第21章针对训练.docx

上　　册
第二十一章　一元二次方程
21.1　一元二次方程

1.关于x的方程ax2-3x+3=0是一元二次方程,则a的取值范围是(B)
A.a>0　　　　　　B.a≠0
C.a=1 D.a≥0
2.将一元二次方程2(x+1)(x-2)=x(x+3)-5化为一般形式为(A)
A.x2-5x+1=0 B.x2+x-9=0
C.x2-4x+3=0 D.x2-x+1=0
3.一个一元二次方程,它的二次项系数为2,一次项系数为3,常数项为-5,这个一元二次方程是　2x2+3x-5=0　. 
4.若x=1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n=0的解,则6m+2n=　-2　. 
5.要剪一块面积为150 cm2的长方形铁片,使它的长比宽多5 cm,这块铁片应该怎样剪?(如果设长方形的长为x cm,只列方程不求解)
解: x(x-5)=150.

6.下列关于x的方程中是一元二次方程的个数有(C)
①2x-3=x2+2x-3;②ax2+bx+c=0;③(x+2)(x-2)=(x+1)2;④x+1x=1;
⑤(x+1)(x+2)=2x2-3;⑥(a2+1)x2+bx+c=0.
A.1个　　B.2个　　C.3个　　D.4个
7.方程3x2-2x=1的二次项系数、一次项系数、常数项分别是(C)

A.3,2,1 B.3,-2,1
C.3,-2,-1 D.-3,2,-1
8.关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0,则a的值为(B)
A.1 B.-1 C.1或-1 D.12
9.用长8米的铝材制成一个矩形窗框,使它的面积为5平方米.若设它的一边长为x米,则x满足的方程是(C)
A.x2-8x+5=0 B.x2+4x-5=0
C.x2-4x+5=0 D.2x2-8x+5=0
10.将下列一元二次方程化为一般形式,并写出二次项系数、一次项系数及常数项.
(1)2x2+3x=x2-3x-2;
(2)(2x-1)(3x+2)=(x-2)2-1;
(3)4x2=3x-2+1.
解:(1)x2+6x+2=0,二次项系数:1,一次项系数:6,常数项:2;(2)x2+x-1=0,二次项系数:1,一次项系数:1,常数项:-1;(3)4x2-3x+2-1=0,二次项系数:4,一次项系数:-3,常数项:2-1.

11.下面是一道作业题,请仔细阅读甲、乙两个同学的答案,判断一下谁的答案正确,若都不正确,请给出正确解答过程.
题目:若x2a+b-2xa-b+3=0是关于x的一元二次方程,则a,b的值各是多少?
学生甲:根据题意可得2a+b=2,a-b=1,解得a=1,b=0.
学生乙:根据题意可得2a+b=2,a-b=1或2a+b=1,a-b=2,所以a=1,b=0或a=1,b=-1.
解他们的答案都不正确.正确过程如下:
依题意得2a+b=2,a-b=1或2a+b=1,a-b=2或2a+b=2,a-b=2,
所以a=1,b=0或a=1,b=-1或a=43,b=-23.

21.2　解一元二次方程
21.2.1　配　方　法
第1课时

1.方程x2=16的解是(A)
A.x=±4　　　　B.x=4
C.x=-4 D.x=16
2.解方程3x2+27=0,得(C)
A.x=±3 B.x=-3　
C.无实数解 D.有无数个解
3.完成下面的解题过程.
(1)解方程:2x2-8=0.
解:原方程化成　x2=4　 , 
开平方,得　x=±2　  
则x1=　2　,x2=　-2　. 
(2)解方程:3(x-1)2-6=0.
解:原方程化成　(x-1)2=2　, 
开平方,得　 x-1=±2　, 
则x1=　1+2　,x2=　1-2　. 
4.解下列一元二次方程.
(1)x2-8=0;(2)(x-5)2=36.
解:(1)x=±22;(2)∵(x-5)2=36,∴x-5=±6.∴x1=11,x2=-1.

