1、
几类不同增长的函数模型教案
刘军
【教学目标】
1. 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异；
2. 借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异；
3.体会函数在生活中的广泛应用，增强数学学习兴趣。
【教学重难点】
教学重点：将实际问题转化为数学问题，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。
教学难点：如何选择和利用不同函数模型增长差异性分析解决实际问题。
【教学过程】
(一)情景导入、展示目标。
阅读：
2、澳大利亚兔子数“爆炸”
有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．
（二）典型例题
例1假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的
3、回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0 .4元，以后每天的回报比前一天翻一番．
请问，你会选择哪种投资方案？
(1)请你分析比较三种方案每天回报的大小情况
思考：各方案每天回报的变化情况可用什么函数模型来反映
(2)你会选择哪种投资方案？
思考：选择投资方案的依据是什么？
反思：
① 在本例中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？
② 根据此例的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？借助计算器或计算机作出函数图象，并通过图象描述一下三种方案的特点.
解析：我们可
4、以先建立三种投资方案所对应的模型，在通过比较他们的增长情况，为选择方案的依据。
解：设第天的回报为元，则方案一可以用进行描述，方案二可以用进行描述，方案三可以用进行描述，要对三个方案进行选择，就要对增长情况进行分析。
点评：在解决实际问题中，函数图像能够发挥很好的作用，因此，我们应该注意提高学生的读图能力。
例2某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金（单位：万元）随销售利润（单位：万元）的增加而增加但奖金不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型：
；；.
问：其中哪个模型能符合
5、公司的要求？
反思：
① 此例涉及了哪几类函数模型？本例实质如何？
② 根据问题中的数据，如何判定所给的奖励模型是否符合公司要求？
解析：根据实际，提示引导, 判定所给的奖励模型是否符合公司要求,就是依据这个模型进行奖励时，总奖金不超过5万元。
(三)探究
探索研究一次函数，幂函数，指数函数，对数函数在区间（0，,+∞）上的增长差异
(四)小结
1、解决应用题的一般程序：
① 审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
② 建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
③ 解模：求解数学模型，得出数学结论；
④ 还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义。
2、一次函数、幂函数、指数函数、对数函数的增长差异
通过图像和表格，容易看出，随着x的增大，各、函数值的变化及相应增量规律为：
⑴ 直线型均匀上升，增量恒定；
⑵ 指数型急剧上升，增量快速增大；
⑶ 对数型缓慢上升，增量逐渐减少；
⑷ 幂函数型虽上升较快，但随着x的不断增大上升趋势远不如指数型，几乎有些微不足道，其增量缓慢递增.
【板书设计】
一、几类函数模型
二、例题
例1
例2
【作业布置】课本98页1,2
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