到研究瞬时变化率的价值与必要性，体会数学思想方法的无比魅力，培养学生学习数学的兴趣。
教学
重点
1、让学生理解瞬时变化率的概念；
2、会求简单函数y＝f（x）在x＝x0处的瞬时变化率。
教学
难点
1、由平均变化率引入瞬时变化率；
2、对瞬时变化率概念的理解。
教学思想方法与
手段
教学思想方法：（1）由提出问题到解决问题的过程，让学生在做题中学习数学，领悟数学。（2）在教学中灌输研究问题的思路与方法：由特殊到一般，再由一般到特殊。
教学手段：多媒体辅助教学。
教
学
设计
复
习
提
问
同学们，上一节课我跟大家一起围绕我们提出的问题，学习了平均变化率，下面我们首先回顾一下上节课学习的内容。
问题一：已知函数y＝f（x），自变量x从x1变为x2时，函数y＝f（x）的平均变化率如何表示？它的几何意义又是什么？
问题二：平均变化率反映变化的快慢。请联系实际谈一谈研究平均变化率的价值与意义。

创
设 情
境
习题：（1）已知函数f（x）=–x2 +4x，求自变量从x1=1变到x2 =3的 平均变化率。
（2）已知一物体作直线运动，其运动的位移S(单位：m)与时间t(单位：s)满足：S（t）=–t2 +4t, 求t1=1到t2 =3这段时间的平均速度。

提出
问题
引入
新课
问题三：，同学们，由前面习题的结果，请思考下面几个问题：
（1）物体在这段时间内是静止的吗？
（2）你认为我们用平均速度描述物体的运动状态有问题吗？
（3）你认为怎样才能更精确地描述物体的运动状态？
（4）你认为我们生活中还有哪些地方用到瞬时速度？

教
学
设
计

新
课
学
习
一、瞬时变化率
为了解决同学们提出的问题，我们对上一节课的例1作进一步的研究：
例1：已知物体运动的位移S（m）与时间t（s）满足关系：S（t）＝2t＋2t2，求：
（1）物体从第1秒到第3秒这段时间内的平均速度；
（2）物体从t1秒到t2秒这段时间内的平均速度；
（3）物体从t1=2秒到t2=2+ △t秒这段时间内的平均速度；
（4）t=2秒时的瞬时速度；
（5）物体从t1= t0秒到t2= t0+△t秒这段时间内的平均速度；
（6）t= t0秒时的瞬时速度。（注：（1）、（2）上节课已经研究过，（3）、（4）、（5）、（6）是本节课研究的内容。此四个问题设置小台阶，让学生一步一个台阶往上走。
然后由特殊到一般引入瞬时变化率的概念：
一般地，对于一个函数y＝f（x），在自变量x从x0到x0+△x的变化过程中，平均变化率为： ，当△x趋于0时，平均变化率趋于的值称为函数y＝f（x）在x=x0点的瞬时变化率。表示为：
对瞬时变化率的理解：瞬时变化率刻画的是函数在某一点处变化的快慢。对于一些实际问题，瞬时变化率富于不同的实际意义。例如：对于物体运动的位移S（m）与时间t（s）的函数S（t）在t= t0时的瞬时变化率即为t= t0时的瞬时速度。
二、例题分析
例1、已知函数，求：（1）x=2时函数的瞬时变化率；（2）x= x0时函数的瞬时变化率；（3）x=1时函数的瞬时变化率。
三、课堂练习：
习题一、已知某物体运动的位移S（m）与时间t（s）满足关系：S（t）＝t2＋2，求物体在下列各时的瞬时速度：
（1）t=0，（2）t=4，（3）t= t0，（4）t秒时。
四、问题解决
下面请同学们与我一起回顾一下上节课开始时提出的两个问题：
问题一、若一个物体作匀加速直线运动，初速度v0=2米/秒，加速度a=10米/秒2。问：
（1）t秒时物体的速度是多少？
（ v(t)=2+10t ）
（2）t秒内物体的平均速度是多少？
( )
（3）t秒内物体运动的位移是多少？
（ s(t)=2t+5t2 ）

教
学
设计

新
课
学
习
问题二、 反过来，若我们知道一个物体运动的位移S（m）与时间t（s）满足关系：S（t）＝2t＋5t2，那么我们是否能够知道物体在任何一段时间内的平均速度？是否能够知道物体在任何一个时刻的瞬时速度？以及是否能够判断物体是以初速度v0＝2米/秒，加速度a＝10米/秒2作匀加速直线运动呢?
例2、已知一个物体运动的位移（m）与时间t（s）满足关系S（t）＝2t＋5 t2，
（1）求物体在t=t0时的瞬时速度；
（2）求物体在t=0的瞬时速度；
（3）求物体t时刻的瞬时速度；
（4）求物体t时刻运动的加速度，并判断物体作什么运动？

课堂小
结

1、 函数瞬时变化率的概念。
2、对函数瞬时变化率的理解：
函数y＝f（x）在x＝x0处的瞬时变化率为 ：
对于不同的实际问题，瞬时变化率富于不同的实际意义，例如：（1）对于位移关于时间的函数S（t），S（t）在t＝t0时的瞬时变化率表示t＝t0时的瞬时速度；（2）对于速度关于时间的函数V(t)，V(t)在t＝t0时的瞬时变化率表示t＝t0时的瞬时加速度-------。
3、会求函数y＝f（x）在x＝x0处的瞬时变化率。
咀嚼回味渴求新知
同学们，通过前面两节课的学习，请同学们谈一谈你的感触与体会。
学生交流之后，教师指出：通过这两节课，我们由提出问题到解决问题的过程，同学们应该能够初步体会微积分思想方法的魅力。“欲穷千里目，更上一层楼。”随着同学们以后学习的不断深入，你们一定能够更加深刻地领悟微积分的精髓。到那时，同学们一定会拍案叫绝，为微积分的奇妙的思想方法所折服。恩格斯曾这样评价微积分：“它是人类精神的最高胜利”。在数学发展史上，微积分被认为是继欧氏几何后的又一个具有划时代意义的伟大创造，被誉为“数学史上的里程碑”。它在物理、化学、生物、天文、地理以及经济等各个科学领域中都有非常广泛而重要的应用。请同学们回去上网搜索，了解微积分的相关知识，以及对此作出重大贡献的科学家。
教学设计
课
后
作
业

1、已知函数f（x）＝x2－3x
（1）求f（x）在x＝x0处的瞬时变化率。
（2）求f（x）在x＝1处的瞬时变化率。
（3）求f（x）在x＝3处的瞬时变化率。
2、已知一个物体运动的位移（m）与时间t（s）满足关系S（t）＝2t– t2，
（1）求物体在t=t0时的瞬时速度；
（2）求物体在t=0的瞬时速度；
（3）求物体t时刻的瞬时速度；
（4）求物体t时刻运动的加速度，并判断物体作什么运动？
思考题 ：平均变化率的几何意义是：连接两点（x1,f(x1 )）,(x2 ,f(x2))的直线的斜率。那么瞬时变化率的几何意义是什么呢？