5.方程(x-1)2-9=0的解是(A)
A.x1=4,x2=-2 B.x1=-4,x2=2
C.x1=4,x2=2 D.x1=-4,x2=-2
6.写出一个没有一次项且有一个根为3的一元二次方程(只需写一个)　答案不唯一,如x2-9=0　. 
7.一元二次方程x2-2x+1=0的解是　x1=x2=1　. 
8.在实数范围内定义运算“☆”,其规则为:a☆b=a2-b2,则方程(4☆3)☆x=13的解为　x1=-6,x2=6　. 
9.当　a≤0　时,方程(x-b)2=-a有实数解,实数解为　x=b±-a　. 
10.用直接开平方法解下列方程.
(1)(2x-2)2=6;
(2)(x+5)(x-5)=20;
(3)2(3x+7)2=252;
(4)4(1-x)2-9=0.
解:(1)2x-2=6,2x-2=-6.
∴x1=3+2,x2=2-3.
(2)x2-5=20,x225,∴x1=5,x2=-5.
(3)(3x+7)2=254,∴3x+7=2.5,3x+7=-2.5,∴x1=-1.5,x2=-196.
(4)(1-x)2=94,∴1-x=32,1-x=-32,
∴x1=-0.5,x2=2.5.

11.小明把一张边长为10 cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形,再折合成一个无盖的长方体盒子(如图).如果这个无盖的长方体底面积为81 cm2,求剪去的正方形边长.

解:设剪去的正方形的边长为x cm.根据题意得(10-2x)2=81,解得x1=0.5,x2=9.5(不合题意,舍去),
∴x=0.5(cm).答:剪去的正方形边长是0.5 cm.

第2课时

1.下列二次三项式是完全平方式的是(C)
A.2x2-4x+1　　　　B.4y2-4y-1
C.x2-10x+25 D.9x2-12xy-4
2.一元二次方程x2-2x-2=0用配方法化成(x+a)2=b的形式为　(x-1)2=3　,则此方程的根为　x1=3+1,x2=-3+1　. 
3.用配方法将下列各式化为a(x+m)2+n的形式.
(1)x2-2x-3=(x-　1　)2+　(-4)　; 
(2)x2+5x+2=(x+ 52　)2+ 34　; 
(3)2x2-5x+6=2 (x- 54　)2+ 238　. 

4.用配方法解方程2x2+4x+1=0,配方后的方程是(D)
A.(2x+2)2=-2 B.(2x+2)2=-3
C.(x+12)2=12 D.(x+1)2=12
5.已知x2+y2+4x-6y+13=0,x,y为实数,则x=　-2　,y=　3　. 
6.在实数范围内定义一种运算“*”,其规则为a*b=a2-ab,根据这个规则2x*(x+2)=6的解为　x1=3,x2=-1　. 
7.若方程4x2-(m-2)x+1=0的左边是一个完全平方式,则m的值是　6或-2　. 
8.用配方法解下列方程:
(1)2y2=5y-4;
(2)x2+x-1=0;
(3)(x+1)(2x-3)=1;
(4)25x2-45x-1=0.
解:(1)y2-52y+2=0,y2-52y+2516=-2+2516,(y-54)2=-716,∵-716<0,∴该方程无解.
(2)x2+x+14=1+14,∴(x+12)2=54,
∴x=-1±52.
(3)2x2-x-3=1,x2-12x-2=0,x2-12x+116=3316,(x-14)2=3316,∴x=1±334.
(4)x2-2x-52=0,x2-2x+1=52+1,(x-1)2=72,∴x=2±142.
9.用配方法证明:2x2-4x+3的值恒大于0.
解:2x2-4x+3=2(x-1)2+1,
∵2(x-1)2≥0,∴2(x-1)2+1≥1,
∴2x2-4x+3的值恒大于0.

10.如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=8 m,CB=6 m,点P、Q同时由A,B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动,它们的速度都是1 m/s,几秒后,△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半?
解:设x秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半.
根据题意,得12(8-x)(6-x)=12×12×8×6,
整理,得x2-14x+24=0,
(x-7)2=25,即x1=12,x2=2,
x1=12不合题意,舍去.
所以2秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半.

21.2.2　公　式　法

1.用公式法解方程x2-6x-6=0,正确的结果是(D)
A.x=-3+15　B.x=-3-15
C.x=-3±15 D.x=3±15
2.方程(2x+1)(x+2)=1化为一般形式是　2x2+5x+1=0　,b2-4ac=　17　,根据求根公式可得x1= -5+174　,x2= -5-174　. 
3.方程x2-5x=2根的情况:　有两个不相等的实数根　. 
4.用公式法解下列方程:
(1)x2+2x-1=0;
(2)16x2+8x=3.
解:(1)Δ=22-4×1×(-1)=8,∴x=-2±82,
∴x1=-1+2,x2=-1-2.
(2)原方程可化为16x2+8x3=0,Δ=82-4×16×(-3)=256,∴x=-8±25632,
∴x1=14,x2=-34.

5.若关于x的一元二次方程x2+mx-n=0有两个相等的实数根,则符合条件的一组m,n的实数值可以是m=　2　,n=　-1(答案均不唯一)　. 
6.若方程kx2-6x+1=0有两个实数根,则k的取值范围是　k≤9且k≠0　. 
7.关于x的方程mx2-4x+1=0的根为(D)
A.14 B.2±4-mm　
C.2+4-mm D.以上答案都不对

8.下列判断正确的是(A)
A.ax2+bx+c=0中,如果a≠0,c=0,那么此方程一定有一个根是零
B.一元二次方程x2-4x+4=0只有一个实数根
C.方程x2+bx+c=0的两个实数根是-b±b2-4c
D.x2-12=0的两根是x=±32
9.若(m2+n2)(1-m2-n2)+6=0,则m2+n2的值为(A)
A.3 B.-2
C.3或-2 D.-3或2
10.若方程3x2-5x+k=0的一个根是-1,求k的值及另一个根.
解:依题意有3×(-1)2-5×(-1)+k=0,k=-8.
当k=-8时,3x2-5x-8=0,
解得x1=-1,x2=83.
所以k的值是-8,方程的另一个根是83.

11.已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k-4=0有两个不相等的实数根
(1)求k的取值范围;
(2)若k为正整数,且该方程的根都是整数,求k的值.
解:(1)Δ=b2-4ac=4-4(2k-4)=20-8k.
∵方程有两个不相等的实根,∴20-8k>0,∴k<52.
(2)∵k为正整数,∴0x+1的解为　x1=0,x2=-1　. 
2.若n是关于x的方程x2+mx+n=0的根(n≠0),则m+n的值为　-1　 . 
3.用两种方法解方程(x+5)(x-5)=1.
解:①直接开平方法:原方程可化为x2=6,
∴x1=-6,x2=6.
②因式分解法:原方程可化为x2-6=0,∴(x+6)(x-6)=0,∴x1=-6,x2=6.
4.用因式分解法解下列方程.
(1)(x-3)2-(x-2)2=0;
解:∵[(x-3)+(x-2)][(x-3)-(x-2)]=0,
∴x=52.

(2)2(t-1)2+t=1.
解:原方程可化为2(t-1)2+t-1=0,
∴ (t-1)(2t-1)=0,∴t1=1,t2=12.

5.下列方程中,不适合用因式分解法求解的是(D)
A.x2=2x　　　B.(x-2)2=2x-4
C.4x2+4x+1=0 D.(x+2)(3x-1)=5
6.若方程(x-8)(5x+9)=0,则5x+9的值是(D)
A.49　　B.0　　C.-95　　D.49或0
7.如果0是一元二次方程2x2-5mx+(m-2)=0的一根,则另一根为(D)
A.2 B.3 C.4 D.5
8.等腰三角形的底和腰是方程x2-6x+8=0的两根,则这个三角形的周长为(B)
A.8 B.10　
C.8或10 D.不能确定
9.方程(x-2)(x+1)=10的解是　x1=4,x2=-3　. 
10.用适当的方法解下列方程.
(1)x24+52x-6=0;
(2)49(x-3)2=16(x+6)2;
(3)(x+1)2=3x+2.
解:(1)方程两边同时乘以4,得x2+10x-24=0,
解得x1=-12,x2=2.
(2)原方程可化为[7(x-3)]2=[4(x+6)]2,
即7(x-3)=4(x+6)或7(x-3)=-4(x+6),
所以x1=15,x2=-311.
(3)原方程可化为:x2-x-1=0,
b2-4ac=5,
解得x1=1+52,x2=1-52.

11.如果方程ax2bx-6=0与方程ax2+2bx-15=0有一个公共根是3,求a、b的值,并分别求两个方程的另外一个根.
解:把x=3分别代入两个方程,得
9a-3b-6=0,9a+6b-15=0.解得a=1,b=1.
把a=1,b=1代入ax2-bx-6=0,得x2-x-6=0,解得x1=3,x2=-2.
∴方程ax2-bx-6=0的另一个根为-2.
把a=1,b=1代入ax2+2bx-15=0,
得x2+2x-15=0,
解得x1=3,x2=-5.
∴方程ax+2bx-15=0的另一个根为-5.

*21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系

1.已知一元二次方程x2+2x7=0的两个根为x1、x2,则x1+x2的值是(A)
A.-2　　　　　　B.2
C.-7 D.7
2.若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1,x2=2,则这个方程是(B)
A.x2+3x-2=0 B.x2-3x+2=0
C.x2-2x+3=0 D.x2+3x+2=0
3.如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=2,x2=1,那么p,q的值分别是(A)
A.-3,2 B.3,-2
C.2,-3 D.2,3
4.已知x=2是关于x的一元二次方程ax2-3bx-5=0的一个根,则4a-6b的值是(B)
A.4 B.5
C.8 D.10

5.设a,b是方程x2+x-2009=0的两个实数根,则a2+2a+b的值为(C)
A.2006 B.2007
C.2008 D.2009
6.若x1、x2是一元二次方程x2-7x+5=0的两根,则1x1+1x2的值是(A)
A.75 B.-75
C.57 D.-57
7.已知方程x2+(2k+1)x+k2-2=0的两实根的平方和等于11,k的取值是(C)
A.-3或1 B.-3
C.1 D.3
8.设x1,x2是方程x2+px+q=0的两实根,x1+1,x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两实根,则p=　-1　,q=　-3　. 
9.设关于x的一元二次方程x2-4x-2(k1)=0有两个实数根x1、x2,问是否存在x1+x2
(2)x1x2=m-78=0,∴m=7.
(3)假设存在两根互为倒数,
则x1·x2=m-78=1,∴m=15.
当m=15时,方程为8x2-14x+8=0,
b2-4ac=142-4×8×8=196-256,
=-60<0,∴不存在.

11.已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2-6x+k=0的两个实数根,且x12x22-x1-x2=115.
(1)求k的值;
(2)求x12+x22+8的值.
解:(1)x1+x2=6,x1x2=k,
k2-6=115,∴k=±11.
又∵36-4k>0,∴k=-11.
(2)x12+x22+8=(x1+x2)2-2x1x2+8=36-2k+8=66.

21.3　实际问题与一元二次方程
第1课时

1.一个两位数,个位数字比十位数字大3,个位数字的平方刚好等于这个两位数,则这个两位数是　25或36　. 
2.庆“五一”,市工会组织篮球比赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),共进行了45场比赛,这次有几队参加比赛(D)
A.12　　　　　　　B.11
C.9 D.10
3.两个数的和为2,且积为-15,设其中的一个数为x,可列方程为(A)
A.x2-2x-15=0 B.x2+2x+15=0
C.x2-2x+15=0 D.x2+2x-15=0
4.生物兴趣小组的学生,将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一本,全组共互赠了182本.如果全组有x名同学,则根据题意列出的方程是(B)
A.x(x+1)=182 B.x(x-1)=182
C.2x(x+1)=182 D.x(x-1)=182×2
5.一次会议上,每两个参加会议的人都相互握了一次手,有人统计一共握了66次手.这次参加会议的人数是多少?
解:设有x人参加会议.依题意得:
x(x-1)2=66,x1=12,x2=-11(舍去).
答:这次参加会议的人数为12人.

6.已知一个两位数的个位数比十位数大2,而且这个两位数乘以它的各数位上的数字之和所得的积为144,则这个两位数是　24　. 
7.一次篮球锦标赛,每个队都进行了3场比赛后,有6个队被淘汰,剩下的队进行单循环赛,共进行了33场比赛,请你算一算共有几个队.
解:设一共有x个队,3x2+(x-6)(x-7)2=33,解得:x1=12,x2=-2(舍去).答:一共有12个队.
8.某种植物的根特别发达,它的主根长出若干数目的支根,支根中有13又生长同样多的小支根,而其余生长出一半数目的小支根,主根、支根、小支根的总数是109个.则这种植物主根长出多少支根?
解:设这种植物主根长出x个支根,
1+x+13x2+(23x)(12x)=109,
解得x1=12,x2=-272(舍去).
答:这种植物主根长出12支根.

9.有一种传染性疾病,蔓延速度极快,据统计,在人群密集的某城市里,通常情况下,每天一人能传染给若干人,通过计算回答下列问题.
(1)现有一人患了这种疾病,开始两天共有225人患上此病,求每天一人传染了几人.
(2)两天后,人们有所觉察,这样平均一个人一天以少五人的速度在递减,求再过两天共有多少人患有此病.
解:(1)设每天一人传染了x人.1+x+x(1+x)=225,解得:x1=14,x2=-16(舍去).
答:每天一人传染了14人.
(2)第三天共有225×(1+14-5)=2250(人),
第四天共有2250×(1+14-5-5)=11250(人),
答:再过两天共有11250人.

第2课时

1.某种服装原价为200元,连续两次涨价a%后,售价为242元,则a的值为(B)
A.5　　　B.10　　　C.15　　　D.21
2.某直角三角形两条直角边的和为7,面积为6,则斜边为(B)
A.37 B.5 C.38 D.7
3.某超市一月份的营业额为200万元,一月、二月、三月的营业额共1000万元,如果平均每月的增长率为x,则根据题意列出的方程是(D)
A.200(1+x)2=1000
B.200+200×2x=1000
C.200+200×3x=1000
D.200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000

4.从正方形的铁皮上截去2 cm宽的一条长方形,余下的面积是48 cm2,则原来的正方形铁皮的面积是(D)
A.9 cm2 B.68 cm2
C.8 cm2 D.64 cm2
5.汶川地震牵动着全国人民的心,某单位开展了以“一方有难,八方支援”为口号的赈灾捐款活动.第一天收到捐款10 000元,第三天收到捐款12 100元,如果前四天捐款的平均增长率相同,则第四天收到的捐款为(B)
A.13150元 B.13310元
C.13400元 D.14200元
6.已知长方形ABCD,AB=20 m,BC=15 m,四周外围环绕着宽度相等的小路,小路的面积为246 m2,求小路的宽度.在解决这个问题中,如果设小路的宽度为x m,那么列出的方程是　(2x+20)(2x+15)-20×15=246　. 

7.如图,要建一个面积为45 m2的长方形养鸡场(分为两个区域),养鸡场的一边靠着一面长为14 m的墙,另几条边用总长为22 m的竹篱笆围成,每块区域的前面各开一个宽1 m的门.求这个养鸡场的长与宽.

解:设与墙垂直的边为x m.根据题意得
x(22-3x+2 ) = 45.
解这个方程得x1=3,x2=5.
当x=3时,22-3x+2=15>14,
x=3不合题意,舍去.
当x=5时,22-3x+2=9<14.
答:养鸡场的长为9 m,宽为5 m.

8.要对一块长60米、宽40米的矩形荒地ABCD进行绿化和硬化.设计方案如图所示,矩形P、Q为两块绿地,其余为硬化路面,P、Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等,并使两块绿地面积的和为矩形ABCD面积的14,求P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽.
解:设P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽都为x米,根据题意,得:(60-3x)×(40-2x)=60×40×14,解之,得:x1=10,x2=30,
经检验,x2=30不符合题意,舍去.
答:两块绿地周围的硬化路面宽都为10米.

第二十一章　复 习 课

1.下列方程中是一元二次方程的是(C)
A.2x+1=0　　　　B.y2+x=1
C.x21=0 D.1x+x2=1
2.方程(x+2)(x-1)=x+2的解是(D)
A.x=1 B.x=-2
C.x=-2或x=1 D.x=-2或x=2
3.用配方法解一元二次方程x2-4x=5的过程中,配方正确的是(D)
A.(x+2)2=1 B.(x-2)2=1
C.(x+2)2=9 D.(x-2)2=9
4.若关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是(B)
A.m<-1 B.m<1
C.m>-1 D.m>1
5.关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为1和2,则b=　-3　,c=　2　. 
6.某商品经过连续两次降价销售单价由原来的125元降到80元,则平均每次降价的百分率为　20%　. 
7.解方程:(1)x2-3x-1=0;(2)x2+4x-2=0.
解:(1)x1=3+132,x2=3-132.
(2)x1=-2+6,x2=-2-6.

8.下列方程中,没有实数根的方程是(B)
A.x2-12x+27=0 B.2x2-3x+2=0
C.2x2+34x-1=0 D.x2-3x-k2=0
9.若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0(a≠0)的解是x=1,则2013-a-b的值是(A)
A.2018　B.2008　C.2014　D.2012
10.关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+3=0有实数根,则整数a的最大值是(C)
A.2 B.1 C.0　 D.-1
11.若关于x的一元二次方程2x2-2x+3m-1=0的两个实数根x1,x2,且x1·x2>x1+x2-4,则实数m的取值范围是(D)
A.m>-53 B.m≤12
C.m<-53 D.-5350(1+2x)=196
13.将方程x2-4x-1=0化为(x-m)2=n的形式,其中m,n是常数,则m+n=　7　. 
14.方程(2x+1)2+4(2x+1)-5=0的解为　x1=-3,x2=0　. 
15.在等式“(3+★)(2+■)=-24”的“★”“■”中分别填入一个数,要求这两个数互为相反数且使等式成立,则“★”内填入的数是　-6或5　. 
16.已知整数k<5,若△ABC的边长均满足关于x的方程x2-3kx+8=0,则△ABC的周长是　6或12或10　. 
17.已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+2k=0有两个实数根x1,x2.
(1)求实数k的取值范围.
(2)是否存在实数k使得x1•x2-x12-x22≥0成立?若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由.
解:(1)∵原方程有两个实数根,
∴[-(2k+1)]2-4(k2+2k)≥0,
∴4k2+4k+1-4k2-8k≥0,
∴1-4k≥0,
∴k≤14.
∴当k≤14时,原方程有两个实数根.
(2)假设存在实数k使得x1•x2-x12-x22≥0成立.
∵x1,x2是原方程的两根,
∴x1+x2=2k+1,x1•x2=k2+2k.
由x1•x2-x12-x22≥0,得3x1•x2-(x1+x2)2≥0.
∴3(k2+2k)-(2k+1)2≥0,
整理得k-1)2≥0,
∴只有当k=1时,上式才能成立.
又∵由(1)知k≤14,
∴不存在实数k使得x1•x2-x12-x22≥0成立.
18.某校九年级学生小强与他的学习互助组成员商量,决定毕业时,都将自己的相片送一张给互助组其他成员作纪念.同时,互助组每位成员也都送班主任王老师一张相片,以感谢王老师三年来对互助组的辛勤指导.
(1)若该互助组有n名成员,则毕业时,他们一共将送出多少张相片?(用含n的代数式表示).
(2)小强说:“我算了一下,我们互助组一共将送出16张相片”,你同意他的说法吗?请说明理由.
解:(1)共送出 n2张相片.
(2)同意,由n2=16 ,解得n4,所以该小组有4个人,是成立的.

19.

如图,三江学校准备在校园内划分一块矩形空地进行绿化,要求在它的中央设置一个长比宽多4米的矩形花坛,四周铺植2米宽的草地,小明和小林两位同学提出了下面两个设计方案:
(1)中央矩形花坛的面积为45平方米;
(2)草地总面积为32平方米.
请问这两位同学的方案都能实施吗?如果能,请求出所划出这块空地的长和宽;如果不能,试说明理由.
解:(1)能实施.
设划出的空地宽为y米,长为(y+4)米,根据题意得(y-4)(y+4-4)=45.
解得y1=9,y2=-5(不合题意,舍去).
所以划出的空地长和宽分别为13米和9米.
(2)不能实施.
设划出的空地宽为z米,长为(z+4)米,根据题意得z(z+4)-(z-4)(z+4-4)=32,解得z=4.
∴划出的空地的宽为4米,而这样的矩形不存在,因此方案二不能实施.